2021-2022学年人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定提升练习（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定提升练习（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 502.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-07 14:37:35 | ||
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文档简介
相似三角形的判定
一、单选题
1．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
2．将一个三角形的各边都缩小到原来的后，得到三角形与原三角形（ ）
A．一定不相似 B．不一定相似 C．无法判断是否相似 D．一定相似
3．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图， 一副三角板， ， 顶点重合， 将绕其顶点旋转， 在旋转过程中， 以下4个位置， 不存在相似三角形的是 ( ).
A． B．
C． D．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（ ）
A．∠AED=∠B B．
C．AD·BC= DE·AC D．DE//BC
6．下列各组条件中，一定能够判定△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠D＝∠E
B．∠B＝∠E，AB＝3，AC＝4，DE：DF＝3：4
C．△ABC三边长分别为6，18，21，△DEF三边之比为2：7：6
D．∠C＝91°，∠E＝91°，DE：AB＝EF：AC
7．如图，D是BC上的点，∠ADC＝∠BAC，则下列结论正确的是（ ）
A．△ABC∽△DAB B．△ABC∽△DAC C．△ABD∽△ACD D．以上都对
8．如图，P是直角△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过点P作一条直线，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
9．如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（ ）
A． B． C．是的中点 D．
10．如图，已知，添加下列一个条件，不能使∽的是
A． B． C． D．
11．如图，在Rt△ABC 中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点顺时针旋转90后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△ADE≌△AFE．②△ABE∽△ACD．③BE＋DC＝DE．④BE2＋DC2＝DE2．其中一定正确的是（ ）
A．②④ B．①③ C．②③ D．①④
12．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，；∽；；则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，点P在△ABC的边AC上，要使△ABP∽△ACB，还需添加条件：_______．（填写一个即可）
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有______个．
15．如图，点E在 ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三角形共有 _____对．
16．如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时与相似．
三、解答题
17．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．求证：△DCF∽△CEB．
18．如图，在矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E．求证：△ABM∽△EMA．
19．如图，在中，，，E、F分别是AC、BC上的点，．求证：∽．
20．【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．
（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．
【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
解：∵小正方形的边长均为1，
∴△ABC三边按照从短到长排列分别为：，，；
选项A：三角形三边按照从短到长排列分别为：，，3；
选项B：三角形三边按照从短到长排列分别为：，，；
选项C：三角形三边按照从短到长排列分别为：，，；
选项D：三角形三边按照从短到长排列分别为：，，；
其中选项B：，与△ABC三边对应成比例，
故选：B．
2．D
解：∵将一个三角形的各边都缩小到原来的，
∴原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为，
∴得到三角形与原三角形一定相似．
故选：D
3．B
解：∵AD⊥CB，
∴∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
同理：△ADB∽△CAB，
∴△ADC∽△BAC∽△BDA，
故选：B．
4．D
解：∵∠C=∠C，∠CAF=∠CAB-∠BAF=60°-30°=30°=∠B，
∴△ACF∽△BCA，故A不符合题意；
∵∠ACF=∠E，
∴BC∥DE，
∴∠AFC=∠D，
∴△ACF∽△AED，故B不符合题意；
∵∠APC和∠DPE是对顶角，
∴∠APC=∠DPE，
∵∠C=∠E=90°，
∴△ACP∽△DEP，故C不符合题意；
∵∠DAB和∠EAB没有明确的度数，
∴不存在相似三角形．
故选D．
5．C
解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故A不符合题意；
∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故B不符合题意；
∵AD·BC= DE·AC，无夹角相等，
∴不能判定△ADE∽△ACB，
故C符合题意；
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ACB，
故D不符合题意；
故选C．
6．C
解：A、∠A和∠B，∠D和∠E不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意；
B、根据∠B=∠E，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项不符合题意；
C、△ABC三边长分别为6，21，18，则三边之比为2：7：6，由△DEF三边之比为2：7：6可知△ABC与△DEF相似，故此选项符合题意；
D、DE：AB=EF：AC不是直角三角形的对应边成比例，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意．
故选：C．
7．B
解：∵∠ADC＝∠BAC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴选项B正确，选项A、C、D错误，
故选：B．
8．B
解：如图，过点P可作PE∥BC或PE″∥AC，
∴△APE∽△ABC、△PBE″∽△ABC；
过点P还可作PE′⊥AB，可得：∠EPA＝∠C＝90°，∠A＝∠A
∴△APE∽△ACB；
∴满足这样条件的直线的作法共有3种．
故选：B
9．C
解：A．，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到∽，不合题意；
B.，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到，从而有∽，不合题意；
C．P是BC的中点，无法判断与相似，符合题意；
D． ，根据正方形性质得到，又∵∠B=∠C，则∽，不合题意．
故选：C
10．A
解：∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
若∠B=∠D或∠E=∠C或，
则有△ADE∽△ABC．
故选：A．
11．D
解：∵Rt△ABC 中，AB＝AC，
∴
将△ADC绕点顺时针旋转90后，得到△AFB，
则，
又
故①正确；
②在△ABE和△ACD中，从已知条件只能得到，
无法证明△ABE∽△ACD；
故②不正确；
③由①可得，
则，由旋转可得，
中，，
即；
故③不正确；
④由旋转可得，
则，
根据勾股定理可得，
由，，
故④正确
综上，①④正确
故选D
12．B
解：根据矩形的性质得出
由折叠的性质得，，，
∴，故①正确；
由折叠的性质得，，，
∴
在中，，设，则，在中，，解得，∴，∴，
同理在中，，，由得，
∴，
∴，
∴与不相似，故②不正确；
∵，，
∴，即，故③正确；
∵，，，
∴，故④正确．
正确的有①③④
故选：B
13.略
14．4
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，
∴
又
又
，
又
与△ABC相似的三角形有，，，，共计4个
故答案为：4
15．6
解：∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥DC
∵△ABG∽△CEG，△AGF∽△CGB，△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF，△ABF∽△EBC五对，还有一对特殊的相似即△ABC≌△ADC，
∴共6对．
故答案为：6．
16．或##或
解：设经过t秒时，与相似，
则,,,
∵，
∴当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：；
综上所述：经过或秒时，与相似，
17．见解析
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A+∠B=180°，∠DCF=∠BEC．
∵∠DFC+∠DFE=180°，∠DFE=∠A，
∴∠DFC=∠B，
∴△DCF∽△CEB．
18．见解析
解：矩形ABCD中， ，
，
，
，
，
，
．
19．见解析
解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠EDB是△ADE的外角，
∴∠EDF+∠FDB=∠A+∠AED，
∵∠EDF=45°，
∴∠AED=∠FDB，
∴△ADE∽△BFD．
20．(1)见解析
(2)见解析
解：（1）如图1中，△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似，理由如下．
∵∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，
∴△BCD∽△C′B′D′．
（2）如图2中，当∠CAD=∠C′B′D′=15°时，△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似．
理由：∵∠C=∠C′=90°，∠CAD=∠C′B′D′=15°，
∴△ACD∽△B′C′D′，
∵∠B=∠A′B′D′=30°，∠DAB=∠A′=45°，
∴△BAD∽△B′A′D′．
拓展思考:可以，如下图，
设,
作交AB于D，作交 A′B′于D′．则△ACD∽△C′A′D′，△BCD∽△C′B′D′．
理由：∵∠A=∠A′C′D′=，∠ACD=∠A′=，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵，，
∴△BCD∽△C′B′D′．
答案第1页，共2页
一、单选题
1．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
2．将一个三角形的各边都缩小到原来的后，得到三角形与原三角形（ ）
A．一定不相似 B．不一定相似 C．无法判断是否相似 D．一定相似
3．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，两两相似的三角形对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图， 一副三角板， ， 顶点重合， 将绕其顶点旋转， 在旋转过程中， 以下4个位置， 不存在相似三角形的是 ( ).
A． B．
C． D．
5．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件不能满足△ADE∽△ACB的条件是（ ）
A．∠AED=∠B B．
C．AD·BC= DE·AC D．DE//BC
6．下列各组条件中，一定能够判定△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠D＝∠E
B．∠B＝∠E，AB＝3，AC＝4，DE：DF＝3：4
C．△ABC三边长分别为6，18，21，△DEF三边之比为2：7：6
D．∠C＝91°，∠E＝91°，DE：AB＝EF：AC
7．如图，D是BC上的点，∠ADC＝∠BAC，则下列结论正确的是（ ）
A．△ABC∽△DAB B．△ABC∽△DAC C．△ABD∽△ACD D．以上都对
8．如图，P是直角△ABC斜边AB上任意一点（A，B两点除外），过点P作一条直线，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线可以作（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
9．如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（ ）
A． B． C．是的中点 D．
10．如图，已知，添加下列一个条件，不能使∽的是
A． B． C． D．
11．如图，在Rt△ABC 中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点顺时针旋转90后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△ADE≌△AFE．②△ABE∽△ACD．③BE＋DC＝DE．④BE2＋DC2＝DE2．其中一定正确的是（ ）
A．②④ B．①③ C．②③ D．①④
12．如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，；∽；；则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，点P在△ABC的边AC上，要使△ABP∽△ACB，还需添加条件：_______．（填写一个即可）
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为点D，E，则图中与△ABC相似的三角形个数有______个．
15．如图，点E在 ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三角形共有 _____对．
16．如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时与相似．
三、解答题
17．如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．求证：△DCF∽△CEB．
18．如图，在矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E．求证：△ABM∽△EMA．
19．如图，在中，，，E、F分别是AC、BC上的点，．求证：∽．
20．【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A＝60°，∠A′＝45°．
（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．
（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．
【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
解：∵小正方形的边长均为1，
∴△ABC三边按照从短到长排列分别为：，，；
选项A：三角形三边按照从短到长排列分别为：，，3；
选项B：三角形三边按照从短到长排列分别为：，，；
选项C：三角形三边按照从短到长排列分别为：，，；
选项D：三角形三边按照从短到长排列分别为：，，；
其中选项B：，与△ABC三边对应成比例，
故选：B．
2．D
解：∵将一个三角形的各边都缩小到原来的，
∴原三角形的各边与得到的三角形的各边比均为，
∴得到三角形与原三角形一定相似．
故选：D
3．B
解：∵AD⊥CB，
∴∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC＝90°
又∵∠C＝∠C，
∴△ADC∽△BAC，
同理：△ADB∽△CAB，
∴△ADC∽△BAC∽△BDA，
故选：B．
4．D
解：∵∠C=∠C，∠CAF=∠CAB-∠BAF=60°-30°=30°=∠B，
∴△ACF∽△BCA，故A不符合题意；
∵∠ACF=∠E，
∴BC∥DE，
∴∠AFC=∠D，
∴△ACF∽△AED，故B不符合题意；
∵∠APC和∠DPE是对顶角，
∴∠APC=∠DPE，
∵∠C=∠E=90°，
∴△ACP∽△DEP，故C不符合题意；
∵∠DAB和∠EAB没有明确的度数，
∴不存在相似三角形．
故选D．
5．C
解：∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故A不符合题意；
∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
故B不符合题意；
∵AD·BC= DE·AC，无夹角相等，
∴不能判定△ADE∽△ACB，
故C符合题意；
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ACB，
故D不符合题意；
故选C．
6．C
解：A、∠A和∠B，∠D和∠E不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意；
B、根据∠B=∠E，不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项不符合题意；
C、△ABC三边长分别为6，21，18，则三边之比为2：7：6，由△DEF三边之比为2：7：6可知△ABC与△DEF相似，故此选项符合题意；
D、DE：AB=EF：AC不是直角三角形的对应边成比例，故不能判定两三角形相似，故此选项不符合题意．
故选：C．
7．B
解：∵∠ADC＝∠BAC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴选项B正确，选项A、C、D错误，
故选：B．
8．B
解：如图，过点P可作PE∥BC或PE″∥AC，
∴△APE∽△ABC、△PBE″∽△ABC；
过点P还可作PE′⊥AB，可得：∠EPA＝∠C＝90°，∠A＝∠A
∴△APE∽△ACB；
∴满足这样条件的直线的作法共有3种．
故选：B
9．C
解：A．，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到∽，不合题意；
B.，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到，从而有∽，不合题意；
C．P是BC的中点，无法判断与相似，符合题意；
D． ，根据正方形性质得到，又∵∠B=∠C，则∽，不合题意．
故选：C
10．A
解：∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，
即∠DAE=∠BAC，
若∠B=∠D或∠E=∠C或，
则有△ADE∽△ABC．
故选：A．
11．D
解：∵Rt△ABC 中，AB＝AC，
∴
将△ADC绕点顺时针旋转90后，得到△AFB，
则，
又
故①正确；
②在△ABE和△ACD中，从已知条件只能得到，
无法证明△ABE∽△ACD；
故②不正确；
③由①可得，
则，由旋转可得，
中，，
即；
故③不正确；
④由旋转可得，
则，
根据勾股定理可得，
由，，
故④正确
综上，①④正确
故选D
12．B
解：根据矩形的性质得出
由折叠的性质得，，，
∴，故①正确；
由折叠的性质得，，，
∴
在中，，设，则，在中，，解得，∴，∴，
同理在中，，，由得，
∴，
∴，
∴与不相似，故②不正确；
∵，，
∴，即，故③正确；
∵，，，
∴，故④正确．
正确的有①③④
故选：B
13.略
14．4
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，
∴
又
又
，
又
与△ABC相似的三角形有，，，，共计4个
故答案为：4
15．6
解：∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥DC
∵△ABG∽△CEG，△AGF∽△CGB，△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF，△ABF∽△EBC五对，还有一对特殊的相似即△ABC≌△ADC，
∴共6对．
故答案为：6．
16．或##或
解：设经过t秒时，与相似，
则,,,
∵，
∴当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：；
综上所述：经过或秒时，与相似，
17．见解析
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∴∠A+∠B=180°，∠DCF=∠BEC．
∵∠DFC+∠DFE=180°，∠DFE=∠A，
∴∠DFC=∠B，
∴△DCF∽△CEB．
18．见解析
解：矩形ABCD中， ，
，
，
，
，
，
．
19．见解析
解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠EDB是△ADE的外角，
∴∠EDF+∠FDB=∠A+∠AED，
∵∠EDF=45°，
∴∠AED=∠FDB，
∴△ADE∽△BFD．
20．(1)见解析
(2)见解析
解：（1）如图1中，△BCD与△B′C′D′、△ACD与△A′C′D′相似，理由如下．
∵∠A=∠A′C′D′=60°，∠ACD=∠A′=45°，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵∠B=∠B′C′D′，∠BCD=∠B′，
∴△BCD∽△C′B′D′．
（2）如图2中，当∠CAD=∠C′B′D′=15°时，△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B′D′均相似．
理由：∵∠C=∠C′=90°，∠CAD=∠C′B′D′=15°，
∴△ACD∽△B′C′D′，
∵∠B=∠A′B′D′=30°，∠DAB=∠A′=45°，
∴△BAD∽△B′A′D′．
拓展思考:可以，如下图，
设,
作交AB于D，作交 A′B′于D′．则△ACD∽△C′A′D′，△BCD∽△C′B′D′．
理由：∵∠A=∠A′C′D′=，∠ACD=∠A′=，
∴△ACD∽△C′A′D′，
∵，，
∴△BCD∽△C′B′D′．
答案第1页，共2页