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初中数学北师大版八年级下册第五章第四节 分式方程 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·铜仁月考）下列关于x的方程：① ，② ，③ ，④ 中，分式方程有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2020八下·济南期中）解分式方程 ，去分母得（ ）
A．1﹣2（x﹣5）＝﹣3 B．1﹣2（x﹣5）＝3
C．1﹣2x﹣10＝﹣3 D．1﹣2x+10＝3
3．（2021·庆阳模拟）关于x的分式方程 的解为 ，则常数a的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．5
4．（）某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务。设乙车间每天生产x个玩具，可列方程为（ ）
A．= B．=
C．= D．=
5．（2021八上·红桥期末）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·汉阴期末）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（ ）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
7．（2021八上·庄浪期末）若关于x的方程有增根，则m的取值是（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．1
8．（2021·陆良模拟）若整数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 有整数解，那么所有满足条件的a的值的积是（ ）
A．2 B．3 C． D．8
二、填空题
9．（2021八上·平罗期末）把分式方程 化成整式方程，去分母后的方程为
10．（2021七下·镇海期末）分式 等于零，则x的值为 ．
11．（2020八上·椒江期末）对于两个非零代数式，定义一种新的运算： .若 ，则x= .
12．（2020八下·眉山期末）某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，设提速前列车的平均速度为x
km/h，则列方程为 .
13．（2021八上·香洲期末）已知 ，则的值为 ．
14．（2021八上·西峰期末）若关于x的分式方程有增根，则a的值为 .
15．（2021九上·云阳月考）随着5月底广州“新冠”疫情的爆发，为了抵抗病毒的侵袭，量子巴川中学组织教师到社区卫生服务中心接种新冠病毒疫苗，由于疫苗数量有限，所以要分批进行接种.初中三个年级都有教师参加第一批疫苗接种，其中初一年级，初二年级和初三年级参加第一批疫苗接种的教师人数之比是5：3：2，第二批疫苗到货后，初中三个年级都有教师参加第二批疫苗接种，初三年级新增接种教师人数占总新增接种教师人数的 ，第二批疫苗接种后初三年级接种教师总人数占这三个年级接种教师总人数之和的 ，并且初一年级接种教师总人数和初二年级接种教师总人数之比为 ，则初二年级第二批接种教师人数与初中三个年级接种教师总人数之比为 .
16．（2020·资兴模拟）观察下列等式：
， ，
将以上三个等式两边分别相加得： = + + = =
猜想并得出： =
根据以上推理，求出分式方程 的解是 ．
三、计算题
17．（2021八上·营口期末）解分式方程：
（1）；
（2）．
四、解答题
18．（2020·杭州模拟）解分式方程1- 晨晨的解答如下：
解：去分母，得2x+2-x-3=6x化简得x= ，经检验x= 是原方程的解。
所以原方程的解是x= 。
晨晨的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答。
19．（2021八上·燕山期末）列方程解应用题：
“共和国勋章”获得者，“杂交水稻之父”袁隆平院士一生致力于提高水稻的产量，为解决人类温饱问题做出了巨大贡献．某农业基地现有A，B两块试验田，A块种植普通水稻，B块种植杂交水稻．已知杂交水稻的亩产量是普通水稻亩产量的1.8倍，A块试验田种植面积比B块试验田多5亩，两块试验田的总产量都是6750千克．求杂交水稻的亩产量是多少千克？
20．（2021八上·昌平期末）若关于x的分式方程的解是正数，当m取最大整数时，求的平方根．
21．（2021八上·吉林期末）定义一种新运算“”，规则如下：，，这里等式右边是实数运算，例如：．求中的值．
22．（2021七下·镇海期末）刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？
五、综合题
23．（2021八上·厦门期末）某国家5A级景区开展一年一度的旅游主题活动，活动将持续两周.景区内某餐厅今年活动期间推出“精品套餐”，在午餐和晚餐时间只出售该套餐，且定价相同.活动开始后，该套餐的销售情况如下：第一天，午餐、晚餐时间均按定价出售，当天销售总收入为30000元；第二天，午餐时间按定价共售出100份；晚餐时间按定价打九五折出售（即按定价的95%出售），当天销售总收入为37650元，且全天销售量比第一天多30%（销售量指售出的套餐的份数）.
（1）若第一天的全天销售量为m，请用含m的代数式表示第二天晚餐时间该套餐的销售量；
（2）该套餐的定价为多少元？
（3）第三天，餐厅在午餐时间按定价打九二折出售该套餐，晚餐按定价出售，全天销售量比第一天多32%；第四天，午餐和晚餐时间均按定价打九折出售，全天销售量比第一天多1倍.根据该餐厅往年活动期间的销售数据，午餐时间套餐的销售量和晚餐时间套餐的销售量有如下规律：
①若套餐价格不变，则二者分别保持基本稳定；
②若套餐按定价打折，折扣相同，则二者的增长率也会大致相同.
参考前四天该套餐按定价所打折扣与销售量增长率之间的关系，若第五天午餐与晚餐时间均按定价打八八折出售该套餐，你认为全天销售量会是多少？请说明理由.
24．（2021八上·平谷期末）我们已经学过如果关于x的分式方程满足
（a，b分别为非零整数），且方程的两个跟分别为．
我们称这样的方程为“十字方程”．
例如： 可化为∴
再如： 可化为∴
应用上面的结论解答下列问题：
（1）“十字方程”，则 ， ；
（2）“十字方程”的两个解分别为，求的值；
（3）关于的“十字方程”的两个解分别为，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【考点】分式方程的定义
【解析】【解答】解：关于x的方程① ，方程分母中不含未知数，不是分式方程；
关于x的方程② ，方程分母含有未知数，是分式方程；
关于x的方程③ ，方程分母中含有未知数，是分式方程；
关于x的方程④ 中，方程分母中不含未知数，不是分式方程.
综上，是分式方程的有②、③，共2个.
故答案为：C.
【分析】分母里含有未知数的方程叫分式方程，据此判断.
2．【答案】A
【考点】解分式方程
【解析】【解答】方程变形得： ，
去括号得：1﹣2（x﹣5）＝﹣3，
故答案为：A．
【分析】分式方程整理后，找出最简公分母，去分母得到结果，即可作出判断．
3．【答案】A
【考点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
方程两边都乘以x（x-a），得：3x=2（x-a），
将x=2代入，得：6=2（2-a），
解得a=-1.
故答案为：A.
【分析】给分式方程两边同时乘以x(x-a)，得：3x=2(x-a)，然后将x=2代入就可得到a的值.
4．【答案】C
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设乙车间每天生产x个玩具，则甲车间每天生产（x+10）个玩具，
根据题意得：.
故答案为：C.
【分析】设乙车间每天生产x个玩具，得出甲车间每天生产（x+10）个玩具，再根据甲乙车间完成任务所用的时间相等列出方程，即可得出答案.
5．【答案】D
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
两边都乘以2(3x-1)，得
3(3x-1)-2=7，
∴9x-3-2=7，
∴9x=12，
∴，
检验：当时，2(3x-1) ≠0，
∴是原分式方程的解，
故答案为：D．
【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
6．【答案】B
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设通过AB的速度是xm/s，
根据题意可列方程： ，
解得x=1，
经检验：x=1是原方程的解且符合题意.
所以通过AB时的速度是1m/s.
故答案为：B.
【分析】根据路程、速度与时间之间的关系，分别表示出小敏通过AB及BC段的时间，根据共用时22秒列出方程，然后求出方程的解.
7．【答案】A
【考点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘以(x-2)得：
-2+x+m=2(x-2)，
∵分式方程有增根，
∴x-2=0，
解得x=2，
∴-2+2+m=2×(2-2)，
解得m=0.
故答案为:A.
【分析】先去分母（方程右边的2不能漏乘），将分式方程转化为整式方程；再根据方程有增根，则分母等于0，可得到x=2，将x=2代入整式方程，可求出m的值.
8．【答案】C
【考点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得x≥5，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
解方程 得 ，
∵分式方程有整数解，
∴ =±1、-3，
解得：a=3或5或-1，
又a＜5，所以a只能为-1或3
∴所有满足条件的a值的积为 =-3，
故答案为：C．
【分析】解题关键熟练掌握解不等式组和分式方程的基本技能，求出符合条件的a值。注意使分母为0的x值是为增根，舍去。
9．【答案】
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程的两边同乘 ，得
，
故答案为： .
【分析】方程两边乘最简公分母即可.
10．【答案】x=1
【考点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得x=1，
故答案为：x=1.
【分析】根据分式的性质列出方程即可求解.
11．【答案】
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：据题意得：
x@(x-2)=，
∴=1，
解分式方程，去分母得：x-2+x2=x(x-2)，
解得：x=.
故答案为：.
【分析】根据题中新定义，把x@(x-2)变形为=1，解这个分式方程即可. 注意解分式方程时要检验.
12．【答案】
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：列车提速前行驶skm用的时间是 小时，
列车提速后行驶s+50km用的时间是 小时，
因为列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，
所以列方程是 .
【分析】根据提速前行驶skm和提速后行驶（s+50）km的时间相同即可列方程.
13．【答案】8
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：等式两边同时乘以(a-4)(b-4)，得
，
即，
即，
即，
即，
∴，
故答案为：8．
【分析】等式两边同时乘以(a-4)(b-4)，根据分式方程的性质求解即可。
14．【答案】-1
【考点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：.
故答案为：.
【分析】先去分母，将分式方程转化为整式方程，要使方程有增根，则分母为0，可求出x的值，再将x的值代入整式方程，可求出a的值.
15．【答案】
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一批总人数为 ，第二批总人数为 ，第二批初二教师人数为 ，则第二批初三教师人数为 ，第二批初一人数为 ，第一批初一人数为 ，初二 ，初三 ，
根据题意列出方程得 ，
解得： ，
.
故答案为： .
【分析】设第一批总人数为10x，第二批总人数为10y，第二批初二教师人数为z，然后表示出第二批初三教师人数、第二批初一人数、第一批初一、初二、初三人数，根据题意列出关于x、y、z的方程组，表示出y、z，据此解答.
16．【答案】x=5
【考点】解分式方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故答案为：x=5．
【分析】根据题目中的运算法则，原方程利用拆项法变形后，求出答案即可．
17．【答案】（1）解：，
原方程化为：，
方程两边乘（x+2）（x﹣2），得x2﹣8＝x2﹣4﹣（x+2），
∴，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是原分式方程的增根．即原分式方程无解；
（2）解：，
原方程化为：，
方程两边乘2（x﹣3），得2（x﹣2）＝4（x﹣3）+1，
解得：x＝3.5，
检验：当x＝3.5时，2（x﹣3）≠0，
∴x＝3.5是原方程的解，即原方程的解是x＝3.5．
【考点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母，再利用整式方程的运算求解即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1即可。
18．【答案】解：晨晨的解答不正确；
去分母，得
2x+2-（x-3）=6x
去括号，得
2x+2-x+3=6x
移项，得
2x-x-6x =-2-3
化简，得
-5x=-5
x=1
经检验x=1是原方程的解。
【考点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤，可以解出方程，分式方程要检验；去括号时注意符号。
19．【答案】解：设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻的亩产量是1.8x千克，
根据题意，得 ，
解这个方程，得．
经检验：是方程的解，符合题意．
千克．
答：杂交水稻的亩产量是1080千克．
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻的亩产量是1.8x千克，根据题意列出方程，解之并检验即可得出答案。
20．【答案】解：解分式方程，得
x=6-m，
∵
∴，即
∵
∵分式方程的解是正数，
∴6-m>0，
∴m<6，
∴m的取值范围是m<6，且
可得m取最大整数5，
当m=5时，
m2+2m+1的平方根为：
=±6．
【考点】平方根；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】先求出 6-m>0， 再求出 m的取值范围是m<6，且 ，最后计算求解即可。
21．【答案】解：根据题中的新定义化简得：，即，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
【考点】解分式方程；定义新运算
【解析】【分析】 根据新定义可得方程，然后求解即可.
22．【答案】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行3x千米，
由题意得： ，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝60，
答：李明乘公交、刘峰骑自行车每小时分别行60千米、20千米．
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行3x千米， 依据李明和刘峰的对话内容即可列出关于x的方程，解出x后检验即可得到答案.
23．【答案】（1）解：第一天的全天销售量为m，第二天晚餐套餐的销售量为：
份；
（2）解：套餐定价为： ，
则： ，
解得：
经检验： 符合题意，
套餐定价为： 元，
答：该套餐定价为120元.
（3）解：第一天午餐卖100份，晚餐买250﹣100＝150份，
第二天午餐卖100份，全天卖250×1.3＝325份，晚上卖325﹣100＝225份，
打折后的增长率为： ，
第三天晚餐卖150份，午餐卖： ，
打折后的增长率为： ，
第四天销售量为：250×2＝500，
增长率为：1×100%＝100%，
由此可知打x折后的销售量的增长率y是一次函数，
设这个函数为：
则：①0.5＝0.95k+b，
②0.8＝0.92k+b，
③1＝0.9k+b，
解得：k＝﹣10，b＝10
∴y＝﹣10x+10，
当x＝0.88时，y＝1.2，
第5天全天的销售量为：250×（1+120%）＝550份，
答：第5天的销售量为550份.
【考点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）依据第二天全天销售量比第一天多30%可得第二天的销售总量为（1+30％）m，再减去第二天中午销售的数量即可表示出第二天晚餐的销售量；
（2）通过第二天午餐销售套餐的收入+第二天晚餐销售套餐的收入=37650列分式方程求解；
（3）找出前几天每天午餐及晚餐销售的数量找出增长率，通过观察即可发现“ 打x折后的销售量的增长率y是一次函数 ”，从而建立函数模型，求出第五天的增长率即可.
24．【答案】（1）－2；－4
（2）解：∵
∴
∴
∴，
∴
（3）解：∵为关于x的“十字方程”
∴
∴
∴或
∵
∴或
∴
【考点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】（1）可化为，
∴－2，－4；
故答案为：－2，－4；
【分析】（1）先求出，再求解即可；
（2）根据题意求出 ，再求出， ，最后求解即可；
（3）先求出 或 ，再求解即可。
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初中数学北师大版八年级下册第五章第四节 分式方程 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·铜仁月考）下列关于x的方程：① ，② ，③ ，④ 中，分式方程有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【考点】分式方程的定义
【解析】【解答】解：关于x的方程① ，方程分母中不含未知数，不是分式方程；
关于x的方程② ，方程分母含有未知数，是分式方程；
关于x的方程③ ，方程分母中含有未知数，是分式方程；
关于x的方程④ 中，方程分母中不含未知数，不是分式方程.
综上，是分式方程的有②、③，共2个.
故答案为：C.
【分析】分母里含有未知数的方程叫分式方程，据此判断.
2．（2020八下·济南期中）解分式方程 ，去分母得（ ）
A．1﹣2（x﹣5）＝﹣3 B．1﹣2（x﹣5）＝3
C．1﹣2x﹣10＝﹣3 D．1﹣2x+10＝3
【答案】A
【考点】解分式方程
【解析】【解答】方程变形得： ，
去括号得：1﹣2（x﹣5）＝﹣3，
故答案为：A．
【分析】分式方程整理后，找出最简公分母，去分母得到结果，即可作出判断．
3．（2021·庆阳模拟）关于x的分式方程 的解为 ，则常数a的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．5
【答案】A
【考点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
方程两边都乘以x（x-a），得：3x=2（x-a），
将x=2代入，得：6=2（2-a），
解得a=-1.
故答案为：A.
【分析】给分式方程两边同时乘以x(x-a)，得：3x=2(x-a)，然后将x=2代入就可得到a的值.
4．（）某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务。设乙车间每天生产x个玩具，可列方程为（ ）
A．= B．=
C．= D．=
【答案】C
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设乙车间每天生产x个玩具，则甲车间每天生产（x+10）个玩具，
根据题意得：.
故答案为：C.
【分析】设乙车间每天生产x个玩具，得出甲车间每天生产（x+10）个玩具，再根据甲乙车间完成任务所用的时间相等列出方程，即可得出答案.
5．（2021八上·红桥期末）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
两边都乘以2(3x-1)，得
3(3x-1)-2=7，
∴9x-3-2=7，
∴9x=12，
∴，
检验：当时，2(3x-1) ≠0，
∴是原分式方程的解，
故答案为：D．
【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
6．（2021八上·汉阴期末）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段A—B—C横穿双向行驶车道，其中AB=BC=12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（ ）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
【答案】B
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设通过AB的速度是xm/s，
根据题意可列方程： ，
解得x=1，
经检验：x=1是原方程的解且符合题意.
所以通过AB时的速度是1m/s.
故答案为：B.
【分析】根据路程、速度与时间之间的关系，分别表示出小敏通过AB及BC段的时间，根据共用时22秒列出方程，然后求出方程的解.
7．（2021八上·庄浪期末）若关于x的方程有增根，则m的取值是（ ）
A．0 B．2 C．-2 D．1
【答案】A
【考点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：方程两边都乘以(x-2)得：
-2+x+m=2(x-2)，
∵分式方程有增根，
∴x-2=0，
解得x=2，
∴-2+2+m=2×(2-2)，
解得m=0.
故答案为:A.
【分析】先去分母（方程右边的2不能漏乘），将分式方程转化为整式方程；再根据方程有增根，则分母等于0，可得到x=2，将x=2代入整式方程，可求出m的值.
8．（2021·陆良模拟）若整数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 有整数解，那么所有满足条件的a的值的积是（ ）
A．2 B．3 C． D．8
【答案】C
【考点】解分式方程；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式 得x≥5，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组无解，
∴ ，
解方程 得 ，
∵分式方程有整数解，
∴ =±1、-3，
解得：a=3或5或-1，
又a＜5，所以a只能为-1或3
∴所有满足条件的a值的积为 =-3，
故答案为：C．
【分析】解题关键熟练掌握解不等式组和分式方程的基本技能，求出符合条件的a值。注意使分母为0的x值是为增根，舍去。
二、填空题
9．（2021八上·平罗期末）把分式方程 化成整式方程，去分母后的方程为
【答案】
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程的两边同乘 ，得
，
故答案为： .
【分析】方程两边乘最简公分母即可.
10．（2021七下·镇海期末）分式 等于零，则x的值为 ．
【答案】x=1
【考点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得x=1，
故答案为：x=1.
【分析】根据分式的性质列出方程即可求解.
11．（2020八上·椒江期末）对于两个非零代数式，定义一种新的运算： .若 ，则x= .
【答案】
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：据题意得：
x@(x-2)=，
∴=1，
解分式方程，去分母得：x-2+x2=x(x-2)，
解得：x=.
故答案为：.
【分析】根据题中新定义，把x@(x-2)变形为=1，解这个分式方程即可. 注意解分式方程时要检验.
12．（2020八下·眉山期末）某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，设提速前列车的平均速度为x
km/h，则列方程为 .
【答案】
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：列车提速前行驶skm用的时间是 小时，
列车提速后行驶s+50km用的时间是 小时，
因为列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，
所以列方程是 .
【分析】根据提速前行驶skm和提速后行驶（s+50）km的时间相同即可列方程.
13．（2021八上·香洲期末）已知 ，则的值为 ．
【答案】8
【考点】解分式方程
【解析】【解答】解：等式两边同时乘以(a-4)(b-4)，得
，
即，
即，
即，
即，
∴，
故答案为：8．
【分析】等式两边同时乘以(a-4)(b-4)，根据分式方程的性质求解即可。
14．（2021八上·西峰期末）若关于x的分式方程有增根，则a的值为 .
【答案】-1
【考点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：.
故答案为：.
【分析】先去分母，将分式方程转化为整式方程，要使方程有增根，则分母为0，可求出x的值，再将x的值代入整式方程，可求出a的值.
15．（2021九上·云阳月考）随着5月底广州“新冠”疫情的爆发，为了抵抗病毒的侵袭，量子巴川中学组织教师到社区卫生服务中心接种新冠病毒疫苗，由于疫苗数量有限，所以要分批进行接种.初中三个年级都有教师参加第一批疫苗接种，其中初一年级，初二年级和初三年级参加第一批疫苗接种的教师人数之比是5：3：2，第二批疫苗到货后，初中三个年级都有教师参加第二批疫苗接种，初三年级新增接种教师人数占总新增接种教师人数的 ，第二批疫苗接种后初三年级接种教师总人数占这三个年级接种教师总人数之和的 ，并且初一年级接种教师总人数和初二年级接种教师总人数之比为 ，则初二年级第二批接种教师人数与初中三个年级接种教师总人数之比为 .
【答案】
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一批总人数为 ，第二批总人数为 ，第二批初二教师人数为 ，则第二批初三教师人数为 ，第二批初一人数为 ，第一批初一人数为 ，初二 ，初三 ，
根据题意列出方程得 ，
解得： ，
.
故答案为： .
【分析】设第一批总人数为10x，第二批总人数为10y，第二批初二教师人数为z，然后表示出第二批初三教师人数、第二批初一人数、第一批初一、初二、初三人数，根据题意列出关于x、y、z的方程组，表示出y、z，据此解答.
16．（2020·资兴模拟）观察下列等式：
， ，
将以上三个等式两边分别相加得： = + + = =
猜想并得出： =
根据以上推理，求出分式方程 的解是 ．
【答案】x=5
【考点】解分式方程；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据题意，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
解得：x=5，
经检验x=5是分式方程的解．
故答案为：x=5．
【分析】根据题目中的运算法则，原方程利用拆项法变形后，求出答案即可．
三、计算题
17．（2021八上·营口期末）解分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
原方程化为：，
方程两边乘（x+2）（x﹣2），得x2﹣8＝x2﹣4﹣（x+2），
∴，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是原分式方程的增根．即原分式方程无解；
（2）解：，
原方程化为：，
方程两边乘2（x﹣3），得2（x﹣2）＝4（x﹣3）+1，
解得：x＝3.5，
检验：当x＝3.5时，2（x﹣3）≠0，
∴x＝3.5是原方程的解，即原方程的解是x＝3.5．
【考点】解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母，再利用整式方程的运算求解即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1即可。
四、解答题
18．（2020·杭州模拟）解分式方程1- 晨晨的解答如下：
解：去分母，得2x+2-x-3=6x化简得x= ，经检验x= 是原方程的解。
所以原方程的解是x= 。
晨晨的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答。
【答案】解：晨晨的解答不正确；
去分母，得
2x+2-（x-3）=6x
去括号，得
2x+2-x+3=6x
移项，得
2x-x-6x =-2-3
化简，得
-5x=-5
x=1
经检验x=1是原方程的解。
【考点】分式方程的解及检验
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤，可以解出方程，分式方程要检验；去括号时注意符号。
19．（2021八上·燕山期末）列方程解应用题：
“共和国勋章”获得者，“杂交水稻之父”袁隆平院士一生致力于提高水稻的产量，为解决人类温饱问题做出了巨大贡献．某农业基地现有A，B两块试验田，A块种植普通水稻，B块种植杂交水稻．已知杂交水稻的亩产量是普通水稻亩产量的1.8倍，A块试验田种植面积比B块试验田多5亩，两块试验田的总产量都是6750千克．求杂交水稻的亩产量是多少千克？
【答案】解：设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻的亩产量是1.8x千克，
根据题意，得 ，
解这个方程，得．
经检验：是方程的解，符合题意．
千克．
答：杂交水稻的亩产量是1080千克．
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设普通水稻亩产量为x千克，则杂交水稻的亩产量是1.8x千克，根据题意列出方程，解之并检验即可得出答案。
20．（2021八上·昌平期末）若关于x的分式方程的解是正数，当m取最大整数时，求的平方根．
【答案】解：解分式方程，得
x=6-m，
∵
∴，即
∵
∵分式方程的解是正数，
∴6-m>0，
∴m<6，
∴m的取值范围是m<6，且
可得m取最大整数5，
当m=5时，
m2+2m+1的平方根为：
=±6．
【考点】平方根；分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】先求出 6-m>0， 再求出 m的取值范围是m<6，且 ，最后计算求解即可。
21．（2021八上·吉林期末）定义一种新运算“”，规则如下：，，这里等式右边是实数运算，例如：．求中的值．
【答案】解：根据题中的新定义化简得：，即，
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
【考点】解分式方程；定义新运算
【解析】【分析】 根据新定义可得方程，然后求解即可.
22．（2021七下·镇海期末）刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？
【答案】解：设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行3x千米，
由题意得： ，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝60，
答：李明乘公交、刘峰骑自行车每小时分别行60千米、20千米．
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设刘峰骑自行车每小时行x千米，则李明乘公交车每小时行3x千米， 依据李明和刘峰的对话内容即可列出关于x的方程，解出x后检验即可得到答案.
五、综合题
23．（2021八上·厦门期末）某国家5A级景区开展一年一度的旅游主题活动，活动将持续两周.景区内某餐厅今年活动期间推出“精品套餐”，在午餐和晚餐时间只出售该套餐，且定价相同.活动开始后，该套餐的销售情况如下：第一天，午餐、晚餐时间均按定价出售，当天销售总收入为30000元；第二天，午餐时间按定价共售出100份；晚餐时间按定价打九五折出售（即按定价的95%出售），当天销售总收入为37650元，且全天销售量比第一天多30%（销售量指售出的套餐的份数）.
（1）若第一天的全天销售量为m，请用含m的代数式表示第二天晚餐时间该套餐的销售量；
（2）该套餐的定价为多少元？
（3）第三天，餐厅在午餐时间按定价打九二折出售该套餐，晚餐按定价出售，全天销售量比第一天多32%；第四天，午餐和晚餐时间均按定价打九折出售，全天销售量比第一天多1倍.根据该餐厅往年活动期间的销售数据，午餐时间套餐的销售量和晚餐时间套餐的销售量有如下规律：
①若套餐价格不变，则二者分别保持基本稳定；
②若套餐按定价打折，折扣相同，则二者的增长率也会大致相同.
参考前四天该套餐按定价所打折扣与销售量增长率之间的关系，若第五天午餐与晚餐时间均按定价打八八折出售该套餐，你认为全天销售量会是多少？请说明理由.
【答案】（1）解：第一天的全天销售量为m，第二天晚餐套餐的销售量为：
份；
（2）解：套餐定价为： ，
则： ，
解得：
经检验： 符合题意，
套餐定价为： 元，
答：该套餐定价为120元.
（3）解：第一天午餐卖100份，晚餐买250﹣100＝150份，
第二天午餐卖100份，全天卖250×1.3＝325份，晚上卖325﹣100＝225份，
打折后的增长率为： ，
第三天晚餐卖150份，午餐卖： ，
打折后的增长率为： ，
第四天销售量为：250×2＝500，
增长率为：1×100%＝100%，
由此可知打x折后的销售量的增长率y是一次函数，
设这个函数为：
则：①0.5＝0.95k+b，
②0.8＝0.92k+b，
③1＝0.9k+b，
解得：k＝﹣10，b＝10
∴y＝﹣10x+10，
当x＝0.88时，y＝1.2，
第5天全天的销售量为：250×（1+120%）＝550份，
答：第5天的销售量为550份.
【考点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）依据第二天全天销售量比第一天多30%可得第二天的销售总量为（1+30％）m，再减去第二天中午销售的数量即可表示出第二天晚餐的销售量；
（2）通过第二天午餐销售套餐的收入+第二天晚餐销售套餐的收入=37650列分式方程求解；
（3）找出前几天每天午餐及晚餐销售的数量找出增长率，通过观察即可发现“ 打x折后的销售量的增长率y是一次函数 ”，从而建立函数模型，求出第五天的增长率即可.
24．（2021八上·平谷期末）我们已经学过如果关于x的分式方程满足
（a，b分别为非零整数），且方程的两个跟分别为．
我们称这样的方程为“十字方程”．
例如： 可化为∴
再如： 可化为∴
应用上面的结论解答下列问题：
（1）“十字方程”，则 ， ；
（2）“十字方程”的两个解分别为，求的值；
（3）关于的“十字方程”的两个解分别为，求的值．
【答案】（1）－2；－4
（2）解：∵
∴
∴
∴，
∴
（3）解：∵为关于x的“十字方程”
∴
∴
∴或
∵
∴或
∴
【考点】解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】（1）可化为，
∴－2，－4；
故答案为：－2，－4；
【分析】（1）先求出，再求解即可；
（2）根据题意求出 ，再求出， ，最后求解即可；
（3）先求出 或 ，再求解即可。
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