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第二讲 圆的一般方程
1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )
A．8π B．4π C．2π D．π
答案 C
解析 原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴半径r＝，∴圆的面积为S＝πr2＝2π.
2．若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0
C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0
答案 C
解析 圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长．由k＝＝2，可知C正确．21世纪教育网版权所有
3．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )
A．m≤2 B．m＜
C．m＜2 D．m≤
答案 B
解析 由D2＋E2－4F＞0，得(－1)2＋12－4m＞0，
即m＜.
4．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为( )
A．－2,4,4 B．－2，－4,4
C．2，－4,4 D．2，－4，－4
答案 A
解析 由方程得圆心坐标为(－a，)，半径为r＝ .由已知，得－a＝2，＝2，＝2，解得a＝－2，b＝4，c＝4.21cnjy.com
5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．21·cn·jy·com
解 设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4＝，3＝，21·世纪*教育网
于是有x0＝8－x ，y0＝6－y. ①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
即(x0＋1)2＋y＝4， ②
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.
1．判断二元二次方程表示圆要“两看”：
一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4F是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数．www-2-1-cnjy-com
2．待定系数法求圆的方程
如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D、E、F.
3．求轨迹方程的一般步骤：
(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y)．
(2)列出点M满足条件的集合．
(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0.
(4)将上述方程化简．
(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．
课时作业
一、选择题
1．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )
A．2 B. C．1 D.
答案 D
解析 因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝.
2．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为( )
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
答案 D
解析 原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，
∴即
∴方程表示点(－a，－b)．
3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＝0
答案 C
解析 直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，
由得C(－1,2)．
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.
4．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r＞0)的圆，则该圆的圆心在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，
又方程可化为(x＋)2＋(y－a)2＝－a2－3a，
故圆心坐标为(－，a)，r2＝－a2－3a.
由r2＞0，即－a2－3a＞0，解得－4＜a＜0，
故该圆的圆心在第四象限．
5．若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是( )
A．m＞0 B．m＜
C．0＜m＜ D．0≤m≤
答案 C
解析 x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为(x－)2＋(y＋)2＝－m，
则－m＞0，解得m＜.
因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m＞0，
即m＞0，所以0＜m＜.故选C.
6．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1
D．(2x＋3)2＋4y2＝1
答案 C
解析 设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)，
∵Q(3,0)，∴
∴x1＝2x－3，y1＝2y.
又点P在圆x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，故选C.
7．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得
解得D＝－2，E＝－，F＝1.
即△ABC外接圆的方程为
x2＋y2－2x－y＋1＝0.
∴圆心坐标为(1，)，
∴圆心到原点的距离为 ＝.
8．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0
B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0
D．x2＋y2－4x＝0
答案 D
解析 设圆心C的坐标为(a,0)，a>0，
∴d＝＝2，
∴a＝2，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，
即x2＋y2－4x＝0.
二、填空题
9．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.21教育网
答案 －2
解析 由题意知，直线l：x－y＋2＝0过圆心(－1，－)，则－1＋＋2＝0，得a＝－2.
10．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为_____．
答案 (0，－1)
解析 因为r＝＝，
所以当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，
圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，
即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．
11．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．
答案 (－∞，1)
解析 由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4，
所以圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，
所以a＜5，由此得a－b＜1.
三、解答题
12．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．www.21-cn-jy.com
解 圆心C的坐标为(－，－)，
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，即D＋E＝－2. ①
又r＝＝，所以D2＋E2＝20. ②
由①②可得或
又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，
所以
所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
四、探究与拓展
13．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
答案 D
解析 曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－ ( http: / / www.21cnjy.com )2a)2＝4，则曲线C表示的是以(－a,2a)为圆心，2为半径的圆．要使圆C上所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a)必须在第二象限，从而有a>0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径．易知圆心到两坐标轴的最短距离为|－a|，则有|－a|>2，故a>2.
14．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．2·1·c·n·j·y
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
解 (1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，【来源：21·世纪·教育·网】
∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，
由二次函数的图象，解得－∴t的取值范围为(－，1)．
(2)由(1)知r＝＝ ，
∴当t＝∈(－，1)时，rmax＝，此时圆的面积最大，
所对应的圆的方程是(x－)2＋(y＋)2＝.
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)×(4t2)＋16t4＋9<0时，点P恒在圆内，
∴8t2－6t<0，
∴0∴t的取值范围为(0，)．
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第二讲 圆的一般方程
1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )
A．8π B．4π C．2π D．π
2．若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0
C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0
3．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( )
A．m≤2 B．m＜
C．m＜2 D．m≤
4．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为( )
A．－2,4,4 B．－2，－4,4
C．2，－4,4 D．2，－4，－4
5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．21世纪教育网版权所有
课时作业
一、选择题
1．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )
A．2 B. C．1 D.
2．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为( )
A．以(a，b)为圆心的圆
B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b)
D．点(－a，－b)
3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0
B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0
D．x2＋y2－2x－4y＝0
4．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r＞0)的圆，则该圆的圆心在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是( )
A．m＞0 B．m＜
C．0＜m＜ D．0≤m≤
6．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是( )
A．(x＋3)2＋y2＝4
B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1
D．(2x＋3)2＋4y2＝1
7．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B. C. D.
8．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0
B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2＋2x－3＝0
D．x2＋y2－4x＝0
二、填空题
9．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.21教育网
10．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为_____．
11．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．
三、解答题
12．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．21cnjy.com
四、探究与拓展
13．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
14．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．21·cn·jy·com
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．
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