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第四讲 圆与圆的位置关系
1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
4．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________．
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________.
课时作业
一、选择题
1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是( )
A．外切 B．内切
C．相交 D．相离
2．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y ( http: / / www.21cnjy.com )－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为( )21世纪教育网版权所有
A．x＋2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－2y－1＝0
3．若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
4．设r＞0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是( )
A．相切 B．相交
C．内切或内含 D．外切或相离
5．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是( )
A．r＜＋1 B．r＞＋1
C．|r－|≤1 D．|r－|＜1
6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
7．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A．4 B．4 C．8 D．8
二、填空题
8．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1相离，则a，b满足的条件是_____．
9．圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为________．
10．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝ ( http: / / www.21cnjy.com )4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0 ，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________．21教育网
11．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________．
三、解答题
12．已知圆O1：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
四、探究与拓展
13．已知圆C1：x2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，则以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程为________．21cnjy.com
14．求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
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第四讲 圆与圆的位置关系
1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
答案 B
解析 圆x2＋y2－1＝ ( http: / / www.21cnjy.com )0的圆心为C1(0,0)，半径为r1＝1，圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心为C2(2，－1)，半径为r2＝3，两圆的圆心距为d＝|C1C2|＝＝，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r12．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
答案 B
解析 因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆相离，所以内公切线的条数为2.
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
答案 C
解析 AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A、B、D.
4．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________．
答案 (x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
解析 设圆C的半径为r，
圆心距为d＝＝5，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16
或(x－4)2＋(y＋3)3＝36.
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a＝________.
答案 1
解析 将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝＝1，所以a＝1.21cnjy.com
1．判断两圆的位置关系的方法
(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用．
(2)依据圆心距与两圆半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系．
2．当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程．
3．求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长．
课时作业
一、选择题
1．圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是( )
A．外切 B．内切
C．相交 D．相离
答案 B
解析 圆x2＋y2－14x－2y＋14 ( http: / / www.21cnjy.com )＝0变形为(x－7)2＋(y－1)2＝36，圆心坐标为(7,1)，半径为r1＝6，圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心坐标为(3，－2)，半径为r2＝1，所以圆心距d＝＝5＝6－1＝r1－r2，所以两圆内切．www.21-cn-jy.com
2．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y ( http: / / www.21cnjy.com )－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为( )2·1·c·n·j·y
A．x＋2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－2y－1＝0
答案 B
解析 两个圆的方程相减，得x＋2y－1＝0.故选B.
3．若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
答案 C
解析 两圆的圆心坐标分别为(－2，m)，(m，－1)，
两圆的半径分别为3,2，
由题意得＝3＋2，
解得m＝2或－5.
4．设r＞0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是( )
A．相切 B．相交
C．内切或内含 D．外切或相离
答案 D
解析 两圆的圆心距为d＝＝，
两圆的半径之和为r＋4，
因为＜r＋4，
所以两圆不可能外切或相离，故选D.
5．若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是( )
A．r＜＋1 B．r＞＋1
C．|r－|≤1 D．|r－|＜1
答案 C
解析 由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得
(x＋1)2＋(y－2)2＝1，
两圆圆心之间的距离为＝.
∵两圆有公共点，
∴|r－1|≤ ≤r＋1，
∴－1≤r≤＋1，
即－1≤r－≤1，∴|r－|≤1.
6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x＋4)2＋(y－6)2＝6或(x－4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x＋4)2＋(y－6)2＝36或(x－4)2＋(y－6)2＝36
答案 D
解析 由题意可设圆的方程为(x－a)2＋(y－6)2＝36，由题意，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4.
7．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A．4 B．4 C．8 D．8
答案 C
解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．
设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，
∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝＝＝8.
二、填空题
8．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1相离，则a，b满足的条件是_____．
答案 a2＋b2＞3＋2
解析 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1.因为两圆相离，所以＞＋1，21世纪教育网版权所有
即a2＋b2＞3＋2.
9．圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为________．
答案 2
解析 由圆C1与圆C2的公共 ( http: / / www.21cnjy.com )弦所在的直线l的方程为x－y＋1＝0，得点C1(1,0)到直线l的距离为d＝＝，圆C1的半径为r1＝3，所以圆C1与圆C2的公共弦长为2＝2＝2.
10．集合A＝{(x，y)|x ( http: / / www.21cnjy.com )2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0 ，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________．【来源：21·世纪·教育·网】
答案 3或7
解析 ∵A∩B中有且仅有一个元素，
∴圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切．
当两圆内切时，由＝|2－r|，解得r＝7；
当两圆外切时，由＝2＋r，解得r＝3.
∴r＝3或7.
11．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________．
答案 x2＋y2－x－y－＝0
解析 由已知可设所求圆的 ( http: / / www.21cnjy.com )方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0.21·cn·jy·com
三、解答题
12．已知圆O1：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解 (1)设圆O2半径为r2，
因为两圆外切，所以|O1O2|＝r2＋2.
又|O1O2|＝＝2，
所以r2＝|O1O2|－2＝2(－1)，
故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0，
作O1H⊥AB，H为垂足，
则|AH|＝|AB|＝，
所以|O1H|＝＝＝.
由圆心O1(0，－1)到直线4x＋4y＋r－8＝0的距离为＝，
得r＝4或r＝20，
故圆O2的方程为
(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
四、探究与拓展
13．已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1 ( http: / / www.21cnjy.com )＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，则以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程为________．21·世纪*教育网
答案 (x＋1)2＋(y＋1)2＝1
解析 由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0.
∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，
圆心C1(－2,0)，C2(－1，－1)，
∴两圆连心线所在直线的方程为＝，
即x＋y＋2＝0.
由得所求圆的圆心为(－1，－1)．
又圆心C1(－2,0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离
d＝＝，
∴所求圆的半径r＝＝1，
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.
14．求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
解 圆C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，
圆心为C(1,0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由题意可知解得
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.
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