登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
初中数学北师大版八年级下册第五章第三节 分式加减 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·梁溪期末）分式 与 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021七下·包河期末）化简 的结果为（ ）
A． B．0 C． D．1
3．（2021·于洪模拟）计算 的结果是（ ）
A．x﹣2 B． C． D．
4．（2021八上·泰安期中）在计算 时， 把运算符号 “÷”看成了“+”，得到的计算结果是 m，则这道题正确的结果是（ ）
A．m B． C．m-1 D．
5．（2021八上·鞍山期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021八上·东平月考）已知，则代数式的值为（ ）
A．3 B．﹣2 C．﹣ D．﹣
7．（2021八上·正定期中）已知a，b均为正数，设 ．下列结论：①当 时， ；②当 时， ；③当 时， ，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2021八上·新泰期中）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格略有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次用去800元，乙每次购买1000千克，而不管购买多少饲料．设两次购买饲料的单价分别为m元/千克和n元千克（m，n是正数，且 ），那么甲、乙所购买的饲料的平均单价（ ）
A．甲所购买的饲料的平均单价低
B．乙所购买的饲料的平均单价低
C．甲、乙所购买的饲料的平均单价相同
D．不能比较
二、填空题
9．（2021八上·长沙期末）将分式与通分，那么最简公分母为 .
10．（2021·庆阳模拟）计算： .
11．（2021九上·北京开学考）计算 的结果是 ．
12．（2021八上·石景山期末）若，则代数式的值是 ．
13．（2021八上·房山期末）是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且．用表示R，则R＝
14．（2021八上·沂源期中）已知 为整数，且 为整数，则所有符合条件的 值的和为 ．
15．（2020八下·重庆期末）端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还会佩减香囊以避邪驱瘟.“行知”精品店也推出了“求真”香囊、“乐群”香囊、“创造”香囊三种产品，所有香囊的外包装都由回收材料制成， 不计成本.其中“求真”香囊的里料是20克艾叶，“乐群”香囊的里料是10克艾叶和20克薄荷，“创造”香囊的里料是20克艾叶和 20 克薄荷.端午节当天，店长发现“乐群”香囊的销量是“求真”香囊的2倍，且“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的 倍，当天的总利润率是50% .第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，当三种产品的销量分别与前一天相同时，总利润率为 .
16．（2020七下·北仑期末）若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，则 … ＝ .
三、计算题
17．
（1）计算：()-1×（-3）2-+20.
（2）化简：-÷
四、解答题
18．（2021八上·芜湖期末）有一道题：“先化简，再求值：÷，其中x= -6．”小张做题时把x= -6错抄成x=6，但是他的计算结果却是正确的．请你阐明原因．
19．（2020八上·荣县月考）先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解，挑一个合适的代入求值.
20．（2021八下·郑州期中）阅读下面材料，并解答问题.
将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：由分母为x2﹣1，可设x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b.
则x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b＝x4﹣x2+ax2﹣a+b＝x4+（a﹣1）x2﹣a+b
∴ ，∴
∴ ＝ ＝ ﹣ ＝（x2+2）﹣
这样，分式 被拆分成了一个整式x2+2与一个分式﹣ 的和.
根据上述作法，将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
21．某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单独完成需要z小时．
（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？
（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求 的值．
五、综合题
22．（2021八上·嵩明期末）若，，，设，
（1）请你任意给出一组a，b，c的值，计算出M和N的值；
（2）猜想M和N的大小关系，并证明．
23．（2021八上·海淀期末）在分式中，若M，N为整式，分母M的次数为a，分子N的次数为b（当N为常数时，），则称分式为次分式．例如，为三次分式．
（1）请写出一个只含有字母的二次分式 ；
（2）已知，（其中m，n为常数）．
①若，，则，，，中，化简后是二次分式的为 ▲ ；
②若A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求的值．
24．（2021八上·龙口期中）（阅读学习）
阅读下面的解题过程：
已知： ，求 的值．
解：由 知x≠0，所以 ，即
所以
故 的值为 ．
（类比探究）
（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知 ，求 的值．
（2）（拓展延伸）
已知 ， ， ，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：在分式 与 中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最简公分母为： ，
故答案为：C.
【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答.
2．【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ，
= ，
= ，
=1，
故答案为：D．
【分析】利用分式的加减法则计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： =
=
= ．
故答案为：B．
【分析】利用分式的加减计算即可。
4．【答案】A
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴=m，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据题意得出，从而得出=m，再根据分式除法法则进行计算，即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据分数的加、减、乘、除判断各选项即可。
6．【答案】D
【知识点】代数式求值；分式的加减法
【解析】【解答】∵=3，
∴a+2b=6ab，
∴ab= （a+2b），
把ab代入原式==== .
故答案为：D.
【分析】根据=3，可求出a+2b=6ab，从而对所求的式子进行变形，从而解答。
7．【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】∵ ，
∴
，
由于a、b均为正数，
∴ ，
∴当 时， ，即 ， ，故①符合题意；
当 时， ，即 ， ，故②符合题意；
当 时， ，即 ， ，故③符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据分式的加法法则，先对M、N变形，再解决问题即可。
8．【答案】A
【知识点】列式表示数量关系；分式的加减法
【解析】【解答】解：甲两次购买饲料的平均单价为： （元/千克），
乙两次购买饲料的平均单价为 （元/千克），
甲、乙两种饲料的平均单价的差是： ，
由于m、n是正数，因为m≠n时， 也是正数，
即 ，
因此甲的购货方式更合算．
故答案为：A．
【分析】根据题意分别表示出甲、乙所购买的饲料的平均单价，再做差求解即可判断。
9．【答案】
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：∵，
∴与通分的最简公分母为
故答案为：.
【分析】取各分母数字系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为最简公分母，据此解答即可.
10．【答案】-1
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
.
【分析】先通分，再把分子合并同类项，最后约分化简即可.
11．【答案】a﹣b．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】原式= = =a﹣b，故答案为：a﹣b．
【分析】利用完全平方公式化简即可得出结论。
12．【答案】3
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵x2+x-3=0，
∴x2+x=3，
∴
=x2+x
=3，
故答案为：3．
【分析】先求出x2+x=3，再化简代数式计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：方程两边同乘，
，
，
，
故答案为．
【分析】先求出，再计算求解即可。
14．【答案】12
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
．
根据题意得：x﹣3＝±1或±2．
解得：x＝4或2或5或1．
则4+2+5+1＝12．
故答案是：12．
【分析】首先把分式进行化简，式子的值的值为整数的条件为：分母是分子的因数，据此求解即可。
15．【答案】38%
【知识点】列式表示数量关系；分式的化简求值
【解析】【解答】设 艾叶成本价为a元，利润率为x， 薄荷成本价为b元，利润率为y，端午节当天“求真”香囊的销量为m件，则“乐群”香囊的销量为 件，“创造”香囊的销量为 件，
“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的 倍，
，
整理得： ，
端午节当天的总利润率是 ，
，
即 ，
整理得： ，
第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，且三种产品的销量分别与前一天相同，
第二天总利润率为 ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： .
【分析】设 艾叶成本价为a元，利润率为x， 薄荷成本价为b元，利润率为y，端午节当天“求真”香囊的销量为m件，则“乐群”香囊的销量为 件，“创造”香囊的销量为 件，先根据利润倍数关系可求出 ，再根据端午节当天的总利润率可得 ，然后根据新的售价和销量列出总利润率的计算式子，化简求值即可得.
16．【答案】
【知识点】分式的混合运算；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，
∴a﹣1＝0且ab﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
则原式＝
＝
＝
＝ ，
故答案为： .
【分析】先由|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，利用非负数的性质得出a、b的值，代入原式后，再利用 裂项求和可得.
17．【答案】（1）解：原式=×9-5+1
=2
（2）解：原式=-.
=-
=1
【知识点】实数的运算；分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）根据实数混合运算顺序先算乘方和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法，即可得出答案；
（2）根据分式混合运算顺序先计算分式的除法，再计算分式的减法，即可得出答案.
18．【答案】解：原式=÷
=·=x2+4．
∵（-6）2=62=36，
∴原式的结果都是36+4=40．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式，再根据 （-6）2=62=36， 求解即可。
19．【答案】解：
=
=
=
解得-2，
当x=-2时，原式=.
【知识点】分式的化简求值；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，然后约分化简；再求出不等式组的整数解，最后将一个使分式有意义的值代入计算即可.
20．【答案】解：
＝
＝x2+7﹣ .
【知识点】分式的通分
【解析】【分析】由分母为x2-1，可设x4+6x2-8= (x2-1) (x2-a) +b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式
拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
21．【答案】（1）解：x÷[1÷（ + ）]
=x÷[1÷ ]
=x÷
= ．
答：甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的 倍
（2）解：由题意得x= ①，y= ②，z= ③．
由①得a= + ，
∴a+1= + +1，
∴ = = ；
同理，由②得 = ；
由③得 = ；
∴ = + + = =1
【知识点】分式的约分；分式的通分；分式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据时间=总量÷效率，将总量设为1，可以表示出乙丙合作完成所需要的时间，用甲的时间÷乙丙合作的时间即可。
（2）根据题目要求，写出甲乙丙三个相关的式子，对其进行通分和约分，得出最后的化简结果，作和即可。
22．【答案】（1）解：a=1，b=0，c=1（a，b，c互不相等即可）．
，，．
．
．
（2）解：猜想M=N．
证明：===．
===．
∴M=N．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】（1）当a=1，b=0，c=-1时，分别代入求出x，y，z的值，进而求出M与N的值；
（2）猜想M=N，证明：把x、y、z分别分别代入M与N，计算后比较即可得证。
23．【答案】（1）（不唯一）
（2）解：①，；② ，，
A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，
且或且
解得：或
或
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据定义可得：这个二次分式为：（不唯一）
（2）① ，，，，
化简后是二次分式；
所以不是二次分式；
所以不是二次分式；
所以是二次分式；
【分析】（1）根据二次分式的定义求解即可；
（2）①根据 ，，再利用分式的性质计算求解即可；
②先求出或 再代入求解即可。
24．【答案】（1）解：∵
∴x≠0，
∴ ，即
∴
∴ =- ；
（2）∵ ， ， ，
∴ = ，
∴
∵ ，
∴
【知识点】分式的化简求值；定义新运算
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法，先根据 ，得到 ，再将代入，最后取倒数即可；
（2）先根据，，，求出=，可得，再根据，最后取倒数即可。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
初中数学北师大版八年级下册第五章第三节 分式加减 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·梁溪期末）分式 与 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：在分式 与 中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最简公分母为： ，
故答案为：C.
【分析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答.
2．（2021七下·包河期末）化简 的结果为（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： ，
= ，
= ，
=1，
故答案为：D．
【分析】利用分式的加减法则计算求解即可。
3．（2021·于洪模拟）计算 的结果是（ ）
A．x﹣2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解： =
=
= ．
故答案为：B．
【分析】利用分式的加减计算即可。
4．（2021八上·泰安期中）在计算 时， 把运算符号 “÷”看成了“+”，得到的计算结果是 m，则这道题正确的结果是（ ）
A．m B． C．m-1 D．
【答案】A
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴=m，
∴.
故答案为：A.
【分析】根据题意得出，从而得出=m，再根据分式除法法则进行计算，即可得出答案.
5．（2021八上·鞍山期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据分数的加、减、乘、除判断各选项即可。
6．（2021八上·东平月考）已知，则代数式的值为（ ）
A．3 B．﹣2 C．﹣ D．﹣
【答案】D
【知识点】代数式求值；分式的加减法
【解析】【解答】∵=3，
∴a+2b=6ab，
∴ab= （a+2b），
把ab代入原式==== .
故答案为：D.
【分析】根据=3，可求出a+2b=6ab，从而对所求的式子进行变形，从而解答。
7．（2021八上·正定期中）已知a，b均为正数，设 ．下列结论：①当 时， ；②当 时， ；③当 时， ，正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】∵ ，
∴
，
由于a、b均为正数，
∴ ，
∴当 时， ，即 ， ，故①符合题意；
当 时， ，即 ， ，故②符合题意；
当 时， ，即 ， ，故③符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据分式的加法法则，先对M、N变形，再解决问题即可。
8．（2021八上·新泰期中）甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格略有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次用去800元，乙每次购买1000千克，而不管购买多少饲料．设两次购买饲料的单价分别为m元/千克和n元千克（m，n是正数，且 ），那么甲、乙所购买的饲料的平均单价（ ）
A．甲所购买的饲料的平均单价低
B．乙所购买的饲料的平均单价低
C．甲、乙所购买的饲料的平均单价相同
D．不能比较
【答案】A
【知识点】列式表示数量关系；分式的加减法
【解析】【解答】解：甲两次购买饲料的平均单价为： （元/千克），
乙两次购买饲料的平均单价为 （元/千克），
甲、乙两种饲料的平均单价的差是： ，
由于m、n是正数，因为m≠n时， 也是正数，
即 ，
因此甲的购货方式更合算．
故答案为：A．
【分析】根据题意分别表示出甲、乙所购买的饲料的平均单价，再做差求解即可判断。
二、填空题
9．（2021八上·长沙期末）将分式与通分，那么最简公分母为 .
【答案】
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：∵，
∴与通分的最简公分母为
故答案为：.
【分析】取各分母数字系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为最简公分母，据此解答即可.
10．（2021·庆阳模拟）计算： .
【答案】-1
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
.
【分析】先通分，再把分子合并同类项，最后约分化简即可.
11．（2021九上·北京开学考）计算 的结果是 ．
【答案】a﹣b．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】原式= = =a﹣b，故答案为：a﹣b．
【分析】利用完全平方公式化简即可得出结论。
12．（2021八上·石景山期末）若，则代数式的值是 ．
【答案】3
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵x2+x-3=0，
∴x2+x=3，
∴
=x2+x
=3，
故答案为：3．
【分析】先求出x2+x=3，再化简代数式计算求解即可。
13．（2021八上·房山期末）是物理学中的一个公式，其中各个字母都不为零且．用表示R，则R＝
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：方程两边同乘，
，
，
，
故答案为．
【分析】先求出，再计算求解即可。
14．（2021八上·沂源期中）已知 为整数，且 为整数，则所有符合条件的 值的和为 ．
【答案】12
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：
．
根据题意得：x﹣3＝±1或±2．
解得：x＝4或2或5或1．
则4+2+5+1＝12．
故答案是：12．
【分析】首先把分式进行化简，式子的值的值为整数的条件为：分母是分子的因数，据此求解即可。
15．（2020八下·重庆期末）端午节前后，人们除了吃粽子、插艾叶以外，还会佩减香囊以避邪驱瘟.“行知”精品店也推出了“求真”香囊、“乐群”香囊、“创造”香囊三种产品，所有香囊的外包装都由回收材料制成， 不计成本.其中“求真”香囊的里料是20克艾叶，“乐群”香囊的里料是10克艾叶和20克薄荷，“创造”香囊的里料是20克艾叶和 20 克薄荷.端午节当天，店长发现“乐群”香囊的销量是“求真”香囊的2倍，且“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的 倍，当天的总利润率是50% .第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，当三种产品的销量分别与前一天相同时，总利润率为 .
【答案】38%
【知识点】列式表示数量关系；分式的化简求值
【解析】【解答】设 艾叶成本价为a元，利润率为x， 薄荷成本价为b元，利润率为y，端午节当天“求真”香囊的销量为m件，则“乐群”香囊的销量为 件，“创造”香囊的销量为 件，
“求真”香囊与“乐群”香囊的利润和是“创造”香囊利润的 倍，
，
整理得： ，
端午节当天的总利润率是 ，
，
即 ，
整理得： ，
第二天店内促销，“求真”香囊、“乐群”香囊的售价均不变，“创造”香囊的售价打八折，且三种产品的销量分别与前一天相同，
第二天总利润率为 ，
，
，
，
，
，
，
故答案为： .
【分析】设 艾叶成本价为a元，利润率为x， 薄荷成本价为b元，利润率为y，端午节当天“求真”香囊的销量为m件，则“乐群”香囊的销量为 件，“创造”香囊的销量为 件，先根据利润倍数关系可求出 ，再根据端午节当天的总利润率可得 ，然后根据新的售价和销量列出总利润率的计算式子，化简求值即可得.
16．（2020七下·北仑期末）若|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，则 … ＝ .
【答案】
【知识点】分式的混合运算；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，
∴a﹣1＝0且ab﹣2＝0，
解得a＝1，b＝2，
则原式＝
＝
＝
＝ ，
故答案为： .
【分析】先由|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，利用非负数的性质得出a、b的值，代入原式后，再利用 裂项求和可得.
三、计算题
17．
（1）计算：()-1×（-3）2-+20.
（2）化简：-÷
【答案】（1）解：原式=×9-5+1
=2
（2）解：原式=-.
=-
=1
【知识点】实数的运算；分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）根据实数混合运算顺序先算乘方和算术平方根，再计算乘法，最后计算加减法，即可得出答案；
（2）根据分式混合运算顺序先计算分式的除法，再计算分式的减法，即可得出答案.
四、解答题
18．（2021八上·芜湖期末）有一道题：“先化简，再求值：÷，其中x= -6．”小张做题时把x= -6错抄成x=6，但是他的计算结果却是正确的．请你阐明原因．
【答案】解：原式=÷
=·=x2+4．
∵（-6）2=62=36，
∴原式的结果都是36+4=40．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简分式，再根据 （-6）2=62=36， 求解即可。
19．（2020八上·荣县月考）先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解，挑一个合适的代入求值.
【答案】解：
=
=
=
解得-2，
当x=-2时，原式=.
【知识点】分式的化简求值；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先通分计算括号内异分母分式的减法，然后将各个分式的分子、分母能分解因式的分别分解因式，同时将除法转变为乘法，然后约分化简；再求出不等式组的整数解，最后将一个使分式有意义的值代入计算即可.
20．（2021八下·郑州期中）阅读下面材料，并解答问题.
将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
解：由分母为x2﹣1，可设x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b.
则x4+x2﹣3＝（x2﹣1）（x2+a）+b＝x4﹣x2+ax2﹣a+b＝x4+（a﹣1）x2﹣a+b
∴ ，∴
∴ ＝ ＝ ﹣ ＝（x2+2）﹣
这样，分式 被拆分成了一个整式x2+2与一个分式﹣ 的和.
根据上述作法，将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式.
【答案】解：
＝
＝x2+7﹣ .
【知识点】分式的通分
【解析】【分析】由分母为x2-1，可设x4+6x2-8= (x2-1) (x2-a) +b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式
拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.
21．某快递公司有甲、乙、丙三个机器人分配快件，甲单独完成需要x小时，乙单独完成需要y小时，丙单独完成需要z小时．
（1）求甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的几倍？
（2）若甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的a倍，乙单独完成的时间是甲丙合作完成时间的b倍，丙单独完成的时间是甲乙合作完成时间的c倍，求 的值．
【答案】（1）解：x÷[1÷（ + ）]
=x÷[1÷ ]
=x÷
= ．
答：甲单独完成的时间是乙丙合作完成时间的 倍
（2）解：由题意得x= ①，y= ②，z= ③．
由①得a= + ，
∴a+1= + +1，
∴ = = ；
同理，由②得 = ；
由③得 = ；
∴ = + + = =1
【知识点】分式的约分；分式的通分；分式的化简求值
【解析】【分析】（1）根据时间=总量÷效率，将总量设为1，可以表示出乙丙合作完成所需要的时间，用甲的时间÷乙丙合作的时间即可。
（2）根据题目要求，写出甲乙丙三个相关的式子，对其进行通分和约分，得出最后的化简结果，作和即可。
五、综合题
22．（2021八上·嵩明期末）若，，，设，
（1）请你任意给出一组a，b，c的值，计算出M和N的值；
（2）猜想M和N的大小关系，并证明．
【答案】（1）解：a=1，b=0，c=1（a，b，c互不相等即可）．
，，．
．
．
（2）解：猜想M=N．
证明：===．
===．
∴M=N．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】（1）当a=1，b=0，c=-1时，分别代入求出x，y，z的值，进而求出M与N的值；
（2）猜想M=N，证明：把x、y、z分别分别代入M与N，计算后比较即可得证。
23．（2021八上·海淀期末）在分式中，若M，N为整式，分母M的次数为a，分子N的次数为b（当N为常数时，），则称分式为次分式．例如，为三次分式．
（1）请写出一个只含有字母的二次分式 ；
（2）已知，（其中m，n为常数）．
①若，，则，，，中，化简后是二次分式的为 ▲ ；
②若A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，求的值．
【答案】（1）（不唯一）
（2）解：①，；② ，，
A与B的和化简后是一次分式，且分母的次数为1，
且或且
解得：或
或
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）根据定义可得：这个二次分式为：（不唯一）
（2）① ，，，，
化简后是二次分式；
所以不是二次分式；
所以不是二次分式；
所以是二次分式；
【分析】（1）根据二次分式的定义求解即可；
（2）①根据 ，，再利用分式的性质计算求解即可；
②先求出或 再代入求解即可。
24．（2021八上·龙口期中）（阅读学习）
阅读下面的解题过程：
已知： ，求 的值．
解：由 知x≠0，所以 ，即
所以
故 的值为 ．
（类比探究）
（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目：已知 ，求 的值．
（2）（拓展延伸）
已知 ， ， ，求 的值．
【答案】（1）解：∵
∴x≠0，
∴ ，即
∴
∴ =- ；
（2）∵ ， ， ，
∴ = ，
∴
∵ ，
∴
【知识点】分式的化简求值；定义新运算
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法，先根据 ，得到 ，再将代入，最后取倒数即可；
（2）先根据，，，求出=，可得，再根据，最后取倒数即可。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
