4.1.2 圆的一般方程 提升训练（原卷版+解析版）

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第二讲　圆的一般方程
基础巩固
1.圆(x+1)2+(y-3)2=2化为一般方程是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.x2+y2=6
B.x2+y2+8=0
C.x2+y2-2x+8y+6=0
D.x2+y2+2x-6y+8=0
2.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是(　　)
A.R B.(-∞,1)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
3.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线的方程可以是(　　)
A.x+y-1=0
B.x+y+3=0
C.x-y+1=0
D.x-y+3=0
4.若点P(1,1)在圆x2+y2+2x+4y+a=0外,则a的取值范围是(　　)
A.a<-8 B.a>-8
C.-85
5.在△ABC中,若顶点B,C的坐标分别是(-2,0)和(2,0),中线AD的长度是3,则点A的轨迹方程是(　　)
A.x2+y2=3 B.x2+y2=4
C.x2+y2=9(y≠0) D.x2+y2=9(x≠0)
6.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F=　　　　　. 21世纪教育网版权所有
7.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是　　　　　.
8.已知动点M到点A(-4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程是　　　　　.
9.判断下列方程是否表示圆,若是,将其化成标准方程:
(1)x2+y2+2x+1=0;
(2)x2+y2+2ay-1=0;
(3)x2+y2+20x+121=0;
(4)x2+y2+2ax=0.
10.求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程.
能力提升
1.已知直线3x+4y-24=0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上,则该圆的半径为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,半径为的圆的方程为(　　)
A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0
C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0
3.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为 (　　)
A. B.5 C.2 D.10
4.圆x2+4x+y2=0关于y轴对称的圆的一般方程是　　　　　.
5.已知点A(1,2)在圆x2+y2+2x+3y+m=0内,则m的取值范围是　　　　　.
6.若使圆x2+y2+2x+ay-a-12=0(a为实数)的面积最小,则a=　　　　　.
7.点P是圆C:x2+y2-4x+2y-11=0上的任一点,PC的中点是M,试求动点M的轨迹方程.
8.一个等腰三角形底边上的高等于5,底边两端点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),求它的外接圆的方程.
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第二讲　圆的一般方程
基础巩固
1.圆(x+1)2+(y-3)2=2化为一般方程是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.x2+y2=6
B.x2+y2+8=0
C.x2+y2-2x+8y+6=0
D.x2+y2+2x-6y+8=0
答案:D
2.若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是(　　)
A.R B.(-∞,1)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
解析:16+4-4×5k>0,解得k<1.
答案:B
3.将圆x2+y2-2x-4y+1=0平分的直线的方程可以是(　　)
A.x+y-1=0
B.x+y+3=0
C.x-y+1=0
D.x-y+3=0
答案:C
4.若点P(1,1)在圆x2+y2+2x+4y+a=0外,则a的取值范围是(　　)
A.a<-8 B.a>-8
C.-85
解析:由已知可得解得-8答案:C
5.在△ABC中,若顶点B,C的坐标分别是(-2,0)和(2,0),中线AD的长度是3,则点A的轨迹方程是(　　)
A.x2+y2=3 B.x2+y2=4
C.x2+y2=9(y≠0) D.x2+y2=9(x≠0)
解析:由题意知线段BC的 ( http: / / www.21cnjy.com )中点为D(0,0),由于|AD|为定长3,所以点A在以D为圆心,3为半径的圆上,由于点A为△ABC的一个顶点,所以点A与点B,C不共线.故选C.21教育网
答案:C
6.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F=　　　　　. 21cnjy.com
解析:由题意知
∴D=-4,E=8.
∵r2==16,
∴F=4.
答案:4
7.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直线x+y=0垂直的直线方程是　　　　　.
解析:易知圆心C为(-1 ( http: / / www.21cnjy.com ),0),而要求的直线与直线x+y=0垂直,设它的方程为y=x+b,将点C的坐标代入y=x+b,得b=1,故所求的直线方程为x-y+1=0.www.21-cn-jy.com
答案:x-y+1=0
8.已知动点M到点A(-4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程是　　　　　.
解析:设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=2|MB|,
即=2,
整理得x2+y2-8x=0.
故所求动点M的轨迹方程为x2+y2-8x=0.
答案:x2+y2-8x=0
9.判断下列方程是否表示圆,若是,将其化成标准方程:
(1)x2+y2+2x+1=0;
(2)x2+y2+2ay-1=0;
(3)x2+y2+20x+121=0;
(4)x2+y2+2ax=0.
解:(1)原方程可化为(x+1)2+y2=0,它表示点(-1,0),不表示圆.
(2)原方程可化为x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )(y+a)2=a2+1,它表示圆心为(0,-a),半径为的圆,标准方程为x2+(y+a)2=a2+1.
(3)原方程可化为(x+10)2+y2=-21<0,即方程不表示任何曲线,故不能表示圆.
(4)原方程可化为(x+a)2+y2=a2.
①当a=0时,方程表示点(-a,0),不表示圆;
②当a≠0时,方程表示以(-a,0)为圆心,半径为|a|的圆,标准方程为(x+a)2+y2=a2.
10.求过三点A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)的圆的方程.
解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为点A,B,C在圆上,把它们的坐 ( http: / / www.21cnjy.com )标依次代入上面的方程,整理得到关于D,E,F的三元一次方程组解这个方程组,得21·cn·jy·com
于是得到所求圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0.
能力提升
1.已知直线3x+4y-24=0与坐标轴的两个交点及坐标原点都在一个圆上,则该圆的半径为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
答案:C
2.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,半径为的圆的方程为(　　)
A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0
C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0
解析:令a=0,a=1,得方程组
解得
所以定点C的坐标为(-1,2).
则圆C的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,
即x2+y2+2x-4y=0.
答案:C
3.若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长,则(a-2)2+(b-2)2的最小值为 (　　)
A. B.5 C.2 D.10
解析:由题意得直线l过圆心M(-2,-1),
则-2a-b+1=0,即b=-2a+1.21世纪教育网
所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5,
所以(a-2)2+(b-2)2的最小值为5.21世纪教育网
答案:B
4.圆x2+4x+y2=0关于y轴对称的圆的一般方程是　　　　　.
解析:已知圆的圆心为C(-2,0),半径r=2,点C关于y轴的对称点为C'(2,0),则已知圆关于y轴对称的圆的方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0.21世纪教育网版权所有
答案:x2+y2-4x=0
5.已知点A(1,2)在圆x2+y2+2x+3y+m=0内,则m的取值范围是　　　　　.
解析:由题意知解得m<-13.
答案:(-∞,-13)
6.若使圆x2+y2+2x+ay-a-12=0(a为实数)的面积最小,则a=　　　　　.
解析:由已知得圆的半径:
r=
=
=,
所以当a=-2时,rmin==2,
即此时圆的面积最小.
答案:-2
7.点P是圆C:x2+y2-4x+2y-11=0上的任一点,PC的中点是M,试求动点M的轨迹方程.
解:设M(x,y),由已知得圆心C(2,-1),则P(2x-2,2y+1).
又点P在圆C:x2+y2-4x+2y-11=0上,
所以动点M的轨迹方程为
(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1)-11=0,
即x2+y2-4x+2y+1=0.
8.一个等腰三角形底边上的高等于5,底边两端点的坐标分别是(-4,0)和(4,0),求它的外接圆的方程.
解:由题意知等腰三角形顶点的坐标是(0,±5).21世纪教育网
当顶点坐标为(0,5)时,设三角形外接圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解之,得
所以外接圆的方程是x2+y2-y-16=0.
当顶点坐标为(0,-5)时,同理可得外接圆的方程x2+y2+y-16=0.
故所求外接圆的方程为x2+y2-y-16=0或x2+y2+y-16=0.
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