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第五讲 直线的一般式方程
1．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
答案 C
解析 直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.
2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为( )
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
答案 D
解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
3．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
答案 C
解析 由ax＋by＝c，得y＝－x＋，
∵ab<0，bc<0，
∴直线的斜率k＝－>0，
直线在y轴上的截距<0.
由此可知直线通过第一、三、四象限．
4．已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，
(1)若l1∥l2，则m＝________；
(2)若l1⊥l2，则m＝________.
答案 (1)－1 (2)
解析 (1)由题意知
得m＝－1.
(2)由题意知1×(m－2)＋m×3＝0，
得m＝.
5．求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l的方程．
解 由题意，设l的方程为3x＋4y＋C＝0，
将点(1,2)代入l的方程
3＋4×2＋C＝0，得C＝－11，
∴直线l的方程为3x＋4y－11＝0.
1．根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法
(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合．
(2)可直接采用如下方法：
一般地，设直线l1：A1x ( http: / / www.21cnjy.com )＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.21教育网
这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性．
2．根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法
(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.
(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.21·cn·jy·com
第二种方法可避免讨论，减小失误．
课时作业
一、选择题
1．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为( )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
答案 D
解析 由已知得m2－4≠0，且＝1，
解得m＝3或m＝2(舍去)．
2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则( )
A．C＝0，B>0 B．A>0，B>0，C＝0
C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0
答案 D
解析 通过直线的斜率和截距进行判断．
3．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为( )www.21-cn-jy.com
A.，1 B.，－1
C．－，1 D．－，－1
答案 D
解析 原方程化为＋＝1，
∴＝－1，∴b＝－1.
又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，
且x－y－＝0的倾斜角为60°，
∴k＝tan 120°，∴a＝－，故选D.
4．两条直线mx＋y－n＝0和x＋my＋1＝0互相平行的条件是( )
A．m＝1 B．m＝±1
C. D.或
答案 D
解析 令m×m＝1×1，得m＝±1.
当m＝1时，要使x＋y－n＝0与x＋y＋1＝0平行，需n≠－1.
当m＝－1时，要使－x＋y－n＝0与x－y＋1＝0平行，需n≠1.
5．把直线x－y＋－1＝0绕点(1，)逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是( )
A．y＝－x B．y＝x
C．x－y＋2＝0 D．x＋y－2＝0
答案 B
解析 如图，
已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，
则直线l的倾斜角α＝45°＋15°＝60°.
∴l的斜率k＝tan α＝tan 60°＝，
∴l的方程为y－＝(x－1)，即y＝x.
6．在同一直角坐标系中表示直线ax－y＝0与x－y＋a＝0(a≠0)正确的是( )
答案 C
解析 若a>0，直线y＝x ( http: / / www.21cnjy.com )＋a与y轴的交点在y轴正半轴上，直线x－y＋a＝0过第一、二、三象限，而直线ax－y＝0过定点(0,0)，倾斜角为锐角，此时各选项都不正确；若a<0，则直线y＝x＋a与y轴的交点在y轴负半轴上，直线过第一、三、四象限，而直线y＝ax过定点(0,0)，且倾斜角为钝角，故C正确．
7．若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为( )
A．1 B．－1
C．－2或1 D．－1或2
答案 D
解析 当直线ax＋y－2－a＝0过原点时，可得a＝－2.
当直线ax＋y－2－a＝0不过原点时，
由题意知，当a＝0时，直线l与x轴无交点，当a≠0时，直线l在x轴上的截距为，
与在y轴上的截距2＋a相等，可得＝2＋a，
解得a＝1，或a＝－2.
综上知，a＝－2或1.
所以直线l的斜率为－1或2.
二、填空题
8．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
答案 －
解析 把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，
∴a＝－6，
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
令x＝0，得y＝－.
9．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为________．
答案 4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0
解析 由题意可设与直线3x－4y－7＝0垂直的直线的方程为4x＋3y＋c＝0，
令y＝0，得x＝－，
令x＝0，得y＝－，
则S△＝|－·(－)|＝6，
得c2＝122，c＝±12，
∴直线l的方程为4x＋3y－12＝0或4x＋3y＋12＝0.
10．若直线mx－y＋(2m＋1)＝0恒过定点，则此定点是________．
答案 (－2,1)
解析 由y＝mx＋2m＋1，得y－1＝m(x＋2)，所以直线恒过定点(－2,1)．
11．直角坐标平面上一机器人在 ( http: / / www.21cnjy.com )行进中始终保持到两点A(a,0)(其中a∈R)和B(0,1)的距离相等，且机器人也始终接触不到直线l：y＝x＋1，则a的值为________．21世纪教育网版权所有
答案 1
解析 根据题意可知机器人在线段A ( http: / / www.21cnjy.com )B的中垂线上运动，且轨迹与直线l：y＝x＋1平行，由此可得AB⊥l，因此kAB·kl＝－1，即×1＝－1，解得a＝1.21cnjy.com
三、解答题
12．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．
(1)求实数m需满足的条件；
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
解 (1)由题意知解得m≠2.
(2)由题意知，m≠2，由－＝1，解得m＝0.
13．(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.
①若这两条直线垂直，求k的值；
②若这两条直线平行，求k的值．
解 ①根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，解得k＝.
∴若这两条直线垂直，则k＝.
②根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，
解得k＝3或k＝5.
经检验，均符合题意．
∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5.
(2)求平行于直线2x－y＋3＝0，且与两坐标轴围成的直角三角形的面积为9的直线方程．
解 设直线方程为2x－y＋c＝0，
设直线在x轴与y轴上的截距分别为－和c，
∴S△＝×|－|×|c|＝9，解得c＝±6.
∴所求直线方程为2x－y－6＝0或2x－y＋6＝0.
四、探究与拓展
14．已知坐标平面内两点A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_____．
答案 3
解析 由题可知直线AB的方程为＋＝1，
若P点坐标为(x，y)，则x＝3－y，
∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3，故xy的最大值为3.
15．经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．
解 当截距为0时，设直线方程为y＝kx，
又直线过点A(1,2)，则得斜率k＝2，即y＝2x；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1或＋＝1.
∵直线过点A(1,2)，则得a＝3或a＝－1.
即x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.
这样的直线有3条：y＝2x，x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.
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第五讲 直线的一般式方程
1．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60° C．150° D．120°
2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为( )
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
3．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
4．已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，
(1)若l1∥l2，则m＝________；
(2)若l1⊥l2，则m＝________.
5．求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l的方程．
课时作业
一、选择题
1．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为( )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则( )
A．C＝0，B>0 B．A>0，B>0，C＝0
C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0
3．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为( )21世纪教育网版权所有
A.，1 B.，－1
C．－，1 D．－，－1
4．两条直线mx＋y－n＝0和x＋my＋1＝0互相平行的条件是( )
A．m＝1 B．m＝±1
C. D.或
5．把直线x－y＋－1＝0绕点(1，)逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是( )
A．y＝－x B．y＝x
C．x－y＋2＝0 D．x＋y－2＝0
6．在同一直角坐标系中表示直线ax－y＝0与x－y＋a＝0(a≠0)正确的是( )
7．若直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的斜率为( )
A．1 B．－1
C．－2或1 D．－1或2
二、填空题
8．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
9．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线l的方程为________．
10．若直线mx－y＋(2m＋1)＝0恒过定点，则此定点是________．
11．直角坐标平面上一机器人在行进中始 ( http: / / www.21cnjy.com )终保持到两点A(a,0)(其中a∈R)和B(0,1)的距离相等，且机器人也始终接触不到直线l：y＝x＋1，则a的值为________．21教育网
三、解答题
12．若方程(m2－3m＋2)x＋(m－2)y－2m＋5＝0表示直线．
(1)求实数m需满足的条件；
(2)若该直线的斜率k＝1，求实数m的值．
13．(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.
①若这两条直线垂直，求k的值；
②若这两条直线平行，求k的值．
四、探究与拓展
14．已知坐标平面内两点A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_____．
15．经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．
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