2021-2022学年人教版八年级数学下册17.2勾股定理的逆定理同步达标测试题（Word版含答案）

2021-2022学年人教版八年级数学下册《17-2勾股定理的逆定理》同步达标测试题（附答案）
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
2．在△ABC中，若a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，则△ABC是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
3．△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明△ABC是直角三角形的是（　　）
A．b2＝（a+c）（a﹣c） B．a：b：c＝1：：2
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
4．如图，△ABC中，CD是AB边上的高，若AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，则CD的值是（　　）
A．0.72 B．2.0 C．1.125 D．不能确定
5．下列结论中，错误的有（　　）
①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；
②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90°；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；
④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．下面四组数中是勾股数的有（　　）
（1）1.5，2.5，2；（2），，2；（3）12，16，20；（4）0.5，1.2，1.3．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
二．填空题（共6小题，满分30分）
7．△ABC的边AC、BC的中垂线交于AB上一点O，且OC＝BC，则∠A＝　 　度．
8．三角形三边长分别为8，15，17，那么最长边上的高为　 　．
9．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，则过3秒时，△BPQ的面积为　 　cm2．
10．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8m，CD＝6m，BC＝24m，AB＝26m，则图中阴影部分的面积为　 　．
11．如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝3，CD＝，BD＝2，则点C到BD的距离为 　 　．
12．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是　 　．
三．解答题（共8小题，满分60分）
13．如图，连接四边形ABCD的对角线AC，已知∠B＝90°，BC＝1，AB＝，CD＝2，AD＝2．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求四边形ABCD的面积．
14．已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度．
15．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为ts（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
16．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
17．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．
18．如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C，D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．现要在AB上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求AE的长．
19．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？
20．今年的气候变化很大，极端天气频繁出现．某沿海城市气象台监测到台风中心位于正东方向的海上．如图所示，城市所在地为A．台风中心O正以每小时40km的速度向北偏西60°的OB方向移动，经监测得知台风中心200km的范围内将会受台风影响．OA＝320km．该城市是否受到这次台风的影响？若不受影响，请说明理由．若受到这次台风影响，请求出遭受这次台风影响的时间．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，
当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；
当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；
当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，
∵，
∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，
故选：B．
2．解：∵（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，
∴三角形为直角三角形，
故选：D．
3．解：A、由b2＝（a+c）（a﹣c）可得：c2+b2＝a2，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、12+（）2＝22，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、由∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，可得：∠A＝90°，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝75°，∴不能构成直角三角形，故选项符合题意；
故选：D．
4．解：∵AB＝1.5，BC＝0.9，AC＝1.2，
∴AB2＝1.52＝2.25，BC2+AC2＝0.92+1.22＝2.25，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴∠ACB＝90°，
∵CD是AB边上的高，
∴S△ABC＝，
1.5CD＝1.2×0.9，
CD＝0.72，
故选：A．
5．解：①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，错误；
②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠C＝90°，错误；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形，正确；
④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形，正确；
故选：C．
6．解：（1）1.52+22＝2.52，但不是正整数，故错误；
（2）（）2+（）2＝22，能构成直角三角形，但不是整数，故错误；
（3）122+162＝202，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确；
（4）0.52+1.22＝1.32，但不是正整数，故错误．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分30分）
7．解：如图所示，OE，OF分别是边AC，BC的中垂线
∵OE，OF分别是边AC，BC的中垂线
∴△AEO≌△CEO，△OCF≌△OBF
∴AO＝CO，CO＝BO
∴△ACB为直角三角形．
∵CO＝BC
∴△OBC为等边三角形
∴∠B＝60°
∴∠A＝30°，
故填为30°．
8．解：∵82+152＝172，
∴三角形为直角三角形，
设斜边上的高为h，
∵三角形的面积＝，
∴h＝．
9．解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
AB+BC+AC＝36cm，
∴3x+4x+5x＝36，
解得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S△PBQ＝BP BQ＝×（9﹣3）×6＝18（cm2）．
故答案为：18．
10．解：在Rt△ADC中，
∵CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m，
∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，
∴AC＝10m，（取正值）．
在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°．
∴S阴影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（m2）．
故答案是：96m2
11．解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝3，
∴BC＝＝＝3，
∵CD＝，BD＝2，
（）2+（3）2＝（2）2，
∴△BCD是直角三角形，
∴点C到BD的距离为×3÷2×2÷2＝．
故答案为：．
12．解：∵（a+b）2＝c2+2ab，
∴a2+2ab+b2﹣c2＝2ab，
∴a2+b2＝c2，
∴三角形是直角三角形．
故答案为直角三角形．
三．解答题（共8小题，满分60分）
13．（1）证明：∵∠B＝90°，BC＝1，AB＝，
∴AC＝，
∵CD＝2，AD＝2，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）解：∵AB＝，BC＝1，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝．
14．解：（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，
∴满足BD2+CD2＝BC2，
∴根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，
即CD⊥AB；
（2）设腰长为x，则AD＝x﹣12，
由（1）可知∠ADC＝90°，由勾股定理可知，AD2+CD2＝AC2，
即：（x﹣12）2+162＝x2，
解得x＝，
∴腰长为cm．
15．解：（1）若点A在线段PQ的垂直平分线上，则AP＝AQ，
∵AP＝t，AQ＝12﹣3t，
∴t＝12﹣3t，
解得：t＝3，
答：当t＝3时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
（2）①若∠APQ＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠AQP＝30°，
∴AQ＝2AP，
∴12﹣3t＝2t，
∴t＝，
②若∠AQP＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠APQ＝30°，
∴AP＝2AQ，
∴t＝2（12﹣3t），
∴t＝．
∴当t＝或时，△APQ是直角三角形．
16．解：（1）由题意得：AC＝25米，BC＝7米，
AB＝＝24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得：BA′＝20米，
BC′＝＝15（米），
则：CC′＝15﹣7＝8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
17．解：设旗杆高度为x米，则AC＝AD＝x米，AB＝（x﹣2）米，BC＝8米，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，
解得：x＝17（米），
即旗杆的高度为17米．
18．解：设AE＝x，则BE＝20﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝82+x2，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3
所以，E应建在距A点13.3km．
19．解：如图，由题意知AB＝3，CD＝14﹣1＝13，BD＝24．
过A作AE⊥CD于E．则CE＝13﹣3＝10，AE＝24，
∴在Rt△AEC中，
AC2＝CE2+AE2＝102+242．
∴AC＝26，26÷5＝5.2（s）．
20．解：过A作AC⊥OB于C，
在Rt△AOC中，
由题意得∠COA＝90°﹣60°＝30°，OA＝320，
则AC＝AO＝×320＝160＜200，
故该城市会受到台风影响；
以A为圆心，200km为半径画弧，交OB于D，E，则AD＝AE＝200km，
∵AC⊥OB，
∴CD＝CE，
在Rt△ACD中，
CD＝＝＝120（km），
∴CE＝120km，
∴DE＝240km，
∴遭受这次台风影响的时间为：240÷40＝6（小时）