2021-2022学年人教版数学九年级下册27.2.2相似三角形的性质提升练习（Word版含答案）

相似三角形的性质
一、单选题
1．如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
2．已知△ABC∽△DEF，相似比为3：1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为（　　）
A．2 B．3 C．6 D．54
3．如图，在△ABC中，点E、F分别是AB、AC上的点，且EF∥BC，若S四边形BCFE＝8，S△AEF＝1，AF＝3，则CF的长是（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，折痕为EF，点E、F分别在边BC、AB上，若△CDE与△ABC相似，则CE的长为（　　）
A． B． C．或 D．或
5．如图1是2002年北京国际数学家大会徽标图案，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．把这4个全等直角三角形进行如图2的摆放，得到一个大正方形PQMN，若EF＝，AD＝，则为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，点E在CD上，AE交BD于点F，若，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点A在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，点B，C在x轴上，OC＝OB，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于1，则k的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．4
8．如图平行四边形中，F为中点，延长至E，使，连结交于点G，则（ ）
A．2∶3 B．4∶9 C．9∶4 D．3∶2
9．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，DE＝3，则CF的长为（　　）
A．4 B．6 C．9 D．12
10．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则（ ）
A．1：4 B．1：5 C．1：6 D．1：7
11．如图所示，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，且DE//BC，EF//AB．如果△ADE的面积为2，△CEF的面积为8，那么四边形BFED的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
12．如图，在矩形中，，，、为矩形外面的点，，，则EF=（ ）
A． B．15 C．20 D．
二、填空题
13．在△ABC中，∠ACD＝∠B，作DE∥BC交AC于点E，若AD：DB＝4：5，AC＝9，AD的长为 ___．
14．如图，，点在上，与交于点，，，则的长为________．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，点E、F分别在边AB、CD上，点M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，且DF＝1，则GH的长为 _____．
16．如图，在Rt△ABC中，，，，点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动；同时，动点从点出发沿方向以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点运动的时间为秒，当是直角三角形时，的值为_______．
17．如图，正方形ABCD的边长为1，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM＝2AM，点N在边BC上，且BN＝AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为___．
三、解答题
18．如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD＝2DE．
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为4，求平行四边形ABCD的面积．
19．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN交对角线BD于E、F两点，且∠MAN＝∠ABD．
(1)求证：AD2＝BF DE．
(2)若＝，求证EF∥MN．
20．如图所示，在三角形ABC中，D是AC上的一点．
(1)以AD为一边，在三角形ABC内求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AB于点E（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)若AB＝4，AD＝1，BC＝3，求DE的长．
21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA=∠CEG．
(1)求证：AD=CF；
(2)连接AF，当AB=AC时，四边形ADCF是什么特殊四边形？请说明理由．
22．已知△ABC中，AC=BC，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O．
(1)如图①，∠ACB =60°，AD=BE，求证：∠COD=60°；
(2)如图②，∠ACB=90°，AD=AC，AE=AB，求证：∠COD =90°；
(3)如图③，∠ACB=90°，AD=AC，BE=AB，猜想∠COD的大小并加以证明．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
解：解：∵△ABC∽△ACP，
∴∠ACB=∠APC=65°，
∵∠A=70°，
∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-70°-65°=45°．
故选：A．
2．C
解：解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝3：1
∵△ABC的周长为18
∴△DEF的周长为6
故选C．
3．A
解：解：∵S四边形BCFE＝8，S△AEF＝1，
，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
∵AF＝3，
∴AC＝9，
∴CF＝AC﹣AF＝9﹣3＝6，
故选：A．
4．D
解：解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，
∴AB＝5，BE＝DE，BE＝4﹣CE，
当△CDE∽△CBA时，
则 ，
∴ ，
解得CE＝ ；
当△CDE∽△CAB时，
则 ，
∴ ，
解得CE＝
由上可得，CE的长为或．
故选：D．
5．A
解：解：如图1中，设AE=DF=x，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
∴ ，
∴x=4或，
∴AE=4，，
如图2中，
，
，，
，
，
∴，
∴NQ=3，
∴，
∴，
故选：A．
6．D
解：解：∵DE=2CE，
∴DE=CD，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴，
∵AB∥DE，
∴△DFE∽△BFA，
∴，
∴，
故选：D．
7．A
解：解：作AE⊥BC于E，连接OA，
∵AB=AC，
∴CE=BE，
∵OC=OB，
∴OC= BC=×2CE= CE，
∵AE∥OD，
∴△COD∽△CEA，
∴ ，
∵△BCD的面积等于1，OC=OB，
∴S△COD=S△BCD=，
∴S△CEA=4×=1，
∵OC=CE，
∴S△AOC=S△CEA=，
∴S△AOE=+1= ，
∵S△AOE=k（k＞0），
∴k=3，
故选A．
8．B
解：解：∵，
∴设，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵点F是BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选B．
9．B
解：解：，
，
由题意可知：，
，
，
设，
，
，
．
故选：B．
10．C
解：解：∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，
∴DO=BO，，
又∵E为OD的中点，
∴，
∴DE：EB=1：3，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：C．
11．C
解：解：∵DE//BC，EF//AB，
∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B，∠EFC=∠B，
∴∠ADE=∠EFC，
∴△ADE∽△EFC．
∴，
而S△ADE=2，S△CEF=8，
∴AE：EC=1：2，
设AE=k，则EC=2k，AC=3k．
则AE：AC=k：3k=1：3，
设S四边形BFED=S；
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即，
解得：S=8，
即四边形BFED的面积为8．
故选：C．
12．A
解：解：延长FA交EB的延长线于点M，如图所示：
四边形ABCD是矩形，
，，，
，，
，
是直角三角形，，
同理：是直角三角形，
，
，
，
同理：，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，即，
解得：，，
，，
．
故选：A．
13．6
解：解：∵AD：DB＝4：5，
∴AD：AB＝4：9，
∵DE//BC，
∴AD：AB＝AE：AC＝4：9，
∵AC＝9，
∴AE＝4，
∵DE//BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD＝∠ADE，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴AD：AC＝AE：AD，
∴AD2＝AC×AE＝9×4＝36，
∵AD＞0，
∴AD＝6，
故答案为：6．
14．##
解：解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
15．
解：解：过点G作于点K，过点F作于点N，交GH于点O，交GK于点P，如下图，
平分矩形ABCD的面积，
，
，，
四边形ADFN是矩形，
，，
．
，，
，
，
．
又，
，
，
．
在中，．
16．或
解：解：由题意得：
，
，，
．
当时，
，
．
，
．
．
．
解得：．
当时，
，
．
，
．
．
．
解得：．
综上所述，当是直角三角形时，的值为或．
故答案为：或．
17．
解：解：设AN和BD交于点Q，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴，
∵BM=2AM，
∴BM+AM=AB=1，
∴AM=BN=，BM=，
∵AD∥BN，
∴△NQB∽△AQD，
∴，
∴DQ=3BQ，
∴，BQ=，
∵O是BD的中点，
∴OD=，
∴OQ=DQ-OD=，
在△ADM和△BAN中，
，
∴△ADM≌△BAN（SAS），
∴∠ADM=∠BAN，
∵∠PAD+∠BAN=90°，
∴∠PAD+∠ADM=90°，
∴∠APD=90°，
∵∠DAM=90°，AM=，AD=1，
∴DM= ，
∵S△ADM=×AD AM=×DM AP，
∴，
∴，
∴PD=DM-PM=，
∵△ADM≌△BAN，
∴AN=DM= ，
∵，
∴，，
∴，
如图，过点O作OG⊥DM于点G，
∵OG∥PQ，
∴△OGD∽△QPD，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
18．(1)见解析
(2)48
(1)
解：四边形是平行四边形，
，．
，
．
(2)
解：四边形是平行四边形，
，．
，
．
解：由（1）得：．
，
．
．
．
．
四边形是平行四边形，
，即，．
，．
．
又，
．
．
．
19．(1)见解析
(2)见解析
(1)
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠AED＝∠ABD+∠BAE，∠BAF＝∠MAN+∠BAE，∠MAN＝∠ABD，
∴∠AED＝∠BAF，
∴△AED∽△FAB，
∴，即AD AB＝BF DE，
∴AB2＝BF DE，
∵AB＝AD，
∴AD2＝BF DE；
(2)
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，ADBC，
∴△BME∽△DAE，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵∠C＝∠C，
∴△CMN∽△CBD，
∴∠CMN＝∠CBD，
∴MNBD，
即EFMN．
20．(1)见解析
(2)
(1)
如图，∠ADE为所作；
(2)
∵∠DAE＝∠BAC，∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即＝，
∴DE＝．
21．(1)证明见解析
(2)四边形ADCF是矩形，理由见解析
(1)
证明：∵E，G分别是AC，DC的中点，
∴EG是△CAD的中位线，
∴EG=AD，，
∵∠FCA=∠CEG，
∴，
∴△DEG∽△DFC，
∴==，
∴EG=CF，
∴AD=CF；
(2)
解：当AB=AC时，四边形ADCF是矩形，
理由如下：
∵，，AD=CF，
∴，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴平行四边形ADCF是矩形．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)∠COD=45°，证明见解析
(1)
证明：∵AC=BC，∠ACB =60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵AD=BE，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠ABD=∠BCE，
∴∠COD=∠CBD+∠BCE=∠CBD+∠ABD=60°；
(2)
证明：如图，过A作AF//BC交CE的延长线于F，
∴△AEF∽△BEC，
∴，
∵AE=AB，
∴ ，
∴，
∵AC=BC，AD=AC，
∴ ，
∵∠ACB=90°，AF//BC，
∴∠CAF+∠ACB=90°，
∴∠CAF=∠ACB=90°，
∴△AFC≌△CDB，
∴∠ACE=∠CBD，
∴∠COD=∠CBD+∠BCE=∠ACE+∠BCE=90°；
(3)
解：∠COD=45° ，理由如下：
设BE =a，则AB=4a，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴ ，∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC=，
∵AD=AC，
∴ ，
∴ ， ，
∴，
∵∠ABC=∠A=45°，
∴△ABD∽△BCE，
∴∠ABD=∠BCE，
∴∠COD=∠CBD+∠BCE=∠CBD+∠ABD=45°．
答案第1页，共2页