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第五讲 直线的一般式方程
基础巩固
1.直线x-y+1=0的倾斜角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析:由已知可得直线的斜率k=,所以直线的倾斜角为30°.
答案:A
2.直线5x-y+10=0在x轴上的截距等于( )
A.5 B.-
C. D.-2
解析:令y=0,即5x+10=0,解得x=-2.
答案:D
3.如果Ax+By+C=0表示的直线是y轴,那么系数A,B,C满足的条件是( )
A.BC=0 B.A≠0
C.BC=0,且A≠0 D.A≠0,且B=C=0
解析:y轴所在直线的方程可表示为x=0,所以A,B,C满足条件为B=C=0,A≠0.
答案:D
4.已知直线l:ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )
A.1 B.-1
C.-2或-1 D.-2或1
解析:将直线方程化成截距式为=1,所以=2,解得a=1.
答案:A
5.经过点A(-4,7),且倾斜角为45°的直线的一般式方程为 .
解析:直线的斜率k=tan 45°=1,则直线的方程可写为y-7=x+4,即x-y+11=0.
答案:x-y+11=0
6.直线2x-4y-8=0的斜率k= ,在y轴上的截距b= .
答案: -2
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7.如图,直线l的一般式方程为 .
解析:由题图知直线l在x轴、y轴上的截距分别为-1,-2,则直线l的截距式方程为=1,21世纪教育网
即2x+y+2=0.
答案:2x+y+2=0
8.若直线l1:x-2y-=0平行于直线l2:3x+my-1=0,则实数m= .
解析:直线l1的斜率k1=,直线l2的斜率k2=-.
∵l1∥l2,∴k1=k2,∴=-,解得m=-6.
答案:-6
9.已知直线l经过点A(-5,6)和点B(-4,8),求直线l的一般式方程和截距式方程,并画出图形.
解:直线l经过A(-5,6),B(-4,8)两点,由两点式,得,整理,得2x-y+16=0.
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把2x-y=-16的两边同除以-16, ( http: / / www.21cnjy.com )得=1.故直线l的一般式方程为2x-y+16=0,截距式方程为=1.图形如图所示.21世纪教育网版权所有
10.已知直线l1:2x+4y-1=0,直线l2经过点(1,-2),求满足下列条件的直线l2的方程:21cnjy.com
(1)l1∥l2; (2)l1⊥l2.
解:直线l1的方程化为斜截式为y=-x+,
则直线l1的斜率k1=-.设直线l2的斜率为k2,则
(1)当l1∥l2时,k2=k1=-,
则直线l2的方程为y+2=-(x-1),
即x+2y+3=0.
(2)当l1⊥l2时,k1k2=-1,k2==2,
则直线l2的方程为y+2=2(x-1),
即2x-y-4=0.
能力提升
1.若直线l经过点(-1,2),且与直线2x-3y+4=0垂直,则l的方程是( )
A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0
C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0
解析:直线2x-3y+4=0的斜率为,
则l的斜率为-,则l的方程是y-2=-(x+1),即3x+2y-1=0.
答案:A
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2.如图,直线l:mx+y-1=0经过第一、二、三象限,则实数m的取值范围是( )
A.R
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)
D.[1,+∞)
答案:C
3.若直线l:(a2+4a+3)x+(a2+a-6)y-8=0与y轴垂直,则实数a的值是( )
A.-3 B.-1或-3 C.2 D.-1
解析:由已知可得解得a=-1.
答案:D
4.已知点(m,n)在直线5x+2y-20=0上,其中m>0,n>0,则lg m+lg n( )
A.有最大值,且最大值为2
B.有最小值,且最小值为2
C.有最大值,且最大值为1
D.有最小值,且最小值为1
解析:由于点(m,n)在直线5x+2y-20=0上,
则5m+2n-20=0,则n=-m+10.
由n>0,得0所以lg m+lg n=lg(mn)=l ( http: / / www.21cnjy.com )g=lg=lg≤lg 10=1.
所以lg m+lg n有最大值,且最大值为1.
答案:C
5.若直线(2a2-7a+3)x+(a2-9)y+3a2=0的倾斜角为45°,则实数a= . 21教育网
解析:由题意知k=-=tan 45°=1,解之,得a=-或a=3.因为当a=3时,2a2-7a+3=0,a2-9=0,所以a≠3.故a=-.21·cn·jy·com
答案:-
6.直线l:3x-5y+15=0与两坐标轴围成的图形的面积等于 .
解析:令x=0,得y=3;令y=0,得x=-5.
则直线l与x轴、y轴的交点分别为A(0,3),B(-5,0).
过点A,B作直线即为直线l,l与两坐标轴围成的图形是直角三角形(如图所示的阴影部分).
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则该图形的面积
S=|OA|·|OB|=×3×5=.
答案:
7.已知直线mx+ny+12=0在x轴、y轴上的截距分别是-3和4,求m,n的值.
解:(方法一)由截距的定义知直 ( http: / / www.21cnjy.com )线经过(-3,0)和(0,4)两点,因此有
解得
故m,n的值分别为4,-3.
(方法二)将mx+ny+12=0化为截距式,21世纪教育网
得=1.
因此有
故m,n的值分别为4,-3.
8.已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;
(2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围.
(1)证明(方法一)将直线l的方程整理为y-=a,
所以l的斜率为a,且过定点A.
而点A在第一象限,故不论a为何值,直线l恒过第一象限.
(方法二)直线l的方程可化为(5x-1)a-(5y-3)=0.
由于上式对任意的a总成立,必有
则有
即l过定点A,以下同方法一.
(2)解:直线OA的斜率为k==3.
要使l不经过第二象限,需它在y轴上的截距不大于零,即令x=0时,y=-≤0,故a≥3.
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第五讲 直线的一般式方程
基础巩固
1.直线x-y+1=0的倾斜角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.直线5x-y+10=0在x轴上的截距等于( )
A.5 B.-
C. D.-2
3.如果Ax+By+C=0表示的直线是y轴,那么系数A,B,C满足的条件是( )
A.BC=0 B.A≠0
C.BC=0,且A≠0 D.A≠0,且B=C=0
4.已知直线l:ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )
A.1 B.-1
C.-2或-1 D.-2或1
5.经过点A(-4,7),且倾斜角为45°的直线的一般式方程为 .
6.直线2x-4y-8=0的斜率k= ,在y轴上的截距b= .
7.如图,直线l的一般式方程为 .
8.若直线l1:x-2y-=0平行于直线l2:3x+my-1=0,则实数m= .
9.已知直线l经过点A(-5,6)和点B(-4,8),求直线l的一般式方程和截距式方程,并画出图形.
10.已知直线l1:2x+4y-1=0,直线l2经过点(1,-2),求满足下列条件的直线l2的方程:21世纪教育网版权所有
(1)l1∥l2; (2)l1⊥l2.
能力提升
1.若直线l经过点(-1,2),且与直线2x-3y+4=0垂直,则l的方程是( )
A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+7=0
C.2x-3y+5=0 D.2x-3y+8=0
2.如图,直线l:mx+y-1=0经过第一、二、三象限,则实数m的取值范围是( )
A.R
B.(0,+∞)
C.(-∞,0)
D.[1,+∞)
3.若直线l:(a2+4a+3)x+(a2+a-6)y-8=0与y轴垂直,则实数a的值是( )
A.-3 B.-1或-3 C.2 D.-1
4.已知点(m,n)在直线5x+2y-20=0上,其中m>0,n>0,则lg m+lg n( )
A.有最大值,且最大值为2
B.有最小值,且最小值为2
C.有最大值,且最大值为1
D.有最小值,且最小值为1
5.若直线(2a2-7a+3)x+(a2-9)y+3a2=0的倾斜角为45°,则实数a= . 21教育网
6.直线l:3x-5y+15=0与两坐标轴围成的图形的面积等于 .
7.已知直线mx+ny+12=0在x轴、y轴上的截距分别是-3和4,求m,n的值.
8.已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限;
(2)为使直线l不经过第二象限,求a的取值范围.
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