5.3.1函数的单调性与导数（第二课时）课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册(共17张PPT)

(共17张PPT)
5.3　导数的运算
5.3.1　函数的单调性
（第二课时）

学习目标
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 数学抽象、直观想象
2.能利用导数研究函数的单调性. 逻辑推理、数学运算
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 数学运算
温故知新
一般地，函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下的关系：
在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增；
在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减.
注意
探究新知
判断函数的单调性
观察函数的图象
函数单调性的定义
利用导数的正负
问题1：如何探究函数的单调性？
问题2：如何利用导数研究形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的函数的单调性？
原函数
定义域
导函数
求导运算
导函数的正负
原函数的单调性
解不等式
函数单调性与导数的关系
例题精讲
例1：求函数f(x)=x3- x2-2x+1的单调区间
解：函数f(x)= x3- x2 -2x+1的定义域为R.对f(x)求导数，得f '(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2).
令f '(x)=0,解得x=-1,或x=2.x=-1和x=2把函数定义域划分成三个区间，f(x)在各区间上的正负，以及f(x)的单调性如表所示.
+
+
-
单调递增
单调递增
单调递减
所以，f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)上单调递增，
在(-1,2)上单调递减，如图所示.
思考：如果不用导数的方法，直接用单调性的定义，如何求解，麻烦吗？
方法总结
利用导数研究函数y=f (x)的单调性的优势：
不熟悉的、复杂的函数
熟悉的、简单的函数
转化
利用导数研究函数y=f (x)的单调性的一般步骤：
第1步，确定函数f (x)的定义域；
第2步，求出导数f ′(x)的零点；
第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f (x)在定义域内的单调性.
探究新知
对数函数y=lnx的导数为y'=>0(x∈(0,+∞)),所以y=lnx在区间（0,+∞)上单调递增，当x越来越大时，y'= 越来越小，所以函数y=lnx递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”（如图(1)).
幂函数y=x3导数为y‘=3x2 >0(x∈(0,+∞)),所以y=x在区间(0,+∞)上单调递增，当x越来越大时,y'=3x2越来越大,函数y=x3递增得越来越快,图象上升得越来越“陡峭”(如图 (2)).
探究：研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,+∞)上增长快慢的情况.
结论生成
函数增减的快慢与导数的关系：
一般地，设函数y=f(x)，在区间(a, b)上：
如果导数的绝对值越小，函数在区间(a, b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”；
反之，如果导数的绝对值越大，函数在区间(a, b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”.
例题精讲
例2：设x>0,f(x)=lnx,g(x)=1-,两个函数的图象如图所示.判断f(x),g(x)的图象与C1,C2之间的对应关系.
解：因为f(x)=lnx,g(x)=1- ,所以f '(x)= ,g'(x)= .
当x=1时，f '(x)=g '(x)=1;
当0f '(x)>1;
当x>1时，0所以,f(x),g(x)在(0,+∞)上都是增函数.
在区间(0,1)上，g(x)的图象比f(x)的图象要“陡峭”；在区间(1,+∞)上，g(x)的图象比f(x)的图象要“平缓” 所以，f(x),g(x)的图象依次是图中的C2,C1.
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4.判断下列函数的单调性，并求出单调区间：(1)f(x)=3x-x3;(2) f(x)=x3-x2-x.
单调递减 单调递增 单调递减
所以， 在 和 上单调递减，在 上单调递增，如图所示.
解：（1）函数 的定义域为 .
对 求导数，得
令 ，解得 ，或
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解：（2）函数 的定义域为 .
单调递增 单调递减 单调递增
所以， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，如图所示.
对 求导数，得
令 ，解得 ，或 .
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5.证明函数f(x)=2x3-6x2+7在区间(0,2)上单调递减.
证明：函数 的定义域为 .
当 时， ，
因此函数 区间 上单调递减.
对 求导数，得
小结反思
利用导数讨论函数单调的步骤:
(1):求函数定义域
(3)令 ＝0解方程，得方程的根。
(4)列表：方程 ＝0的根将函数的定义域分成若干个区间，利用表格判断各区间的正负。
(5) 大于0的区间是 f(x)的单调递增区间;
小于0的区间是 f(x)的单调递减区间.
(2):求导数