5.3.1函数的单调性（第一课时）课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册(共23张PPT)

(共23张PPT)
5.3　导数的运算
5.3.1　函数的单调性
（第一课时）

学习目标
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 数学抽象、直观想象
2.能利用导数研究函数的单调性. 逻辑推理、数学运算
3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 数学运算
我们所学过的数学知识中刻画函数变化趋势（上升或下降的陡峭程度）的有哪些？
单调性
导数
探究新知
运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？
探究1 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v 随时间t变化的函数v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的图象. a= ,b是函数h(t)的零点.
探究新知
观察图象可以发现：
(1)从起跳到最高点，运动员的重心处于上升状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即h(t)单调递增.相应地，v(t)=h′(t)>0.
(2)从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减.相应地，v(t)=h′(t)<0.
探究新知
问题1：能否由h′(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢？
在区间(a,b)上， h′(t)>0
在区间(a,b)上， h′(t)<0
在区间(a,b)上， h(t)单调递增
在区间(a,b)上， h(t)单调递减
猜想
对于高台跳水问题，可以发现：
当t∈(0,a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0,a)上单调递增；
当t∈(a,b)时，h′(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a,b)上单调递减.
探究新知
x
y
O
y＝x
(1)
x
y
O
y＝x2
(2)
x
y
O
y＝x3
(3)
x
y
O
(4)
探究2：观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系。
导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率
从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系；
探究新知
x
y
O
f (x)＝x
(1)
x
y
O
f ′(x)＝1
在(-∞, +∞)上， f (x)单调递增
在(-∞, +∞)上，f ′ (x)>0
在(-∞, 0)上， f (x)单调递减
在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0
x
y
O
f (x) ＝x2
(2)
x
y
O
f ′(x)＝2x
在(0, +∞)上， f (x)单调递增
在(0, +∞)上，f ′ (x)>0
探究新知
在(-∞, 0)上， f (x)单调递增
在(-∞, 0)上， f ′ (x)>0
x
y
O
f ′ (x) ＝3x2
在(0, +∞)上， f (x)单调递增
在(0, +∞)上，f ′ (x)>0
x
y
O
f (x) ＝x3
(3)
探究新知
在(-∞, 0)上， f (x)单调递减
在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0
在(0, +∞)上， f (x)单调递减
在(0, +∞)上，f ′ (x)<0
x
y
O
(4)
x
y
O
f (x0)>0
f (x)在x0附近↗
切线“左下右上”
导数f ′(x0)
在区间上， f ′(x)>0
函数y=f (x)的图象在点(x0, f(x0))处切线的斜率
在x=x0处f ′(x0)>0
函数y=f (x)的图象上升，在x=x0附近单调递增
切线“左下右上”上升
在区间上，f (x) 单调递增
问题2：能否由h′(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢？
探究新知
问题2：能否由h′(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢？
探究新知
f (x1)<0
f (x)在x1附近↘
切线“左上右下”
导数f ′(x1)
在区间上， f ′(x)<0
函数y=f (x)的图象在点(x1, f(x1))处切线的斜率
在x=x1处f ′(x1)<0
函数y=f (x)的图象下降，在x=x1附近单调递减
切线“左上右下”下降
在区间上，f (x) 单调递减
定义形成
a
b
y=f(x)
x
o
y
y=f(x)
x
o
y
a
b
f '(x)>0
f '(x)<0
定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数,
在某个区间(a,b)上，如果f '(x)> 0,那么函数y=f(x) 在区间(a,b)上单调递增;
在某个区间(a,b)上，如果f '(x)< 0,那么函数y=f(x) 在区间(a,b)上单调递减;
如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.
定义剖析
例题精讲
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f(x)=x3+3x; (2) f(x)=sinx-x,x∈(0,π) (3) f(x)＝.
解：(1)因为f(x)=x3+3x,
所以f '(x)=3x2+3=3(x2+1)>0.
所以，函数f(x)=x3+3x在R上单调递增，如图所示.
解： (2)因为f(x)=sinx-x,x∈(0,π),
所以f '(x)=cosx-1<0.
所以，函数f(x)=sinx-x在(0,π)上单调递减，如图所示.
例题精讲
例1 利用导数判断下列函数的单调性：
(1)f(x)=x3+3x; (2) f(x)=sinx-x,x∈(0,π) (3) f(x)＝.
解：(3)因为f(x)＝, x∈(-∞,0)∪(0,+ ∞),所以f '(x)= >0.
所以，函数f(x)＝在区间(-∞,0)和(0,+ ∞)上单调递增，如图所示
例题精讲
例2 已知导函数f '(x)的下列信息：
当10;当x<1,或x>4时, f '(x) <0;当x=1,或x=4时, f '(x)=0.
试画出函数f(x)图象的大致形状.
解：当10,可知f(x)在区间(1,4)上单调递增；
当x<1,或x>4时，f '(x)<0,可知f(x)在区间(-∞,1)和(4,+∞)上都单调递减；
当x=1,或x=4时，f '(x)=0,这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”.
综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示.
思考:请同学们回顾一下函数单调性的定义，并思考在某个区间上单调的函数y=f(x)的平均变化率的几何意义与f '(x)的正负的关系.
反馈练习
1.判断下列函数的单调性：
(1)f(x)=x2-2x+4;(2)f(x)=ex-x.
解: (1)因为f(x)=x2-2x+4是二次函数，其定义域为R.
所以其对称轴方程为x=1，又因为f(x)的图象开口向上，
所以，函数f(x)=x2-2x+4在(-∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.
解: (2)因为f(x)=ex-x ，其定义域为R.
所以f ′(x)=ex-1.
令f ′(x)= 0，得x=0
所以当x∈(-∞,0)时， f ′(x)<0
当x∈(0,+∞)时， f ′(x)>0 .
所以，函数f(x)=ex-x在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增.
反馈练习
2.函数y=f(x)的图象如图所示，
试画出函数y=f '(x)图象的大致形状.
解：由图可知，
当x∈(0,a)时，函数f (x)的图象没有升降，所以f ′(x)=0
当x∈(a,b)时，函数f (x)的图象是下降的，所以f ′(x)<0
当x∈(b,c)时，函数f (x)的图象没有升降，所以f ′(x)=0
反馈练习
反馈练习
小结反思
定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内有导数,
在某个区间(a,b)上，如果f '(x)> 0,那么函数y=f(x) 在区间(a,b)上单调递增;
在某个区间(a,b)上，如果f '(x)< 0,那么函数y=f(x) 在区间(a,b)上单调递减;
如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.