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第一讲 圆的标准方程
1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( )
A．(－1,5)， B．(1，－5)，
C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3
答案 B
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
答案 A
解析 方法一 (直接法)
设圆的圆心为C(0，b)，则＝1，
∴b＝2，
∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
方法二 (数形结合法)
作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
3．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程为 ( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
答案 A
解析 ∵AB的中点坐标为(0,0)，
|AB|＝＝2，
∴圆的方程为x2＋y2＝2.
4．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是________．
答案 1
解析 x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)的距离的平方，而(0,0)在圆的内部，由几何意义可知，最小值为14－＝1.21世纪教育网版权所有
5．求下列圆的标准方程．
(1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5,6)，C(3，－4)；
(2)过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆．
解 (1)由题意知，AC为直径，则AC的中点为圆心，
∴圆心坐标为(4,1)，半径为
r＝＝＝＝，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26.
(2)由几何知识知，CD的垂直平分线经过圆心，
由kCD＝＝1，CD的中点坐标为(0,2)，
∴CD的垂直平分线为y＝－x＋2.
则圆心坐标为(2,0)，r＝＝，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝10.
1．判断点与圆位置关系的两种方法
(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．
(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：
点P(x0，y0)在圆C上 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
点P(x0，y0)在圆C内 (x0－a)2＋(y0－b)2点P(x0，y0)在圆C外 (x0－a)2＋(y0－b)2>r2.
2．求圆的标准方程时常用的几何性质
求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：
(1)弦的垂直平分线必过圆心．
(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．
(3)圆心与切点的连线长是半径长．
(4)圆心与切点的连线必与切线垂直．
3．求圆的标准方程常用方法
(1)待定系数法．(2)直接法．
课时作业
一、选择题
1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为( )
A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2
C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4
答案 A
2．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案 B
解析 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，
圆的半径为r＝＝.
故所求圆的标准方程为
(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
3．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案 C
解析 根据圆在直线x＋y－2＝0上可排除B、D，再把点B的坐标代入A，C选项中，可得C正确．
4．点(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是( )
A．|a|＜1 B．a＜
C．|a|＜ D．|a|＜
答案 D
解析 依题意有(5a)2＋144a2＜1，
所以169a2＜1，
所以a2＜，即|a|＜，故选D.
5．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的标准方程为( )
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
答案 D
解析 设圆心坐标为(a,0)，
由题意知＝，∴|a|＝5.
∵圆C位于y轴左侧，∴a＝－5，
∴圆C的标准方程为(x＋5)2＋y2＝5.
6．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 (－a，－b)为圆的圆心，由直线经过 ( http: / / www.21cnjy.com )第一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0.再由各象限内点的坐标的性质，得圆心位于第四象限．21教育网
7．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1
C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
答案 C
解析 由已知圆(x－1)2＋y2＝1，得圆心C1的坐标为(1,0)，半径长r1＝1.
设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点的坐标为(a，b)，即圆心C的坐标为(a，b)，
则
解得
所以圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝1.
8．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
答案 B
解析 如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.21cnjy.com
二、填空题
9．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程为________．
答案 (x－2)2＋(y＋1)2＝1
解析 已知圆的圆心M的坐标为(－2,1)，关于原点对称的点的坐标为(2，－1)，∴圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.21·cn·jy·com
10．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点(2,3)到圆上的最大距离为________．www.21-cn-jy.com
答案 5＋
解析 点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交 ( http: / / www.21cnjy.com )点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离加上半径长5，即为5＋.2·1·c·n·j·y
11．若圆C的半径为1，圆心在第 ( http: / / www.21cnjy.com )一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________________________．【来源：21·世纪·教育·网】
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝1
解析 ∵圆心在第一象限，而且与x轴相切，
∴可设圆心坐标为(a,1)，
则圆心到直线4x－3y＝0的距离为1，
即＝1，得a＝2或a＝－(舍去)，
∴该圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.
12．若实数x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值是______．
答案
解析 的几何意义是两点(x，y)与(1,2)连线的斜率，而点(x，y)在圆x2＋y2＝1上，
过点P(1,2)作圆的切线，
由图知PA的斜率不存在，PB的斜率存在，则PB的斜率即为所求．
∴设PB的方程为y－2＝k(x－1)，得kx－y－k＋2＝0.
又∵PB和圆相切，
∴＝1，得k＝.
∴的最小值是.
三、解答题
13．求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的标准方程．
解 设圆心坐标为(a，b)，
∵AB的中点坐标为(1,6)，
∴AB的垂直平分线为y＝6.
∵圆心(a，b)在AB的垂直平分线上，
∴b＝6.
由题意得＝，
解得a＝3或－7，
当a＝3时，r＝＝2.
当a＝－7时，r＝＝4.
∴所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－6)2＝20
或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.
四、探究与拓展
14．设P(x，y)是圆C：(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．6 B．25
C．26 D．36
答案 D
解析 (x－5)2＋(y＋4)2的几何意义是点P(x，y)到点Q(5，－4)的距离的平方．
因为点P在圆(x－2)2＋y2＝1上，且点Q在圆外，
所以其最大值为(|QC|＋1)2＝36.
15．已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求的最大值与最小值．
解 因为点P(x，y)是圆x ( http: / / www.21cnjy.com )2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，所以表示点A(－1，－1)与该圆上点的距离．因为(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以点A(－1，－1)在圆外，如图所示．设圆心为C，则
|AC|＝＝，
所以的最大值为|AC|＋r＝＋2，最小值为|AC|－r＝－2.
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第一讲 圆的标准方程
1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为( )
A．(－1,5)， B．(1，－5)，
C．(－1,5)，3 D．(1，－5)，3
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1
3．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程为 ( )
A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
4．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值是________．
5．求下列圆的标准方程．
(1)圆的内接正方形相对的两个顶点分别为A(5,6)，C(3，－4)；
(2)过两点C(－1,1)和D(1,3)，圆心在x轴上的圆．
课时作业
一、选择题
1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为( )
A．(－1,2)，2 B．(1，－2)，2
C．(－1,2)，4 D．(1，－2)，4
2．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
3．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
4．点(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是( )
A．|a|＜1 B．a＜
C．|a|＜ D．|a|＜
5．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的标准方程为( )
A．(x－)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
6．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1
C．x2＋(y＋1)2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1
8．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6 B．4 C．3 D．2
二、填空题
9．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程为________．
10．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点(2,3)到圆上的最大距离为________．21世纪教育网版权所有
11．若圆C的半径为1，圆心在 ( http: / / www.21cnjy.com )第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________________________．21教育网
12．若实数x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值是______．
三、解答题
13．求过点A(1,2)和B(1,10)且与直线x－2y－1＝0相切的圆的标准方程．
四、探究与拓展
14．设P(x，y)是圆C：(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为( )
A．6 B．25
C．26 D．36
15．已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求的最大值与最小值．
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