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第七讲 点到直线与两条平行直线间的距离
基础巩固
1.平行直线l1:3x-y=0与l2:3x-y+=0间的距离等于( )
A.1 B.0 C. D.3
2.直线=1与y=x+1之间的距离为( )
A. B. C. D.24
3.已知过点A(-2,1)和过点B(3,-5)的两条直线均垂直于x轴,则这两条直线间的距离是( )
A.4 B.5
C.6 D.
4.若平行直线x-y=0与x-y+m=0间的距离等于,则实数m等于( )
A.2 B.-2
C.± D.±2
5.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是( )
A.4 B.
C. D.
6.平行直线l1:x-2y+4=0与直线l2:3x-6y+3=0间的距离d= .
7.已知平行直线l1:2x+my+1=0与l2:2x+my+n=0间的距离等于2,则实数m,n满足的条件是 .
8.已知直线l与两条平行直线l1:x-3y+1=0,直线l2:x-3y+5=0的距离相等,则直线l的方程是 .
9.已知两条平行直线3x+4y+5=0与6x+ay+30=0间的距离为d,则a+d= .
10.求与直线l:5x-12y+6=0平行,且到l的距离为2的直线方程.
能力提升
1.直线l1:2x+3y=0上到直线l2:4x+6y-10=0的距离等于的点有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.无数个
2.已知两条直线的方程分别为x+ ( http: / / www.21cnjy.com )y+a=0,x+y+b=0,若a,b是关于x的方程x2+x-2=0的两个实数根,则这两条直线之间的距离为( )21世纪教育网版权所有
A.2 B. C.2 D.
3.已知P,Q分别为3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上的任意一点,则|PQ|的最小值为( )
A. B.
C.3 D.6
4.若动点A(x1,y1) ( http: / / www.21cnjy.com ),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点到原点的距离的最小值为( )21教育网
A.3 B.2
C.3 D.4
5.已知直线l1:2x+4y+1=0与直线l ( http: / / www.21cnjy.com )2:2x+4y+3=0平行,点P是平面直角坐标系内任一点,点P到直线l1和l2的距离分别为d1,d2,则d1+d2的最小值是 . 21cnjy.com
6.已知直线l与直线l0:x-y+1=0平行,且l与l0间的距离为,原点到l的距离为,则直线l的方程为 . 21·cn·jy·com
7.已知直线l1经过点A(0,1),直线l2经过点B(5,0),l1∥l2,且l1与l2间的距离为5,求l1,l2的方程.
8.两条平行直线分别经过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d.求:
(1)d的取值范围;
(2)当d取最大值时,两条直线的方程.
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第七讲 点到直线与两条平行直线间的距离
基础巩固
1.平行直线l1:3x-y=0与l2:3x-y+=0间的距离等于( )
A.1 B.0 C. D.3
解析:d==1.
答案:A
2.直线=1与y=x+1之间的距离为( )
A. B. C. D.24
解析:两条直线方程分别可化为3x- ( http: / / www.21cnjy.com )2y-12=0,3x-2y+2=0,则所求距离d=.
答案:B
3.已知过点A(-2,1)和过点B(3,-5)的两条直线均垂直于x轴,则这两条直线间的距离是( )
A.4 B.5
C.6 D.
解析:由已知得两条直线方程分别为x=-2,x=3,所以两条直线间的距离为5.
答案:B
4.若平行直线x-y=0与x-y+m=0间的距离等于,则实数m等于( )
A.2 B.-2
C.± D.±2
解析:由题意得,解得m=±2.
答案:D
5.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,则它们之间的距离是( )
A.4 B.
C. D.
解析:因为3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,
所以3∶2=6∶m,解得m=4.
直线3x+2y-3=0可以化为6x+4y-6=0,
则两条平行直线间的距离d=.
答案:D
6.平行直线l1:x-2y+4=0与直线l2:3x-6y+3=0间的距离d= .
解析:直线l2的方程化为x-2y+1=0,
则d=.
答案:
7.已知平行直线l1:2x+my+1=0与l2:2x+my+n=0间的距离等于2,则实数m,n满足的条件是 .
解析:由题意得=2,整理得4m2-n2+2n+15=0.
答案:4m2-n2+2n+15=0
8.已知直线l与两条平行直线l1:x-3y+1=0,直线l2:x-3y+5=0的距离相等,则直线l的方程是 .
解析:设l:x-3y+m=0(m≠1,且m≠5),
则,
解得m=3,即直线l的方程是x-3y+3=0.
答案:x-3y+3=0
9.已知两条平行直线3x+4y+5=0与6x+ay+30=0间的距离为d,则a+d= .
解析:因为两条直线平行,
所以,所以a=8,
所以两条直线3x+4y+5=0与3x+4y+15=0间的距离d==2.
故a+d=10.
答案:10
10.求与直线l:5x-12y+6=0平行,且到l的距离为2的直线方程.
解:设所求直线的方程为5x-12y+m=0(m≠6),
由两条直线间的距离为2,知=2.
则m=32或m=-20,
故所求直线方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.
能力提升
1.直线l1:2x+3y=0上到直线l2:4x+6y-10=0的距离等于的点有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.无数个
解析:直线l2的方程化为2x+3y-5=0,
则直线l1,l2平行,且它们之间的距离d=,
则直线l1上所有点到直线l2的距离都等于.
答案:D
2.已知两条直线的方程分别为x+y ( http: / / www.21cnjy.com )+a=0,x+y+b=0,若a,b是关于x的方程x2+x-2=0的两个实数根,则这两条直线之间的距离为( )21世纪教育网版权所有
A.2 B. C.2 D.
解析:根据a,b是关于x的方程x ( http: / / www.21cnjy.com )2+x-2=0的两个实数根,可得所以
所以|a-b|=3.故所求两条直线之间的距离为d=.
答案:D
3.已知P,Q分别为3x+4y-12=0与6x+8y+6=0上的任意一点,则|PQ|的最小值为( )
A. B.
C.3 D.6
解析:|PQ|的最小值是这两条平行线间的距离 ( http: / / www.21cnjy.com ).在直线3x+4y-12=0上取点(4,0),然后利用点到直线的距离公式得|PQ|的最小值为3.21教育网
答案:C
4.若动点A(x1,y1),B(x2,y2) ( http: / / www.21cnjy.com )分别在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点到原点的距离的最小值为( )21cnjy.com
A.3 B.2
C.3 D.4
解析:所求最小值即为与l1,l2平行且到l1,l2距离相等的直线到原点的距离.21世纪教育网
设到直线l1与l2距离相等的直线为x+y+c=0(c≠-7,c≠-5),
则,解得c=-6.
即直线x+y-6=0到l1与l2的距离相等.21世纪教育网
所以原点到直线x+y-6=0的距离d==3.故选A.21世纪教育网
答案:A
5.已知直线l1:2x+4y+1=0 ( http: / / www.21cnjy.com )与直线l2:2x+4y+3=0平行,点P是平面直角坐标系内任一点,点P到直线l1和l2的距离分别为d1,d2,则d1+d2的最小值是 . 21·cn·jy·com
解析:l1与l2间的距离d=,
则d1+d2≥d=,
即d1+d2的最小值是.
答案:
6.已知直线l与直线l0:x-y+1=0平行,且l与l0间的距离为,原点到l的距离为,则直线l的方程为 . www.21-cn-jy.com
解析:由已知设l的方程为x- ( http: / / www.21cnjy.com )y+c=0(c≠1),则,且,解得c=2.故所求直线方程为x-y+2=0.
答案:x-y+2=0
7.已知直线l1经过点A(0,1),直线l2经过点B(5,0),l1∥l2,且l1与l2间的距离为5,求l1,l2的方程.
解:若直线l1,l2的斜率 ( http: / / www.21cnjy.com )存在,设直线的斜率为k,由斜截式得l1的方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,由点斜式可得l2的方程为y=k(x-5),即kx-y-5k=0.2·1·c·n·j·y
因为直线l1过点A(0,1),
则点A到直线l2的距离d==5,
所以25k2+10k+1=25k2+25,
解得k=.
所以l1的方程为12x-5y+5=0,l2的方程为12x-5y-60=0.
若l1,l2的斜率不存在,则l1的方程为x=0,l2的方程为x=5,它们之间的距离为5,同样满足条件.
综上所述,满足条件的直线方程有两组:l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0;或l1:x=0,l2:x=5.
8.两条平行直线分别经过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d.求:
(1)d的取值范围;
(2)当d取最大值时,两条直线的方程.
解:(1)如图,显然有0( http: / / www.21cnjy.com / )
而|AB|
=
=3.
故所求的d的取值范围为(0,3].
(2)由图可知,当d取最大值时,两条直线与AB垂直.
而kAB=,
则所求直线的斜率为-3.
故所求的直线方程为y-2=-3(x-6)和y+1=-3(x+3),
即3x+y-20=0和3x+y+10=0.
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