2021—2022学年人教版八年级数学下册18.2.3正方形课后练习题（Word版含答案）

2021——2022学年度人教版八年级数学下册 第十八章 平行四边形
18.2.3正方形 课后练习题
一、选择题
1．下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分且相等 B．矩形的对角线相等且互相平分
C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．正方形的对角线是正方形的对称轴
2．如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接并延长交于点N，则的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．25°
3．如图，在正方形中，，，分别为边，的中点，连接，，点，分别为，的中点，连接．则的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．如图，点在正方形内，满足，，，则阴影部分的面积是（ ）
A．48 B．60 C．76 D．80
5．如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD沿直线EF翻折，则图中折成的4个阴影三角形的周长之和是（ ）
A．8 B．9 C．12 D．以上都不正确
6．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．如图，四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中，选出其中两个，使平行四边形ABCD变为正方形．下面组合错误的是（　　）
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．下列说法错误的是（　　）
A．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形
B．若AC=BD，四边形ABCD是矩形
C．若AB=BC且AC=BD，四边形ABCD是正方形
D．若∠ABC=90°，四边形ABCD是正方形
9．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM交CD于点N．若S四边形MOND＝2，则BD的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．2
10．如图，在等腰直角中，，以B为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点O，在射线上作，连接，.下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．若四边形的周长为16，则
二、填空题
11．顺次连接四边形ABCD各边中点E、F、G、H，得到四边形EFGH，只要添加___条件，就能保证四边形EFGH是矩形．
12．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC延长线上一点，P是∠DCE平分线上任意一点则△PBD的面积是 ___．
13．如图，点M是的中点，点P在上．分别以，为边，作正方形和正方形，连接和，设，，且，．则图中阴影部分的面积为__________．
14．如图，在菱形中，，，点，同时由，两点出发，分别沿，方向向点匀速运动，点的运动速度为，点的运动速度为，点到达点后，点与点同时停止运动．若运动时间为秒时，为等边三角形，则的值为__________．
15．如图，正方形与矩形在直线的同侧，边，在直线上，且，，．保持正方形不动，将矩形沿直线左右移动，连接，，则的最小值为______．
三、解答题
16．已知：如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分別为、．求证：四边形是正方形．
17．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF．求证：△AEF是等腰三角形．
18．如图所示，正方形ABCD的边长为6，点E为BC的中点，点F在AB边上，．求的度数．
19．如图，中，已知，于，，，把、分别以、为对称轴翻折变换，点的对称点为，，延长、相交于点．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）求的长．
20．如图，在中，，，点为边的中点，交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形是正方形？请证明你的结论．
21．如图1所示，已知点为线段上一点，、是等边三角形．
（1）说明：；
（2）求的度数．
（3）若把原题中“和是两个等边三角形”换成两个正方形（如图2所示），与的数量和位置关系如何？请说明理由．
22．（1）如下页图（1），四边形是矩形，O，B，D三点的坐标分别是．求点C的坐标．
（2）如下页图（2），四边形是菱形，C，D两点的坐标分别是，点A，B在坐标轴上，求A，B两点的坐标．
（3）如下页图（3），四边形是正方形，O，D两点的坐标分别是．求B，C两点的坐标．
23．提出问题：（1）如图1，已知在锐角中，分别以、为边向外作等腰直角和等腰直角，连接、，则线段与线段的数量关系是 ；
（2）如图2，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接，，．猜想线段与线段的有什么关系？并说明理由．（提示：正方形的各边都相等，各角均为）
（3）在（2）的条件下，探究与面积是否相等？说明理由．
【参考答案】
1．B 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．D 8．D 9．C 10．D
11．
12．
13．90
14．
15．
16．证明：∵平分，，，
∴，，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴矩形是正方形．
17．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝90°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF
∴△AEF是等腰三角形．
18．方法1 如图所示，连接EF，过点F作，交DE于点G．
正方形ABCD的边长为6，
，．
点E为BC的中点，
．
点F在AB边上，，
，．
在Rt△DAF中，．
在Rt△EBF中，．
在Rt△DCE中，，．
在Rt△DGF和Rt△EGF中，有．
设．根据题意，得．
整理，得．
解得，即．
．
．
，
．
方法2 如图所示，延长BC到点H，使，连接DH，EF．
∵正方形ABCD的边长为6，
，．
，．
在△ADF和△CDH中，
，
．
，．
．
点E为BC的中点，
．
点F在AB边上，，
，．
．
在Rt△EBF中，，
．
．
在△DEF和△DEH中，
，
．
．
方法3，连接EF，过点D作，交EF于点M．
正方形ABCD的边长为6，
，．
点E为BC的中点，
．
点F在AB边上，，
，．
在Rt△EBF中，．
设，则
在Rt△DAF中，．
在Rt△DCE中，，．
在Rt△FMD中，．
在Rt△EMD中，．
即
解得
,
,
,
19．（1）证明：由对折的性质可得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，
∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，
∵∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，
∴四边形AEGF为矩形，
∵AE＝AD，AF＝AD，
∴AE＝AF，
∴矩形AEGF是正方形；
（2）解：根据对称的性质可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3，
设AD＝x，则正方形AEGF的边长是x，
则BG＝EG BE＝x 2，CG＝FG CF＝x 3，
在Rt△BCG中，根据勾股定理可得：（x 2）2＋（x 3）2＝52，
解得：x＝6或 1（舍去）．
∴AD＝6．
20．证明：（1）∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形
∴
∵点是的中点，
∴
∴
在与中，
∴
∴
（2）当是等腰直角三角形，四边形是正方形
∵，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
∵是等腰直角三角形，点是的中点
∴，
∴四边形是正方形．
21．（1）、是等边三角形，
，
，，
，
，
；
（2），
，
是等边三角形，
，
，
，
，
（3）如图，延长交于点，
四边形是正方形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
22．解：
（1）如图（1）所示：
∵点，，
∴，，
∵四边形OBCD是矩形，
∴，，
∴点；
（2）如图（2）所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵点，，
∴，，
∴点，点；
（3）如图（3）所示：
∵四边形OBCD是正方形，
∴，
∵点，
∴，
∴，
∴点，点．
23．解：（1）∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝90°，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴BE＝CD，
故答案为： ；
（2），；理由如下：
如图，设AB与CE的交点为P，
∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC＝90°，，
，
，
在和中，，
，
，，
，，
，
；
即：，；
（3）如图，过点作交延长线于；
，
，，
，
在和中，，
，
，
，