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第六讲 直线的交点坐标与两点间距离
1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是( )
A．(－1，) B．(，1)
C．(1，) D．(－1，－)
答案 B
解析 由得
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5
答案 C
解析 |AB|＝＝5，
解得a＝1或－5.
3．已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为________．
答案
解析 BC的中点坐标为(0,1)，
则BC的中线长为＝.
4．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________．
答案 2x＋y－4＝0
解析 设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，
∴k＝＝－2，解得λ＝5.
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.
5．点A在第四象限，A点到x轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A的坐标．
解 由题意得A点的纵坐标为－3，设A(x，－3)，
则＝5，x＝±4.
又点A在第四象限，∴x＝－4(舍)，
∴A(4，－3)．
1．方程组有唯一解的等价条件 ( http: / / www.21cnjy.com )是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0，直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2)．21世纪教育网版权所有
2．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．21教育网
课时作业
一、选择题
1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是( )
A．(2,2) B．(1,1)
C．(1,2) D．(2,1)
答案 C
解析 由得交点坐标为(1,2)，故选C.
2．已知两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是( )
A．－24 B．6
C．±6 D．以上都不对
答案 C
解析 联立两条直线的方程得
解得x＝，
∵两直线交点在y轴上，∴＝0，
∴k＝±6(经检验知符合题意)．
3．已知直角坐标平面上连接点(－2,5)和点M的线段的中点是(1,0)，那么点M到原点的距离为( )
A．41 B.
C. D．39
答案 B
解析 设M(x，y)，
由题意得解得
∴M(4，－5)．
则M到原点的距离为＝.
4．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 直线y＝－x＋2与两坐标轴的交点为A ( http: / / www.21cnjy.com )(0,2)、B(2,0)，直线y＝kx＋2k＋1恒过定点P(－2,1)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k满足：kPB5．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．x－3y＋6＝0 D．x－3y＋5＝0
答案 B
解析 直线3x＋y－1＝0与x＋2y ( http: / / www.21cnjy.com )－7＝0的交点为(－1,4)，与3x＋y－1＝0垂直，得斜率为，由点斜式，得y－4＝(x＋1)，即x－3y＋13＝0，故选B.www.21-cn-jy.com
6．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p)，则m－n＋p为( )
A．24 B．20
C．0 D．－4
答案 B
解析 两直线互相垂直，－×＝－1，m＝10，
又垂足坐标为(1，p)，代入直线10x＋4y－2＝0，
得p＝－2，
将(1，－2)代入直线2x－5y＋n＝0，得n＝－12，
所以m－n＋p＝20，故选B.
7．已知△ABC的三个顶点是A(－a,0)、B(a,0)和C(，a)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．斜三角形
答案 C
解析 ∵|AB|＝2|a|，
|AC|＝＝|a|，
|BC|＝＝|a|，
∴|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，
∴△ABC为直角三角形．
8．直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A．(－4,5) B．(－3,4)
C．(－3,4)或(－1,2) D．(－4,5)或(0,1)
答案 C
解析 设所求点的坐标为(x0，y0)，有
x0＋y0－1＝0，且＝，
两式联立解得或故选C.
二、填空题
9．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________.
答案
解析 因为kAB＝＝b－a＝1，所以|AB|＝＝.
10．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.
答案 2
解析 首先方程组的解为
代入直线y＝3x＋b得b＝2.
11．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．
答案 2
解析 |BD|＝|BC|＝2，
|AD|＝＝2.在Rt△ADB中，
由勾股定理得腰长|AB|＝＝2.
12．若直线l：y＝kx－与直线l1：2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．21cnjy.com
答案 (30°，90°)
解析 直线l1：2x＋3y－6＝0过A(3,0)，B(0,2)，而l过定点C(0，－)，
由图象可知
∴l倾斜角α的范围是(30°，90°)．
三、解答题
13．过点(3,5)作直线4x＋3y－2＝0的垂线，求垂足坐标．
解 设与4x＋3y－2＝0垂直的直线方程为3x－4y＋C＝0，
又∵直线过点(3,5)，∴3×3－4×5＋C＝0，∴C＝11，
∴过点(3,5)与4x＋3y－2＝0垂直的直线方程为3x－4y＋11＝0.
解方程组得垂足坐标为(－1,2)．
四、探究与拓展
14．已知x，y∈R，S＝＋，则S的最小值是( )
A．0 B．2 C．4 D.
答案 B
解析 S＝＋可以看作是点(x，y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合易知最小值为2.2·1·c·n·j·y
15．若直线l过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，且|AB|＝5，求直线l的方程．
解 当直线l的斜率不存在时，过点A(1，－1)的直线为x＝1，
解方程组求得B点坐标为(1,4)，
此时|AB|＝5，x＝1即为所求．
当直线l的斜率存在时，设过A(1，－1)的直线为y＋1＝k(x－1)，解方程组
得两直线的交点为(k≠－2，否则与已知直线平行)，则B点坐标为(，)．
由已知(－1)2＋(＋1)2＝52，解得k＝－，
∴y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
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第六讲 直线的交点坐标与两点间距离
1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点是( )
A．(－1，) B．(，1)
C．(1，) D．(－1，－)
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为( )
A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1或5
3．已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为________．
4．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________．
5．点A在第四象限，A点到x轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A的坐标．
课时作业
一、选择题
1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是( )
A．(2,2) B．(1,1)
C．(1,2) D．(2,1)
2．已知两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是( )
A．－24 B．6
C．±6 D．以上都不对
3．已知直角坐标平面上连接点(－2,5)和点M的线段的中点是(1,0)，那么点M到原点的距离为( )
A．41 B.
C. D．39
4．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是( )
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．x－3y＋6＝0 D．x－3y＋5＝0
6．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p)，则m－n＋p为( )
A．24 B．20
C．0 D．－4
7．已知△ABC的三个顶点是A(－a,0)、B(a,0)和C(，a)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．斜三角形
8．直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A．(－4,5) B．(－3,4)
C．(－3,4)或(－1,2) D．(－4,5)或(0,1)
二、填空题
9．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________.
10．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________.
11．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长|BC|＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．
12．若直线l：y＝kx－与直线l1：2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．21世纪教育网版权所有
三、解答题
13．过点(3,5)作直线4x＋3y－2＝0的垂线，求垂足坐标．
四、探究与拓展
14．已知x，y∈R，S＝＋，则S的最小值是( )
A．0 B．2 C．4 D.
15．若直线l过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，且|AB|＝5，求直线l的方程．
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