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第四讲 直线的两点式方程
1．直线＋＝1在x轴，y轴上的截距分别为( )
A．2,3 B．－2，－3
C．－2,3 D．2，－3
2．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( )
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
3．经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为( )
A．x＝2 B．y＝2
C．x＝3 D．x＝6
4．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________．
5．直线l过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．
课时作业
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
2．若直线l的横截距与纵截距都是负数，则( )
A．l的倾斜角为锐角且不过第二象限
B．l的倾斜角为钝角且不过第一象限
C．l的倾斜角为锐角且不过第四象限
D．l的倾斜角为钝角且不过第三象限
3．直线－＝1在y轴上的截距是( )
A．|b| B．－b2
C．b2 D．±b
4．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
5．过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y＋1＝0或3x－2y＝0
C．x＋y－5＝0
D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0
6．利用斜二测画法，作出直线AB的直观图如图所示，若O′A′＝O′B′＝1，则直线AB在直角坐标系中的方程为( )21世纪教育网版权所有
A．x＋y＝1 B．x－y＝1
C．x＋＝1 D．x－＝1
7．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
二、填空题
8．已知直线＋＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为________．
9．过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是______．
10．过(3,0)点且与x轴垂直的直线方程为________，纵截距为－2且与y轴垂直的直线方程为________．
11．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是__________．21教育网
三、解答题
12．求经过点P(－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．
13．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．
四、探究与拓展
14．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为________．
15．已知直线l：x－y＋3＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上的一点C，最后从C点反射回A点，求直线BC的方程．21cnjy.com
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第四讲 直线的两点式方程
1．直线＋＝1在x轴，y轴上的截距分别为( )
A．2,3 B．－2，－3
C．－2,3 D．2，－3
答案 B
2．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( )
A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1
C．y＝x＋2 D．y＝－x－2
答案 A
解析 代入两点式得直线方程＝，
整理得y＝x＋3.
3．经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为( )
A．x＝2 B．y＝2
C．x＝3 D．x＝6
答案 B
解析 由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.
4．已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为________．
答案 2x－y＋1＝0
解析 AB的中点坐标为(1,3)，
由直线的两点式方程可得＝，
即2x－y＋1＝0.
5．直线l过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．
解 设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6－a，
所以直线l的方程为＋＝1，
因为点(1,2)在直线l上，所以＋＝1，
解得a1＝2，a2＝3，
当a＝2时，直线的方程为2x＋y－4＝0，直线经过第一、二、四象限；
当a＝3时，直线的方程为x＋y－3＝0，直线经过第一、二、四象限．
综上所述，所求直线方程为2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0.
1．当直线没有斜率(x1＝x2 ( http: / / www.21cnjy.com ))或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式＝求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式．21教育网
2．直线的截距式是两点式的一 ( http: / / www.21cnjy.com )个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．www.21-cn-jy.com
课时作业
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
答案 D
解析 斜率有可能不存在，截距也有可能为0，故选D.
2．若直线l的横截距与纵截距都是负数，则( )
A．l的倾斜角为锐角且不过第二象限
B．l的倾斜角为钝角且不过第一象限
C．l的倾斜角为锐角且不过第四象限
D．l的倾斜角为钝角且不过第三象限
答案 B
解析 依题意知，直线l的截 ( http: / / www.21cnjy.com )距式方程为＋＝1(a>0，b>0)，显然直线l只能过第二、三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.21cnjy.com
3．直线－＝1在y轴上的截距是( )
A．|b| B．－b2
C．b2 D．±b
答案 B
解析 令x＝0得，y＝－b2.
4．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
答案 B
解析 因为kAB＝＝，
AB的中点坐标为(－2,2)，
所以所求直线方程为y－2＝－3(x＋2)，
化简为3x＋y＋4＝0.
5．过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是( )
A．x－y＋1＝0
B．x－y＋1＝0或3x－2y＝0
C．x＋y－5＝0
D．x＋y－5＝0或3x－2y＝0
答案 B
解析 设直线方程为＋＝1或y＝kx，
将P(2,3)代入求出a＝－1或k＝.
所以所求的直线方程为x－y＋1＝0或3x－2y＝0.
6．利用斜二测画法，作出直线AB的直观图如图所示，若O′A′＝O′B′＝1，则直线AB在直角坐标系中的方程为( )21世纪教育网版权所有
A．x＋y＝1 B．x－y＝1
C．x＋＝1 D．x－＝1
答案 D
解析 由斜二测画法可知在直角坐标系中，A(1,0)，B(0，－2)，由两点坐标可得直线方程为x－＝1.
7．两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
答案 A
解析 两条直线化为截距式分别为＋＝1，＋＝1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合．
二、填空题
8．已知直线＋＝1与坐标轴围成的图形面积为6，则a的值为________．
答案 ±2
解析 由＋＝1知S＝|a|·|6|＝6，
所以a＝±2.
9．过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是______．
答案 x＋2y－1＝0或x＋3y＝0
解析 设直线l在x轴上的截距为a ( http: / / www.21cnjy.com )，在y轴上的截距为b，当a＝0时，b＝0，此时直线l的方程为＝，所以x＋3y＝0；当a≠0时，a＝2b，此时直线l的方程为＋＝1，代入(3，－1)得x＋2y－1＝0.
10．过(3,0)点且与x轴垂直的直线方程为________，纵截距为－2且与y轴垂直的直线方程为________．
答案 x＝3 y＝－2
11．过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是__________．21·cn·jy·com
答案 ＋＝1
解析 设A(m,0)，B(0，n)，由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，
即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)．
则l的方程为＋＝1.
三、解答题
12．求经过点P(－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．
解 设所求直线方程为＋＝1.
∵直线过点P(－5，－4)，
∴＋＝1， ①
于是得4a＋5b＝－ab，
又由已知，得|a|·|b|＝5，即|ab|＝10. ②
由①②，得
解得或
故所求直线方程为＋＝1或＋＝1.
即8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0.
13．在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．
解 (1)设C(x0，y0)，
则AC边的中点为M，
BC边的中点为N，
因为M在y轴上，所以＝0，得x0＝－5.
又因为N在x轴上，所以＝0，
所以y0＝－3.即C(－5，－3)．
(2)由(1)可得M，N(1,0)，
所以直线MN的方程为＋＝1，
即5x－2y－5＝0.
四、探究与拓展
14．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为________．
答案 x＋y±6＝0，x－y±6＝0
解析 因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0.2·1·c·n·j·y
若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a，
则直线方程为＋＝1，即x＋y－a＝0.
∵|a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，
∴直线方程为x＋y±6＝0.
若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a，则纵截距为－a，
故直线方程为＋＝1，即x－y－a＝0.
∵|－a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，
∴直线方程为x－y±6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.
15．已知直线l：x－y ( http: / / www.21cnjy.com )＋3＝0，一束光线从点A(1,2)处射向x轴上一点B，又从B点反射到l上的一点C，最后从C点反射回A点，求直线BC的方程．【来源：21·世纪·教育·网】
解 作点A关于x轴的对称点A2，则A2(1，－2)．
设点A关于l：x－y＋3＝0的对称点为A1(x0，y0)，则
解得
即A1点坐标为(－1,4)．
由已知条件知点A1，A2均在直线BC上，
∴由直线的两点式方程得＝，
即3x＋y－1＝0.
故直线BC的方程为3x＋y－1＝0.
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