5.3.2函数的极值与最大(小)值课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册(共18张PPT)

(共18张PPT)
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
回顾：函数单调性与导数的关系：
如图表示高台跳水运动员的高 随时间
变化的函数 的图象
单调递增
单调递减
归纳: 函数 在点 处 ,在 的附近,
当 时,函数h(t)单调递增， ;
当 时,函数h(t)单调递减, 。
思考：对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢？
1.函数的极值
（3）在点 附近, 的导数的符号有什么规律
（1）函数 在点 的函数值与这些点附近的
函数值有什么关系
（2）函数 在点 的导数值是多少
(图一)
问题：
(图二)
阅读P90，思考以下问题
探究:
x
y
o
x
y
o
a
>0
<0
<0
>0
b
极小值点
极大值点
（导数）左正右负：极大值
（导数）左负右正：极小值
x
y
o
a
b
y=f(x)
f(a)
f(b)
x
－ 0 +
极小值f(a)
x
+ 0 －
极大值f(b)
极小值点a
极大值点b
（导数）左负右正：极小值
（导数）左正右负：极大值
(2)如果f /(b)=0, 并且在x=b附近的左侧f /(x)>0
右侧f /(x)<0, 那么f(b)是极大值
1.函数的极值
(1)如果f /(a)=0, 并且在x=a附近的左侧f /(x)<0，
右侧f /(x)>0, 那么f(a)是极小值
（导数）左正右负：极大值
x
y
o
a
b
y=f(x)
f(a)
f(b)
（导数）左负右正：极小值
口诀：
极大值与极小值统称为极值.
*注：如果某一点x=a两侧的函数单调性相反，则这一点x=a是极值点，且这一点的导数 f /(a) =0
1.极大值一定大于极小值吗？
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．
极小值
极大值
探究新知
思考
导数为0的点一定是函数的极值点吗？
o
x
y
+
+
例如：
不是
x0是函数f(x)的极值点
f′(x0)=0
x0是函数 f(x) 的极值点
x0左右两侧导数异号
f′(x0)=0
结论：f′(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件.
探究新知
2.若f′(x0)=0，则x0是否为极值点
x2, x4是函数f (x)的极值点,其中x2是极大值点,x4是极小值点.
追问：函数y=f′(x)的极大值点和极小值点分别是什么？
x1,x5是函数y=f′(x)的极大值点, x3,x6是函数y=f′(x)的极小值点.
1.函数y=f′(x)的图象如图所示,试找出函数f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
请看课本P92：练习1
x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞)
f '(x) 0 0
f (x)
–
+
+
单调递增
单调递减
单调递增
-2
O
x
y
2
令f′(x)=（x+2)(x－2)=0，解得x1=－2，x2=2
（导数）左正右负：极大值
（导数）左负右正：极小值
2.求下列函数的极值：
(2)f(x)=x3－27x； (3)f(x)=6+12x－x3.
解: (2)函数f (x)的定义域为R，且 f′(x)=3x2－27.
令f′(x)=0，得x=±3
所以, f (x)在x=－3时取得极大值, 且极大值为f (－3)=54;
f (x)在x=3时取得极小值, 且极小值为f (3)=－54.
(3) 同理可得，f (x)在x=－2时取得极小值, 且极小值为f (－2)= －10;
f (x)在x=2时取得极大值, 且极大值为f (2)=22.
当x变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表：
x (–∞, –3) –3 (–3, 3) 3 ( 3, +∞)
f '(x) 0 0
f (x) 54 －54
–
+
+
单调递增
单调递减
单调递增
请看课本P92：练习2
（导数）左正右负：极大值
（导数）左负右正：极小值
x (0, e) e (e, +∞)
f ′(x) ＋ 0 －
f (x)
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
单调递增
单调递减
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝ ，没有极小值.
解：函数 的定义域为 (0,+∞)，且 .
补充练习
令f′(x)＝0，解得x＝e.
练习2:函数f(x)=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值，求a、b的值
解：
因为函数在x=1和x=2处有极值，
所以在x=1和x=2处导数为0
*注：如果某一点x=a两侧的函数单调性相反，则这一点x=a是极值点 ,且这一点的导数 f /(a) =0
2.函数的最大（小）值
函数在闭区间[a，b]上的最值：
1.如果函数在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,那么函数必有最大值和最小值
2.最大值一定比最小值大.
3.函数的最值通常在极值点或区间端点处取得
4.只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值。
一般地，利用导数求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：
(2)将y=f(x)的各极值与端点处函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
(1)求f(x)在区间(a，b)内的极值(极大值或极小值)