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第三讲 直线的点斜式方程
1．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2,0)的所有直线
B．通过点(2,0)的所有直线
C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
答案 C
解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．
2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
答案 B
解析 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
3．已知直线l过点P(2,1)，且直线l的斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，则直线l的方程为________．
答案 x－2y＝0
解析 由x－4y＋3＝0，得y＝x＋，其斜率为，
故所求直线l的斜率为，又直线l过点P(2,1)，
所以直线l的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.
4．已知直线l1：y＝2x＋3a，l2：y＝(a2＋1)x＋3，若l1∥l2，则a＝________.21世纪教育网版权所有
答案 －1
解析 因为l1∥l2，所以a2＋1＝2，a2＝1，
所以a＝±1，
又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，
则3a≠3，即a≠1，
故a＝－1.
5．已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝______.
答案 4
解析 直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，
∴2m－1＝7，得m＝4.
1．求直线的点斜式方程的方法步骤
2．直线的斜截式方程的求解策略
(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别．
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋ ( http: / / www.21cnjy.com )b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断．21cnjy.com
课时作业
一、选择题
1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为( )
A．y－2＝－(x＋4)
B．y－(－2)＝－(x－4)
C．y－(－2)＝(x－4)
D．y－2＝(x＋4)
答案 B
解析 由题意知k＝tan 150°＝－，所以直线的点斜式方程为y－(－2)＝－(x－4)．
2．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2斜率的2倍的直线方程是( )
A．y＝－1
B．y＝1
C．y－1＝(x＋1)
D．y－1＝2(x＋1)
答案 C
解析 由方程知已知直线的斜率为，
∴所求直线的斜率是，
由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝(x＋1)．
3．直线y＝ax－的图象可能是( )
答案 B
解析 根据斜截式方程知，斜率与直线在y轴上的截距正负相反．
4．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( )
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
答案 D
解析 由题意可设所求直线方程为y＝kx＋4，又由2k＝－1，得k＝－，∴所求直线方程为y＝－x＋4.
5．下列四个结论：
①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；
②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x1；
③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程为y＝y1；
④所有直线都有点斜式和斜截式方程．
其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ①中方程：k＝中x≠－1；④中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，∴①④错误，②③正确．21教育网
6．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点( )
A．(1,3) B．(－1，－3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
答案 C
解析 直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，
由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)．
7．若原点在直线l上的射影是P(－2,1)，则直线l的方程为( )
A．x＋2y＝0 B．y－1＝－2(x＋2)
C．y＝2x＋5 D．y＝2x＋3
答案 C
解析 ∵直线OP的斜率为－，又OP⊥l，∴直线l的斜率为2，∴直线l的点斜式方程为y－1＝2(x＋2)，化简，得y＝2x＋5，故选C.21·cn·jy·com
二、填空题
8．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是________．
答案 y＝x－6或y＝－x－6
解析 因为直线与y轴相交成30°角，
所以直线的倾斜角为60°或120°，
所以直线的斜率为或－，
又因为在y轴上的截距为－6，
所以直线方程为y＝x－6或y＝－x－6.
9．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．
答案 [，＋∞)
解析 由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥.
10．与直线l：y＝x＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为________________．
答案 y＝x－3
解析 根据题意知直线l的斜率k＝，
故直线l1的斜率k1＝，设直线l1的方程为y＝x＋b1，
则令y＝0得它在x轴上的截距a1＝－b1.
∵a1＋b1＝－b1＋b1＝－b1＝1，∴b1＝－3.
∴直线l1的方程为y＝x－3.
11．斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．
答案 y＝x±3
解析 设所求直线方程为y＝x＋b，
令y＝0得x＝－，
由题意得|b|＋＋ ＝12，
|b|＋|b|＋|b|＝12，
4|b|＝12，∴b＝±3，
∴所求直线方程为y＝x±3.
三、解答题
12．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边上的高所在的直线方程．
解 设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，
∴kAD·kBC＝－1，即·kAD＝－1，解得kAD＝.
∴BC边上的高所在的直线方程为y－0＝(x＋5)，
即y＝x＋3.
13．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程．www.21-cn-jy.com
解 由题意知，直线l的斜率为，
故设直线l的方程为y＝x＋b，
l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，
所以－b－b＝1，b＝－，
所以直线l的方程为y＝x－.
四、探究与拓展
14．将直线y＝x＋－1绕它上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线方程是________．
答案 y＝x
解析 由y＝x＋－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.
∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，
∴所求直线的斜率为.
又∵直线过点(1，)，
∴由直线的点斜式方程有y－＝(x－1)，
即y＝x.
15．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求l′的方程，使得：
(1)l′与l平行，且过点(－1,3)；
(2)l′与l垂直，且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4.
解 (1)∵直线l的方程为3x＋4y－12＝0，
∴直线l的斜率为－.
∵l′与l平行，∴直线l′的斜率为－.
∴直线l′的方程为y－3＝－(x＋1)，
即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′⊥l，∴kl′＝.
设l′在y轴上的截距为b，则l′在x轴上的截距为－b，
由题意可知，S＝|b|·|－b|＝4，∴b＝±，
∴直线l′的方程为y＝x＋或y＝x－.
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第三讲 直线的点斜式方程
1．方程y＝k(x－2)表示( )
A．通过点(－2,0)的所有直线
B．通过点(2,0)的所有直线
C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0
C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
3．已知直线l过点P(2,1)，且直线l的斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，则直线l的方程为________．
4．已知直线l1：y＝2x＋3a，l2：y＝(a2＋1)x＋3，若l1∥l2，则a＝________.21世纪教育网版权所有
5．已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝______.
课时作业
一、选择题
1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为( )
A．y－2＝－(x＋4)
B．y－(－2)＝－(x－4)
C．y－(－2)＝(x－4)
D．y－2＝(x＋4)
2．经过点(－1,1)，斜率是直线y＝x－2斜率的2倍的直线方程是( )
A．y＝－1
B．y＝1
C．y－1＝(x＋1)
D．y－1＝2(x＋1)
3．直线y＝ax－的图象可能是( )
4．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( )
A．y＝x＋4 B．y＝2x＋4
C．y＝－2x＋4 D．y＝－x＋4
5．下列四个结论：
①方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线；
②直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程为x＝x1；
③直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程为y＝y1；
④所有直线都有点斜式和斜截式方程．
其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点( )
A．(1,3) B．(－1，－3)
C．(3,1) D．(－3，－1)
7．若原点在直线l上的射影是P(－2,1)，则直线l的方程为( )
A．x＋2y＝0 B．y－1＝－2(x＋2)
C．y＝2x＋5 D．y＝2x＋3
二、填空题
8．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线方程是________．
9．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．
10．与直线l：y＝x＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l1的方程为________________．
11．斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．
三、解答题
12．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求BC边上的高所在的直线方程．
13．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程．21教育网
四、探究与拓展
14．将直线y＝x＋－1绕它上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线方程是________．
15．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求l′的方程，使得：
(1)l′与l平行，且过点(－1,3)；
(2)l′与l垂直，且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4.
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