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第三讲 直线与圆的位置关系
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
2．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
3．圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为( )
A. B．4－
C.＋4 D．0
4．圆x2＋y2＝4截直线x＋y－2＝0所得的弦长为( )
A．2 B．1 C. D．2
5．直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，且|MN|≥2，则k的取值范围是________．
课时作业
一、选择题
1．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，则直线x0x＋y0y＝R2与圆的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1]
B．[－1,3]
C．[－3,1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
3．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为( )21世纪教育网版权所有
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
5．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
6．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )21教育网
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
7．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．已知直线ax＋y－2＝0与圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.21cnjy.com
9．已知圆C过点(1,0)，且圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为____________．21·cn·jy·com
10．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
三、解答题
11．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
12．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点O.www.21-cn-jy.com
13．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)设l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求直线l的倾斜角．
四、探究与拓展
14．过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的有________条．
15．已知圆C过点M(0，－2)，N(3,1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)问是否存在满足以下两个条件的直线 ( http: / / www.21cnjy.com )l：①直线l的斜率为1；②直线l被圆C所截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线l，请求出其方程；若不存在，请说明理由．
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第三讲 直线与圆的位置关系
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
答案 B
解析 圆心到直线的距离为d＝＝<1，
又直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，故选B.
2．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
答案 D
解析 圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
由圆心(1,1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，
得b＝2或12，故选D.
3．圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为( )
A. B．4－
C.＋4 D．0
答案 C
解析 圆心(0,0)到直线x－y＝3的距离为＝，则该圆到直线x－y＝3的距离的最大值为＋4.
4．圆x2＋y2＝4截直线x＋y－2＝0所得的弦长为( )
A．2 B．1 C. D．2
答案 A
解析 圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离为＝，则弦长为2＝2.
5．直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，且|MN|≥2，则k的取值范围是________．
答案 (－∞，0]
解析 因为|MN|≥2，所以圆心(1,2)到直线y＝kx＋3的距离不大于＝1，即≤1，解得k≤0.21cnjy.com
1．直线与圆位置关系的两种判断方法比较
(1)若直线和圆的方程已知，或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单．
(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单．
2．过一点的圆的切线方程的求法
(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．www.21-cn-jy.com
(2)若点在圆外时，过该点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过该点的切线的斜率不存在．【来源：21·世纪·教育·网】
3．与圆相关的弦长问题的两种解决方法
(1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法．
(2)联立直线与圆的方程，消元 ( http: / / www.21cnjy.com )得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法．21·世纪*教育网
课时作业
一、选择题
1．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，则直线x0x＋y0y＝R2与圆的位置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
答案 B
解析 因为点M(x0，y0)在圆x2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋y2＝R2外，所以x＋y＞R2，圆心到直线x0x＋y0y＝R2的距离为＜＝R，所以直线与圆相交，故选B.2·1·c·n·j·y
2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1]
B．[－1,3]
C．[－3,1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a,0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d≤r＝ ≤ |a＋1|≤2 －3≤a≤1.21世纪教育网版权所有
3．以点(2，－1)为圆心且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
答案 C
解析 由圆心为(2，－1)可排除B，D.
由(2，－1)到直线3x－4y＋5＝0的距离为d＝3知，r＝3.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
4．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为( )www-2-1-cnjy-com
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
答案 A
解析 由圆的一般方程，可得圆心为M ( http: / / www.21cnjy.com )(－1,2)．由圆的性质易知，M(－1,2)与C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1 kAB＝1.故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.2-1-c-n-j-y
5．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
答案 B
解析 圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )(y－3)2＝10，由圆的性质可知最长弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直，设点F为其圆心，坐标为(1,3)．21*cnjy*com
故|EF|＝，∴|BD|＝2＝2，
∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝10.
6．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
答案 D
解析 由已知得点(－2，－ ( http: / / www.21cnjy.com )3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，【出处：21教育名师】
解得k＝－或k＝－，故选D.
7．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 C
解析 圆的一般方程化为标准方程为(x＋1 ( http: / / www.21cnjy.com ))2＋(y＋2)2＝8.圆心坐标为(－1，－2)，圆的半径为2，圆心到直线l的距离为＝＝.因此和l平行的圆的直径的两端点及与l同侧且与l平行的圆的切线的切点到l的距离都为.【版权所有：21教育】
二、填空题
8．已知直线ax＋y－2＝0与 ( http: / / www.21cnjy.com )圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________.21教育名师原创作品
答案 4±
解析 圆心C(1，a)到直线ax＋y－2 ( http: / / www.21cnjy.com )＝0的距离为.因为△ABC为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以()2＋12＝22，解得a＝4±.21*cnjy*com
9．已知圆C过点(1,0)，且圆 ( http: / / www.21cnjy.com )心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为____________．
答案 (x－3)2＋y2＝4
解析 设圆心坐标为(x0,0)(x0>0)．
由于圆过点(1,0)，则半径为r＝|x0－1|，圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝.
由弦长为2可知，2＝(x0－1)2－2，
解得(x0－1)2＝4，
∴x0－1＝±2，∴x0＝3或x0＝－1(舍去)．
故圆心坐标为(3,0)，半径为2，
∴所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝4.
10．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
答案
解析 切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与 ( http: / / www.21cnjy.com )圆心的距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.21·cn·jy·com
三、解答题
11．已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．
解 设圆心坐标为(3m，m)，
∵圆C和y轴相切，∴圆C的半径为3|m|.
∵圆心到直线y＝x的距离为＝|m|，
由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m2＝7＋2m2，
∴m＝±1.∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
12．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB满足：以AB为直径的圆经过原点O.
解 假设存在且设l为y＝x＋m，圆C化为标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心C(1，－2)．
解方程组
得AB的中点N的坐标为N(－，)．
由于以AB为直径的圆过原点，所以|AN|＝|ON|.
又|AN|＝＝，
|ON|＝.
所以9－＝2＋2，
解得m＝1或m＝－4.
所以存在直线l，方程为x－y＋1＝0和x－y－4＝0，并可以检验，这时l与圆C是相交于两点的．
13．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
(2)设l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝，求直线l的倾斜角．
(1)证明 由已知得直线l：y－1＝m(x－1)，
所以直线l恒过定点P(1,1)，
因为12＝1<5，
所以点P在圆C内，
所以直线l与圆C总有两个不同的交点．
(2)解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组消去y得
(m2＋1)x2－2m2x＋m2－5＝0，
则x1，x2是一元二次方程的两个实根，x1＋x2＝，
x1x2＝.
因为|AB|＝|x1－x2|＝·，
即＝·，
所以m2＝3，m＝±，
所以直线l的倾斜角为60°或120°.
四、探究与拓展
14．过点A(11,2)作圆x2＋y2＋2x－4y－164＝0的弦，其中弦长为整数的有________条．
答案 32
解析 由题意可知过点A(11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为26，所以弦长为整数的有2＋2×(26－10－1)＝32(条)．21教育网
15．已知圆C过点M(0，－2)，N(3,1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)问是否存在满足以下两 ( http: / / www.21cnjy.com )个条件的直线l：①直线l的斜率为1；②直线l被圆C所截得的弦为AB，以AB为直径的圆C1过原点．若存在这样的直线l，请求出其方程；若不存在，请说明理由．
解 (1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得D＝－6，E＝4，F＝4，
所以圆C的方程为x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.
(2)假设存在这样的直线l，其方程为y＝x＋b.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则联立消去y得
2x2＋2(b－1)x＋b2＋4b＋4＝0， (*)
∴
∴y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2.
∵AB为直径，圆C1过原点，∴∠AOB＝90°，
∴|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，
∴x＋y＋x＋y＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，
得x1x2＋y1y2＝0，∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
即b2＋4b＋4＋b(1－b)＋b2＝0，解得b＝－1或b＝－4.
容易验证b＝－1或b＝－4时方程(*)有实根．
故存在这样的直线l，其方程是x－y－1＝0或x－y－4＝0.
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