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第七讲 点到直线与两条平行直线间的距离
1．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( )
A．1 B．－1 C. D．±
2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则c的值为( )
A．9 B．11或－9
C．－11 D．9或－11
3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( )
A. B.
C. D．3
4．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________.
5．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________．21世纪教育网版权所有
课时作业
一、选择题
1．点(1，－1)到直线y＝1的距离是( )
A. B.
C．3 D．2
2．两平行线3x－4y－7＝0和6x－8y＋3＝0之间的距离为( )
A. B．2
C. D.
3．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )
A. B．－
C．－或－ D．－或
4．到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为( )
A．2x＋y＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
5．点P(2,3)到直线：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d为最大时，d与a的值依次为( )
A．3，－3 B．5,2
C．5,1 D．7,1
6．两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是( )
A．0C．07．过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
8．若动点A(x1，y1)，B(x2 ( http: / / www.21cnjy.com )，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是( )21教育网
A．3 B．2
C．3 D．4
二、填空题
9．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________．
10．若点(2，－k)到直线5x＋12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．
11．经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________．
三、解答题
12．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．21cnjy.com
四、探究与拓展
13．已知入射光线在直线l1：2x－ ( http: / / www.21cnjy.com )y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为( )21·cn·jy·com
A．6 B．3 C. D.
14．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到l的距离等于2.www.21-cn-jy.com
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第七讲 点到直线与两条平行直线间的距离
1．已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( )
A．1 B．－1 C. D．±
答案 D
解析 由题意知＝1，
即|a|＝，∴a＝±.
2．直线x－2y－1＝0与直线x－2y－c＝0的距离为2，则c的值为( )
A．9 B．11或－9
C．－11 D．9或－11
答案 B
解析 两平行线间的距离为d＝＝2，
解得c＝－9或11.
3．已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是( )
A. B.
C. D．3
答案 B
解析 点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为＝.
4．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________.
答案 10
解析 由两直线平行知，a＝8，d＝＝2，
∴a＋d＝10.
5．直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是________________．21教育网
答案 (5，－3)
解析 由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，
设垂足为M，则|MP|为最小，
直线MP的方程为y－1＝－(x－2)，
解方程组
得
∴所求点的坐标为(5，－3)．
1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．21·cn·jy·com
2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰．
3．已知两平行直线，其距离可利用公式d＝求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．
课时作业
一、选择题
1．点(1，－1)到直线y＝1的距离是( )
A. B.
C．3 D．2
答案 D
解析 d＝＝2，故选D.
2．两平行线3x－4y－7＝0和6x－8y＋3＝0之间的距离为( )
A. B．2
C. D.
答案 C
解析 3x－4y－7＝0可化为6x－8y－14＝0，
由两平行线间的距离公式可得＝.
3．已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )
A. B．－
C．－或－ D．－或
答案 C
解析 由点到直线的距离公式可得
＝，
化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，
解得实数a＝－或－.故选C.
4．到直线2x＋y＋1＝0的距离等于的直线方程为( )
A．2x＋y＝0
B．2x＋y－2＝0
C．2x＋y＝0或2x＋y－2＝0
D．2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0
答案 D
解析 根据题意可设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，
因为两直线间的距离等于，
所以d＝＝，
解得c＝0或c＝2，
故所求直线方程为2x＋y＝0或2x＋y＋2＝0.
5．点P(2,3)到直线：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d为最大时，d与a的值依次为( )
A．3，－3 B．5,2
C．5,1 D．7,1
答案 C
解析 直线恒过点A(－3,3)，根据已知条件可知当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.故选C.【来源：21·世纪·教育·网】
6．两平行线分别经过点A(3,0)，B(0,4)，它们之间的距离d满足的条件是( )
A．0C．0答案 B
解析 当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大为|AB|＝5，所以07．过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
答案 B
解析 联立
得
∴两直线交点为(0,1)，
由交点到原点的距离1，故只有1条．
8．若动点A(x1，y1)，B( ( http: / / www.21cnjy.com )x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是( )www.21-cn-jy.com
A．3 B．2
C．3 D．4
答案 A
解析 由题意知，M点的轨 ( http: / / www.21cnjy.com )迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，∴M到原点的距离的最小值为d＝＝3.21·世纪*教育网
二、填空题
9．点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________．
答案 8
解析 由x2＋y2的实际意义可知，它代表直线x＋y－4＝0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，www-2-1-cnjy-com
所以(x2＋y2)min＝2＝8.
10．若点(2，－k)到直线5x＋12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________．
答案 －3或
解析 d＝＝，
由题意知＝4，即＝1，
∴k＝－3或k＝.
11．经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________．
答案 x＝－3或7x＋24y－75＝0
解析 (1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋4＝0.
原点到直线l的距离d＝＝3，
解得k＝－.
直线l的方程为7x＋24y－75＝0.
综上，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.
三、解答题
12．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2、l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．21世纪教育网版权所有
解 设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，
则图中A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)，
∴|AD|＝，|BC|＝b.
梯形的高h就是A点到直线l2的距离，
故h＝＝＝(b>1)，
由梯形面积公式得×＝4，
∴b2＝9，b＝±3.但b>1，
∴b＝3.
从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.
四、探究与拓展
13．已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上 ( http: / / www.21cnjy.com )，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为( )2·1·c·n·j·y
A．6 B．3 C. D.
答案 C
解析 如图所示，结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离．
由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3.
由两平行线间的距离公式得l1与l3间的距离
d＝＝，
即点P到直线l3的距离为.
14．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到l的距离等于2.21cnjy.com
解 AB的中点坐标为(3，－2)，kAB＝＝－1，
所以线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，
即x－y－5＝0，设点P(a，b)，
则P在直线x－y－5＝0上，故a－b－5＝0，
又＝2，
解得或
故所求的点为P(1，－4)或P(，－)．
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