初中数学北师大版八年级下册第六章第一节 平行四边形性质 同步练习
一、单选题
1．电动伸缩门是依据平行四边形的（ ）
A．可变形 B．伸缩性 C．稳定性 D．不稳定性
2．已知在 ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠B的度数为（ ）
A．100° B．160° C．80° D．60°
3．（2021八下·富顺开学考）如图，在 ABCD中，点E到AD，AB，BC三边的距离都相等，则∠AEB（ ）
A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．度数不确定
4．平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对边平行 D．对边相等
5．如图所示，在平行四边形ABCD中，延长边CD到点E，使CE-AD，连结BE交AD于点F，图中等腰三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图所示，平行四边形纸片ABCD中，∠A=120°，AB=4，BC=5，剪掉两个角后，得到六边形AEFCGH，它的每个内角都是120°，且EF=1，HG=2，则这个六边形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
7．已知 ABCD的周长为36，且AB：AD=1：2，则AB的长为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
8．在面积为60的 中，过点 作 直线BC于点 ，作 直线CD于点 ，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
二、填空题
9．（2021八下·衡阳期末）如图，平行四边形 的周长为 ， 的周长为 ，则对角线 的长为 .
10．（2021八下·新昌期中）如图，E是平行四边形ABCD边BC上一点，连接AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，若AB＝AE，∠F＝50°，则∠D＝ °.
11．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 。
12．如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连结BE，若 □ ABCD的周长为28，则△ABE的周长为 .
13．在平面直角坐标系中，以O，A，B，C为顶点的平行四边形的顶点为O（0，0），A（6，0），B（2，2），C（-4，2），直线y=kx+2平分平行四边形的周长，则k的值为 。
14．已知平面直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= 。
15．（2021八下·江岸期末）如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 . 为直线 上一动点.以 、 为邻边构造平行四边形 ，连接 ，若 .则 的最小值为 .
16．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处。若△FDE的周长为9，△FCB的周长为23，则 □ ABCD的周长为 。
三、解答题
17．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且AE∥CF，求证：AE=CF。
18．（2021八上·杜尔伯特期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，点F在线段BD上，且DE＝BF．求证：AE∥CF．
19．如图1，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线，小明的作法如图2，判断小明的作法是否正确，并说明理由。
四、综合题
20．（2021·盐都模拟）如图，在平行四边形 中， 平分 交 于点F.
（1）尺规作图：过点A作 平分 交 于点E；注意：不写作法，保留作图痕迹，并标明字母.
（2）求证： .
21．如图﹐已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-6，0)，C（-1，0).
（1）请直接写出点A关于原点О对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.
22．如图所示，在ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连结EF交BD于点O。
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG=1时，EF= 。
23．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
（1）求证：BE=CD.
（2）连结BF，若BF⊥AE，∠E=60°，AB=4，求ABCD的面积。
24．如图
（1）如图1，在 ABCD中，AE平分∠BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于 cm。
（2）如图2，在 ABCD中，若AE，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则ABCD的周长为 。
（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线。求证：DF=EC
（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为 。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形具有不稳定性，
∴电动伸缩门是利用了平行四边形的不稳定性.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的不稳定性回答即可.
2．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，
∴∠B+∠D=2∠B=200°，
∴∠B=100°.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的对角相等得出∠B=∠D，结合∠B+∠D=200°，即可解答.
3．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵点E到AD，AB，BC三边的距离都相等，
∴AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝（BAD+∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠AEB＝90°；
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠BAD+∠ABC＝180°，根据到角两边距离相等的点在这个角的平分线上可得AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，则∠BAE+∠ABE＝90°，然后根据三角形内角和定理可求解.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：AB、平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，故A错，符合题意，B正确，不符合题意；
CD、平行四边形对边平行且相等，正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质，即对边平行且相等，对角线互相平分，分别判断，即可作答.
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
又CE=AD，
∴CE=BC，
∴△BCE是等腰三角形；
∵FD∥BC，
∴∠EFD=∠CBE，
又∠CBE=∠E，
∴∠EFD=∠E，
∴△EDF是等腰三角形；
∵AB∥CE，
∴∠ABF=∠E，
∵∠AFD=∠EFD，
∴∠ABE=∠AFB，
∴△BAF是等腰三角形；
综上，等腰三角形有3个.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得出AD=BC，结合CE=AD，得出△BCE为等腰三角形；根据平行线的性质得出∠EFD=∠CBE，结合∠CBE=∠E，推出△EDF是等腰三角形；根据平行线的性质得出∠ABF=∠E，根据对顶角的性质得出∠AFD=∠EFD，推出△BAF是等腰三角形.
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，AD=BC=5，
∵∠AEF=∠EFC=120°，
∴∠BEF=∠EFB=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF=BE=EF=1，
同理HD=GD=HG=2，
∴AE=AB-BE=3，FC=BC-BF=4，AH=AD-AH=3，CG=CD-CG=2，
则这个六边形的周长=AE+EF+FC+CG+HG+AH=3+1+4+2+2+3=15.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质求出CD和AD的长，然后根据邻补角的性质求出△BEF和△BEF是等边三角形，然后根据折叠的性质和线段的和差关系求出该六边形各边的长，最后求其周长即可.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴AB=CD，AD=BC
∴2（AB+AD）=36，
∴AB+AD=18；
∵AB：AD=1：2，
∴AD=2AB，
∴3AB=18，
解之：AB=6.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质可证得AB=CD，AD=BC，结合已知可求出AB+AD的长；再根据题意可得到AD=2AB，然后解方程组求出AB的长.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：①如图，当∠A为锐角时，
∵S= CD×AF=BC×AE=60，
∵BC=12，AB=10，
∴AE=5，AF=6，
∴BE==5，FD==6，
∴CE+CF=BC+BE+CD+FD=22+11.
②如图，当∠A为钝角时，
∵S= CD×AF=BC×AE=60，
∵BC=12，AB=10，
∴AE=5，AF=6，
∴BE==5，FD==6，
∴CE+CF=BC-BE+FD-CD=12-10+6-5=2+.
综上，CE+CF的值为：22+11或2+.
故答案为：D.
【分析】分两种情况讨论：即①当∠A为锐角时，②当∠A为钝角时，利用平行四边形ABCD的面积求出AE和AF的长，再根据勾股定理求出BE、DF，然后根据线段间的和差关系求出CE、CF，即可解答.
9．【答案】10
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长是36 cm，
∴AB+BC=18cm，
∵△ABC的周长是28cm，
∴AB+BC+AC=28cm，
∴AC=28-18=10cm.
故答案为：10.
【分析】平行四边的周长c=2(a+b)算出两邻边之和，进而根据三角形周长=a+b+c即可求得AC的长度.
10．【答案】65°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠F=∠BAE=50°，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB=65°，
∴∠B=∠D=65°；
故填：65°.
【分析】运用平行四边形的性质和平行线的性质可以得出∠F=∠BAE=50°，进而根据等腰三角形的性质和三角形内角和的定理可以求出
∠B=∠AEB=65°，依据平行四边形对角相等的性质即可求解.
11．【答案】30°
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠2+70°+140°+120°=（5-2）×180°，
∴∠1+∠2=210°
∵平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，
∴∠2+120°=180°，∠1+α=180°，
∴∠2+120°+∠1+α=360°，
∴α=30°.
故答案为：30°.
【分析】利用五边形的内角和定理，可求出∠1+∠2的度数，利用平行线的性质可求出∠2的度数；再根据平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，利用邻补角和为180°，可求出α的值.
12．【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，
又OE⊥BD，
∴OE是BD的垂直平分线，
∴BE=ED，
∴BE+AE=ED+AE=AD，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+AD=14.
故答案为：14.
【分析】根据平行四边形的性质得出OB=OD，结合OE⊥BD，得出OE是BD的垂直平分线，则可得到BE=ED，从而把△ABE的周长转化为AB+AD，结合平行四边形的周长，即可解答.
13．【答案】-1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设平行四边形的对角线的交点为点D，
∵O（0，0），B（2，2），
∴点D的坐标为（1，1），
∴直线y=kx+2平分平行四边形的周长，
∴此直线一定经过点D，
∴k+2=1
解之：k=-1.
故答案为：-1.
【分析】先画出图形，设平行四边形的对角线的交点为点D，利用平行四边形的对角线互相平分，可得到点D是BO的中点，利用点B，O的坐标可求出点D的坐标，由此可得到此直线一定经过点D；然后将点D的坐标代入函数解析式，求出k的值.
14．【答案】4或-2
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴C（4，1）或（-2，1），
∴x=4或-2.
故答案为：4或-2.
【分析】根据题意画出平行四边形ABCD，在坐标系中读出C点坐标，即可作答.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点Q作QR//AB，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，如图，
∵ ，
∴∠ACM=30°
∵AC=4
∴AM=2
由勾股定理得，CM=
∵
∴∠MCB=45°
∴
∵ 平分
∴
设MN=x，则AN=2+x
在 中，
∴
由勾股定理得，
∴
∴
又在 中，
∴
解得，
∴DN=2
设O为平行四边形DPQB的中心，
∴O在PB上，
过点Q作QT⊥PB于点T，
∵QO=DO，∠TOQ=∠DON，∠QTO=∠DNO
∴
∴QT=DN=2
根据垂线段最短可知，当CQ⊥QR时，CQ最短，此时CQ=CM+QT=
故答案为：
【分析】过点Q作QR//AB，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，求出，设MN=x，则AN=2+x，根据DN的长列出方程，求出x值，设O为平行四边形DPQB的中心，可得O在PB上，过点Q作QT⊥PB于点T， 证明，可得QT=DN=2，根据垂线段最短可知，当CQ⊥QR时，CQ最短，此时CQ=CM+QT，据此求出结论即可.
16．【答案】32
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，
∴AE=EF，AB=FC=CD，AD=BC，
∵△FDE的周长为9，△FCB的周长为23，
∴DF+DE+EF=9，FC+CB+BF=23，
∴DF+DE+AE=9即AD+DF=9，FC+CD+BC=23，
∴AD+DF+FC+CD+BC=23+9=32即AD+DC+CD+BC=32，
∴2DC+2BC=32
∴ ABCD的周长为32.
故答案为：32.
【分析】利用折叠的性质可证得AE=EF，AB=FC=CD，AD=BC，再利用两个三角形的周长可推出AD+DF=9，FC+CD+BC=23，将两式相加，可求出2DC+2BC的值，即可得到平行四边形ABCD的面积.
17．【答案】证明：∵AE∥CF，
∠AEF=∠CFE，
180°-∠AEF=180°-∠CFE，
即∠AEB=∠DFC
∵四边形ABCD是平行四边形，
DC∥AB，DC=AB，
CDF=∠ABE，
在△CDF和△ABE中，
△CDF≌△ABE（AAS），AE=CF
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据平行线的性质得出 ∠AEF=∠CFE， 则由邻补角的性质得出 ∠AEB=∠DFC ，然后根据平行四边形的性质求出DC=AB，∠CDF=∠ABE，再利用AAS证明 △CDF≌△ABE ，则可证出AE=CF.
18．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先求出 ∠ADE＝∠CBF， 再利用SAS证明 △ADE≌△CBF ，最后利用全等三角形的性质求解即可。
19．【答案】解：小明的作法正确.
理由：设AB，EF的交点为C.
∵四边形AEBF是平行四边形，
∴CA=CB
又∵OA=OB，
OC是∠AOB的平分线。
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出CA=CB，结合OA=OB，则由等腰三角形三线合一的性质得出OC是∠AOB的平分线.
20．【答案】（1）解：如图，AE为所作；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE BAD，∠DCF ∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）由角平分线的定义得∠BAE=BAD，∠DCF=∠BCD，由平行四边形性质得∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，由平行线的性质得∠BAE＝∠DCF，∠ABE＝∠CDF，证明△ABE≌△CDF，据此可得结论.
21．【答案】解：(1) ∵A（-2，3），
∴点A关于原点对称点的坐标为（2，-3）.
(2)如图，△A'B'C'为所作，
点B的对应点B'点坐标为（0，-6）.
(3)如图，
(3)当以AB为对角线时，点D1坐标为(-7， 3) ；
当以BC为对角线时，点D2坐标为(-5， -3) ；
当以AC为对角线时，点D3坐标为(3， 3).
∴ 四个顶点D的坐标 (-7，3)，(3.3)，(-5，-3) .
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)关于原点对称点的坐标特点是横坐标和纵坐标都互为相反数，依此解答即可；
(2)分别作出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°后的点，然后顺次连接，再写出点B的对应点的坐标即可；
(3)分别以AB、BC. AC为对角线作平行四边形，并写出第四个顶点D的坐标.
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
DC∥AB，∴∠ODF=∠OBE.
在△ODF与△OBE中，
△ODF≌△OBE（AAS），
∴BO=DO.
（2）2
【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）∵△ODF≌△OBE，
∴OD=OB，
∵∠A=45°，DC∥AB，
∴∠A=∠GDF=45°，
∵BD⊥AG，
∴∠GDF+∠FDO=90°，
∴∠FDO=45°=∠OBE，
∵EF⊥AB即EF⊥DC，
∴∠DFG=∠DFO=∠BEO=90°，
∴∠G=∠GDF=∠FDO=∠FOD=∠EOB=∠EBO=45°，
∴FG=DF=FO=OE=1
∴EF=OF+OE=1+1=2.
故答案为：2.
【分析】（1）利用平行线的性质可证得DC∥AB，利用平行线的性质可证得∠ODF=∠OBE，再利用AAS证明△ODF≌△OBE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得OD=OB，利用垂直的定义和等腰直角三角形的性质可证得∠G=∠GDF=∠FDO=∠FOD=∠EOB=∠EBO=45°，从而可推出OE=OF=1，由此可求出EF的长.
23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∠E=∠DAE.
AE是∠BAD的平分线，
∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠E ，
AB=BE，
∴BE=CD.
（2）解：AB=BE，∠E=60°，
△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4.
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2，
∴BF= ==2.
∵AD∥BC
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E.
在△ADF和△ECF中，
∵
△ADF≌△ECF（AAS），
∴S△ADF=S△ECF，
SABCD=SABE=AE·BF=×4×2=4.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，推出AB=CD，∠E=∠DAE，结合AE是∠BAD的平分线，得出∠BAE=∠E ，则可得出AB=BE，从而求出BE=CD即可；
(2)先求出△ABE是等边三角形， 则可求出AE的长，再利用勾股定理求出BF长，然后利用AAS证明 △ADF≌△ECF， 从而把△ADF的面积转化为△ECF的面积，进一步把平行四边形ABCD的面积转化为△ABE的面积，最后计算面积即可.
24．【答案】（1）2
（2）12
（3）证明：∵在ABCD中，CD∥AB，
∠DFA=∠FAB.
又∵AF是∠DAB的平分线
∠DAF=∠FAB，
∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，同理可得EC=BC.
∵AD=BC，
DF=EC
（4）1
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5cm，AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE，
∵AE平分∠BAD交CD边于点E，
∴∠BAE=∠DAE，
∴DA=DE=3cm，
∴EC=CD-DE=5-3=2cm，
故答案为：2.
(2)由(1)得DE=AD，同理CE=CB，
∴AD+BC=ED+EC=AB=4，
∴ABCD的周长=AB+CD+AD+BC=4+4+4=12.
故答案为：12.
（4）由（3）可得，AD=DF=BC=EC=3.
∵AB=CD=5，
EF=DF+EC-CD=3+3-5=1.
故答案为1
【分析】(1)根据平行四边形的性质求出CD长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出DE长，即可解答；
(2)由(1)得出AD=DE，BC=EC，然后根据平行四边形的性质求出CD长，根据线段间的和差关系求出AB和BC的长度之和，从而求出ABCD的周长；
(3)根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出AD=DF，EC=BC，结合AD=BC，则可得出DF=EC ；
(4)由(3)求出DF和EC的长，结合AB=CD，利用线段间的和差关系即可解答.
1 / 1初中数学北师大版八年级下册第六章第一节 平行四边形性质 同步练习
一、单选题
1．电动伸缩门是依据平行四边形的（ ）
A．可变形 B．伸缩性 C．稳定性 D．不稳定性
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形具有不稳定性，
∴电动伸缩门是利用了平行四边形的不稳定性.
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的不稳定性回答即可.
2．已知在 ABCD中，∠B+∠D=200°，则∠B的度数为（ ）
A．100° B．160° C．80° D．60°
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B=∠D，
∴∠B+∠D=2∠B=200°，
∴∠B=100°.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的对角相等得出∠B=∠D，结合∠B+∠D=200°，即可解答.
3．（2021八下·富顺开学考）如图，在 ABCD中，点E到AD，AB，BC三边的距离都相等，则∠AEB（ ）
A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．度数不确定
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵点E到AD，AB，BC三边的距离都相等，
∴AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝（BAD+∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠AEB＝90°；
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠BAD+∠ABC＝180°，根据到角两边距离相等的点在这个角的平分线上可得AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，则∠BAE+∠ABE＝90°，然后根据三角形内角和定理可求解.
4．平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对边平行 D．对边相等
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：AB、平行四边形对角线互相平分，但不一定相等，故A错，符合题意，B正确，不符合题意；
CD、平行四边形对边平行且相等，正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质，即对边平行且相等，对角线互相平分，分别判断，即可作答.
5．如图所示，在平行四边形ABCD中，延长边CD到点E，使CE-AD，连结BE交AD于点F，图中等腰三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
又CE=AD，
∴CE=BC，
∴△BCE是等腰三角形；
∵FD∥BC，
∴∠EFD=∠CBE，
又∠CBE=∠E，
∴∠EFD=∠E，
∴△EDF是等腰三角形；
∵AB∥CE，
∴∠ABF=∠E，
∵∠AFD=∠EFD，
∴∠ABE=∠AFB，
∴△BAF是等腰三角形；
综上，等腰三角形有3个.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质得出AD=BC，结合CE=AD，得出△BCE为等腰三角形；根据平行线的性质得出∠EFD=∠CBE，结合∠CBE=∠E，推出△EDF是等腰三角形；根据平行线的性质得出∠ABF=∠E，根据对顶角的性质得出∠AFD=∠EFD，推出△BAF是等腰三角形.
6．如图所示，平行四边形纸片ABCD中，∠A=120°，AB=4，BC=5，剪掉两个角后，得到六边形AEFCGH，它的每个内角都是120°，且EF=1，HG=2，则这个六边形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，AD=BC=5，
∵∠AEF=∠EFC=120°，
∴∠BEF=∠EFB=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF=BE=EF=1，
同理HD=GD=HG=2，
∴AE=AB-BE=3，FC=BC-BF=4，AH=AD-AH=3，CG=CD-CG=2，
则这个六边形的周长=AE+EF+FC+CG+HG+AH=3+1+4+2+2+3=15.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质求出CD和AD的长，然后根据邻补角的性质求出△BEF和△BEF是等边三角形，然后根据折叠的性质和线段的和差关系求出该六边形各边的长，最后求其周长即可.
7．已知 ABCD的周长为36，且AB：AD=1：2，则AB的长为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为36，
∴AB=CD，AD=BC
∴2（AB+AD）=36，
∴AB+AD=18；
∵AB：AD=1：2，
∴AD=2AB，
∴3AB=18，
解之：AB=6.
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质可证得AB=CD，AD=BC，结合已知可求出AB+AD的长；再根据题意可得到AD=2AB，然后解方程组求出AB的长.
8．在面积为60的 中，过点 作 直线BC于点 ，作 直线CD于点 ，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：①如图，当∠A为锐角时，
∵S= CD×AF=BC×AE=60，
∵BC=12，AB=10，
∴AE=5，AF=6，
∴BE==5，FD==6，
∴CE+CF=BC+BE+CD+FD=22+11.
②如图，当∠A为钝角时，
∵S= CD×AF=BC×AE=60，
∵BC=12，AB=10，
∴AE=5，AF=6，
∴BE==5，FD==6，
∴CE+CF=BC-BE+FD-CD=12-10+6-5=2+.
综上，CE+CF的值为：22+11或2+.
故答案为：D.
【分析】分两种情况讨论：即①当∠A为锐角时，②当∠A为钝角时，利用平行四边形ABCD的面积求出AE和AF的长，再根据勾股定理求出BE、DF，然后根据线段间的和差关系求出CE、CF，即可解答.
二、填空题
9．（2021八下·衡阳期末）如图，平行四边形 的周长为 ， 的周长为 ，则对角线 的长为 .
【答案】10
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长是36 cm，
∴AB+BC=18cm，
∵△ABC的周长是28cm，
∴AB+BC+AC=28cm，
∴AC=28-18=10cm.
故答案为：10.
【分析】平行四边的周长c=2(a+b)算出两邻边之和，进而根据三角形周长=a+b+c即可求得AC的长度.
10．（2021八下·新昌期中）如图，E是平行四边形ABCD边BC上一点，连接AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，若AB＝AE，∠F＝50°，则∠D＝ °.
【答案】65°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠F=∠BAE=50°，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB=65°，
∴∠B=∠D=65°；
故填：65°.
【分析】运用平行四边形的性质和平行线的性质可以得出∠F=∠BAE=50°，进而根据等腰三角形的性质和三角形内角和的定理可以求出
∠B=∠AEB=65°，依据平行四边形对角相等的性质即可求解.
11．如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 。
【答案】30°
【知识点】多边形内角与外角；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠2+70°+140°+120°=（5-2）×180°，
∴∠1+∠2=210°
∵平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，
∴∠2+120°=180°，∠1+α=180°，
∴∠2+120°+∠1+α=360°，
∴α=30°.
故答案为：30°.
【分析】利用五边形的内角和定理，可求出∠1+∠2的度数，利用平行线的性质可求出∠2的度数；再根据平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，利用邻补角和为180°，可求出α的值.
12．如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连结BE，若 □ ABCD的周长为28，则△ABE的周长为 .
【答案】14
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，
又OE⊥BD，
∴OE是BD的垂直平分线，
∴BE=ED，
∴BE+AE=ED+AE=AD，
∴△ABE的周长=AB+BE+AE=AB+AD=14.
故答案为：14.
【分析】根据平行四边形的性质得出OB=OD，结合OE⊥BD，得出OE是BD的垂直平分线，则可得到BE=ED，从而把△ABE的周长转化为AB+AD，结合平行四边形的周长，即可解答.
13．在平面直角坐标系中，以O，A，B，C为顶点的平行四边形的顶点为O（0，0），A（6，0），B（2，2），C（-4，2），直线y=kx+2平分平行四边形的周长，则k的值为 。
【答案】-1
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设平行四边形的对角线的交点为点D，
∵O（0，0），B（2，2），
∴点D的坐标为（1，1），
∴直线y=kx+2平分平行四边形的周长，
∴此直线一定经过点D，
∴k+2=1
解之：k=-1.
故答案为：-1.
【分析】先画出图形，设平行四边形的对角线的交点为点D，利用平行四边形的对角线互相平分，可得到点D是BO的中点，利用点B，O的坐标可求出点D的坐标，由此可得到此直线一定经过点D；然后将点D的坐标代入函数解析式，求出k的值.
14．已知平面直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= 。
【答案】4或-2
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，
∴C（4，1）或（-2，1），
∴x=4或-2.
故答案为：4或-2.
【分析】根据题意画出平行四边形ABCD，在坐标系中读出C点坐标，即可作答.
15．（2021八下·江岸期末）如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 . 为直线 上一动点.以 、 为邻边构造平行四边形 ，连接 ，若 .则 的最小值为 .
【答案】
【知识点】垂线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点Q作QR//AB，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，如图，
∵ ，
∴∠ACM=30°
∵AC=4
∴AM=2
由勾股定理得，CM=
∵
∴∠MCB=45°
∴
∵ 平分
∴
设MN=x，则AN=2+x
在 中，
∴
由勾股定理得，
∴
∴
又在 中，
∴
解得，
∴DN=2
设O为平行四边形DPQB的中心，
∴O在PB上，
过点Q作QT⊥PB于点T，
∵QO=DO，∠TOQ=∠DON，∠QTO=∠DNO
∴
∴QT=DN=2
根据垂线段最短可知，当CQ⊥QR时，CQ最短，此时CQ=CM+QT=
故答案为：
【分析】过点Q作QR//AB，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，求出，设MN=x，则AN=2+x，根据DN的长列出方程，求出x值，设O为平行四边形DPQB的中心，可得O在PB上，过点Q作QT⊥PB于点T， 证明，可得QT=DN=2，根据垂线段最短可知，当CQ⊥QR时，CQ最短，此时CQ=CM+QT，据此求出结论即可.
16．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处。若△FDE的周长为9，△FCB的周长为23，则 □ ABCD的周长为 。
【答案】32
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，
∴AE=EF，AB=FC=CD，AD=BC，
∵△FDE的周长为9，△FCB的周长为23，
∴DF+DE+EF=9，FC+CB+BF=23，
∴DF+DE+AE=9即AD+DF=9，FC+CD+BC=23，
∴AD+DF+FC+CD+BC=23+9=32即AD+DC+CD+BC=32，
∴2DC+2BC=32
∴ ABCD的周长为32.
故答案为：32.
【分析】利用折叠的性质可证得AE=EF，AB=FC=CD，AD=BC，再利用两个三角形的周长可推出AD+DF=9，FC+CD+BC=23，将两式相加，可求出2DC+2BC的值，即可得到平行四边形ABCD的面积.
三、解答题
17．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且AE∥CF，求证：AE=CF。
【答案】证明：∵AE∥CF，
∠AEF=∠CFE，
180°-∠AEF=180°-∠CFE，
即∠AEB=∠DFC
∵四边形ABCD是平行四边形，
DC∥AB，DC=AB，
CDF=∠ABE，
在△CDF和△ABE中，
△CDF≌△ABE（AAS），AE=CF
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】根据平行线的性质得出 ∠AEF=∠CFE， 则由邻补角的性质得出 ∠AEB=∠DFC ，然后根据平行四边形的性质求出DC=AB，∠CDF=∠ABE，再利用AAS证明 △CDF≌△ABE ，则可证出AE=CF.
18．（2021八上·杜尔伯特期末）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，点F在线段BD上，且DE＝BF．求证：AE∥CF．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠AED＝∠CFB，
∴AE∥CF．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】先求出 ∠ADE＝∠CBF， 再利用SAS证明 △ADE≌△CBF ，最后利用全等三角形的性质求解即可。
19．如图1，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线，小明的作法如图2，判断小明的作法是否正确，并说明理由。
【答案】解：小明的作法正确.
理由：设AB，EF的交点为C.
∵四边形AEBF是平行四边形，
∴CA=CB
又∵OA=OB，
OC是∠AOB的平分线。
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出CA=CB，结合OA=OB，则由等腰三角形三线合一的性质得出OC是∠AOB的平分线.
四、综合题
20．（2021·盐都模拟）如图，在平行四边形 中， 平分 交 于点F.
（1）尺规作图：过点A作 平分 交 于点E；注意：不写作法，保留作图痕迹，并标明字母.
（2）求证： .
【答案】（1）解：如图，AE为所作；
（2）证明：∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE BAD，∠DCF ∠BCD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可；
（2）由角平分线的定义得∠BAE=BAD，∠DCF=∠BCD，由平行四边形性质得∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，由平行线的性质得∠BAE＝∠DCF，∠ABE＝∠CDF，证明△ABE≌△CDF，据此可得结论.
21．如图﹐已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-6，0)，C（-1，0).
（1）请直接写出点A关于原点О对称的点的坐标；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，写出点B的对应点的坐标；
（3）请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.
【答案】解：(1) ∵A（-2，3），
∴点A关于原点对称点的坐标为（2，-3）.
(2)如图，△A'B'C'为所作，
点B的对应点B'点坐标为（0，-6）.
(3)如图，
(3)当以AB为对角线时，点D1坐标为(-7， 3) ；
当以BC为对角线时，点D2坐标为(-5， -3) ；
当以AC为对角线时，点D3坐标为(3， 3).
∴ 四个顶点D的坐标 (-7，3)，(3.3)，(-5，-3) .
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)关于原点对称点的坐标特点是横坐标和纵坐标都互为相反数，依此解答即可；
(2)分别作出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°后的点，然后顺次连接，再写出点B的对应点的坐标即可；
(3)分别以AB、BC. AC为对角线作平行四边形，并写出第四个顶点D的坐标.
22．如图所示，在ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连结EF交BD于点O。
（1）求证：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG=1时，EF= 。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形.
DC∥AB，∴∠ODF=∠OBE.
在△ODF与△OBE中，
△ODF≌△OBE（AAS），
∴BO=DO.
（2）2
【知识点】平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：（2）∵△ODF≌△OBE，
∴OD=OB，
∵∠A=45°，DC∥AB，
∴∠A=∠GDF=45°，
∵BD⊥AG，
∴∠GDF+∠FDO=90°，
∴∠FDO=45°=∠OBE，
∵EF⊥AB即EF⊥DC，
∴∠DFG=∠DFO=∠BEO=90°，
∴∠G=∠GDF=∠FDO=∠FOD=∠EOB=∠EBO=45°，
∴FG=DF=FO=OE=1
∴EF=OF+OE=1+1=2.
故答案为：2.
【分析】（1）利用平行线的性质可证得DC∥AB，利用平行线的性质可证得∠ODF=∠OBE，再利用AAS证明△ODF≌△OBE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得OD=OB，利用垂直的定义和等腰直角三角形的性质可证得∠G=∠GDF=∠FDO=∠FOD=∠EOB=∠EBO=45°，从而可推出OE=OF=1，由此可求出EF的长.
23．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.
（1）求证：BE=CD.
（2）连结BF，若BF⊥AE，∠E=60°，AB=4，求ABCD的面积。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∠E=∠DAE.
AE是∠BAD的平分线，
∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠E ，
AB=BE，
∴BE=CD.
（2）解：AB=BE，∠E=60°，
△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4.
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2，
∴BF= ==2.
∵AD∥BC
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E.
在△ADF和△ECF中，
∵
△ADF≌△ECF（AAS），
∴S△ADF=S△ECF，
SABCD=SABE=AE·BF=×4×2=4.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，推出AB=CD，∠E=∠DAE，结合AE是∠BAD的平分线，得出∠BAE=∠E ，则可得出AB=BE，从而求出BE=CD即可；
(2)先求出△ABE是等边三角形， 则可求出AE的长，再利用勾股定理求出BF长，然后利用AAS证明 △ADF≌△ECF， 从而把△ADF的面积转化为△ECF的面积，进一步把平行四边形ABCD的面积转化为△ABE的面积，最后计算面积即可.
24．如图
（1）如图1，在 ABCD中，AE平分∠BAD交CD边于点E，已知AB=5cm，AD=3cm，则EC等于 cm。
（2）如图2，在 ABCD中，若AE，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，点E在DC边上，且AB=4，则ABCD的周长为 。
（3）如图3，已知四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，若AF，BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线。求证：DF=EC
（4）在（3）的条件下，如果AD=3，AB=5，则EF的长为 。
【答案】（1）2
（2）12
（3）证明：∵在ABCD中，CD∥AB，
∠DFA=∠FAB.
又∵AF是∠DAB的平分线
∠DAF=∠FAB，
∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，同理可得EC=BC.
∵AD=BC，
DF=EC
（4）1
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5cm，AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE，
∵AE平分∠BAD交CD边于点E，
∴∠BAE=∠DAE，
∴DA=DE=3cm，
∴EC=CD-DE=5-3=2cm，
故答案为：2.
(2)由(1)得DE=AD，同理CE=CB，
∴AD+BC=ED+EC=AB=4，
∴ABCD的周长=AB+CD+AD+BC=4+4+4=12.
故答案为：12.
（4）由（3）可得，AD=DF=BC=EC=3.
∵AB=CD=5，
EF=DF+EC-CD=3+3-5=1.
故答案为1
【分析】(1)根据平行四边形的性质求出CD长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出DE长，即可解答；
(2)由(1)得出AD=DE，BC=EC，然后根据平行四边形的性质求出CD长，根据线段间的和差关系求出AB和BC的长度之和，从而求出ABCD的周长；
(3)根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出∠BAE=∠DAE，则可求出AD=DF，EC=BC，结合AD=BC，则可得出DF=EC ；
(4)由(3)求出DF和EC的长，结合AB=CD，利用线段间的和差关系即可解答.
1 / 1
