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第三讲 直线与圆的位置关系
基础巩固
1.直线x-y+6=0与圆(x-1)2+(y-)2=4的位置关系是( )
A.相交且过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
解析:因为圆心(1,)到直线x-y+6=0的距离d==2,所以直线与圆相切.
答案:B
2.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( )
A.相交但不过圆心 B.相切
C.相交且过圆心 D.相离
解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=4,
则圆心到直线的距离d==2>2,
所以直线与圆相离.
答案:D
3.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值为( )
A.0或2 B.2
C. D.无解
解析:由圆心(0,0)到直线x+y+m=0的距离为半径得,解得m=2.
答案:B
4.若A,B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则|AB|=( )
A.1 B. C. D.2
答案:D
5.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a满足的条件是( )
A.0≤|a-1|≤2 B.|a+1|≥2
C.0≤|a+1|≤2 D.|a-1|≥2
解析:因为直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,
所以圆心到直线的距离d=≤r=,
从而可得0≤|a+1|≤2.
答案:C
6.若圆x2+y2-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0所得的弦长为8,则c的值是( )21世纪教育网版权所有
A.10 B.10或-68
C.5或-34 D.-68
解析:由题意得圆心C(1,-2),半径r=5,圆心C到直线5x-12y+c=0的距离d=.又r2=d2+42,
所以25=+16,解得c=10或c=-68.
答案:B
7.直线l:3x-4y-5=0被圆x2+y2=5所截得的弦长为 .
解析:由题意得弦心距d=1,半径r=,所以弦长为2=4.
答案:4
8.已知直线5x+12y+m=0(m>0)与圆x2-2x+y2=0相交,则m的取值范围是 .
解析:由题意得圆心坐标为(1,0),半径r ( http: / / www.21cnjy.com )=1,则圆心到直线的距离d=<1,解得m<8.
答案:(0,8)
9.若P(2,-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是 . 21教育网
解析:圆心C(1,0),半径r=5,由于PC⊥AB,
又kPC==-1,所以直线AB的斜率为1,
所以直线AB的方程是y+1=x-2,
即x-y-3=0.
答案:x-y-3=0
10.已知圆C与y轴相切,圆心C在直线l1:x-3y=0上,且在直线l2:x-y=0上截得的弦长为2,求圆C的方程.
解:因为圆心C在直线l1:x-3y=0上,
所以可设圆心为C(3t,t).
又因为圆C与y轴相切,所以圆的半径为|3t|.
再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形,可得+()2=|3t|2,解得t=±1.
所以圆心为(3,1)或(-3,-1),半径为3.
故所求圆的方程为
(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.
能力提升
1.平移直线x-y+1=0,使其与圆(x-2)2+(y-1)2=1相切,则平移的最短距离为( )
A.-1 B.2-
C. D.+1
解析:圆心C(2,1)到直线的距离d ( http: / / www.21cnjy.com )=,又圆的半径r=1,则平移的最短距离为-1.
答案:A
2.已知直线ax-by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形( )
A.是锐角三角形 B.是直角三角形
C.是钝角三角形 D.不存在
解析:圆心O(0,0)到直线的距离d==1,
则a2+b2=c2,即该三角形是直角三角形.
答案:B
★3.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )
A.x+y-=0 B.x+y+1=0
C.x+y-1=0 D.x+y+=0
解析:由已知可设所求直线为y=-x+b,
即x+y-b=0,
则由直线与圆相切得=1.
所以b=±.
又因为直线y=-x+b与圆相切于第一象限,
所以b=(b=-舍去).
故所求直线方程为x+y-=0.
答案:A
4.经过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4x=0所截得的弦长为 .
解析:直线方程是y=-y=0,圆心C(2,0),半径r=2,则圆心到直线x-y=0的距离d=,所以所截得的弦长为2=2=2.21cnjy.com
答案:2
5.经过点(-3,4)且与圆(x-1)2+(y-1)2=25相切的直线方程为 .
解析:由已知可得点(-3,4)在圆(x-1)2+(y-1)2=25上,所以过圆心(1,1)与点(-3,4)的直线与切线垂直.
又因为过圆心(1,1)与点(-3,4)的直线斜率为=-,所以切线斜率为.
所以切线方程为y-4=(x+3),即4x-3y+24=0.
答案:4x-3y+24=0
6.已知圆心在x轴上,半径为的圆C位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆C的方程是 .
解析:
如图,由图示知圆心坐标为(-2,0),半径为.
故圆C的方程为(x+2)2+y2=2.
答案:(x+2)2+y2=2
7.已知圆经过点A(2,-1),圆心在直线2x+y=0上且与直线x-y-1=0相切,求圆的方程.
解:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
因为圆心在直线2x+y=0上,
所以b=-2a,即圆心为(a,-2a).
又因为圆与直线x-y-1=0相切,且过点(2,-1),
所以=r,(2-a)2+(-1+2a)2=r2,
即(3a-1)2=2[(2-a)2+(-1+2a)2],
解得a=1或a=9,
所以a=1,b=-2,r=b=-18,r=13.故所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2或(x-9)2+(y+18)2=338.
8.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).21·cn·jy·com
(1)证明:直线l恒过一个定点A,并求出点A的坐标;
(2)证明:不论m取何值,直线l与圆C都相交于两个不同的点;
(3)求直线l被圆C截得的线段的最短长度及此时直线l的方程.
(1)证明将直线l的方程化为m(2x+y-7)+(x+y-4)=0,
由得交点为A(3,1),
即直线l恒过一个定点A(3,1).
(2)证明因为|AC|=<5,
所以点A(3,1)在圆内,所以不论m取何值,直线l与圆C都相交于两个不同的点.
(3)解:由平面几何知识得,当截得的线段与AC垂直时其长度最短.
因为点A,C所在直线的斜率kAC=-,
所以直线l的斜率kl=2.
由点斜式知所求直线的方程为y-1=2(x-3),即2x-y-5=0.
这时截得的线段长度为2=4.
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第三讲 直线与圆的位置关系
基础巩固
1.直线x-y+6=0与圆(x-1)2+(y-)2=4的位置关系是( )
A.相交且过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
2.直线x-y-4=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是( )
A.相交但不过圆心 B.相切
C.相交且过圆心 D.相离
3.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m的值为( )
A.0或2 B.2
C. D.无解
4.若A,B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点,则|AB|=( )
A.1 B. C. D.2
5.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a满足的条件是( )
A.0≤|a-1|≤2 B.|a+1|≥2
C.0≤|a+1|≤2 D.|a-1|≥2
6.若圆x2+y2-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0所得的弦长为8,则c的值是( )21世纪教育网版权所有
A.10 B.10或-68
C.5或-34 D.-68
7.直线l:3x-4y-5=0被圆x2+y2=5所截得的弦长为 .
8.已知直线5x+12y+m=0(m>0)与圆x2-2x+y2=0相交,则m的取值范围是 .
9.若P(2,-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是 . 21教育网
10.已知圆C与y轴相切,圆心C在直线l1:x-3y=0上,且在直线l2:x-y=0上截得的弦长为2,求圆C的方程.
能力提升
1.平移直线x-y+1=0,使其与圆(x-2)2+(y-1)2=1相切,则平移的最短距离为( )
A.-1 B.2-
C. D.+1
2.已知直线ax-by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形( )
A.是锐角三角形 B.是直角三角形
C.是钝角三角形 D.不存在
★3.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )
A.x+y-=0 B.x+y+1=0
C.x+y-1=0 D.x+y+=0
4.经过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4x=0所截得的弦长为 .
5.经过点(-3,4)且与圆(x-1)2+(y-1)2=25相切的直线方程为 .
6.已知圆心在x轴上,半径为的圆C位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆C的方程是 .
7.已知圆经过点A(2,-1),圆心在直线2x+y=0上且与直线x-y-1=0相切,求圆的方程.
8.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R).21cnjy.com
(1)证明:直线l恒过一个定点A,并求出点A的坐标;
(2)证明:不论m取何值,直线l与圆C都相交于两个不同的点;
(3)求直线l被圆C截得的线段的最短长度及此时直线l的方程.
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