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第四讲 圆与圆的位置关系
基础巩固
1.圆C1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是( )21世纪教育网版权所有
A.外离 B.相交
C.内切 D.外切
解析:圆C1的圆心是C1 ( http: / / www.21cnjy.com )(-2,2),半径r1=1,圆C2的圆心是C2(2,5),半径r2=4,则圆心距|C1C2|=5.因为|C1C2|=r1+r2,所以两圆外切.【来源：21·世纪·教育·网】
答案:D
2.圆C1:x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2:x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为( )21·世纪*教育网
A.相交 B.外切
C.内切 D.外离
解析:由已知,得C1(-2,-4),r1=5,C2(-2,-2),r2=3,则d=|C1C2|=2,www.21-cn-jy.com
所以d=|r1-r2|.故两圆内切.
答案:C
3.已知圆A与圆B相切,圆心距为10 cm,其中圆A的半径为4 cm,则圆B的半径为( )
A.6 cm或14 cm B.10 cm
C.14 cm D.无解
解析:令圆A、圆B的半径分别为r1,r2,
当两圆外切时,r1+r2=10,
所以r2=10-r1=10-4=6;
当两圆内切时,|r1-r2|=10,
即|4-r2|=10,r2=14或r2=-6(舍),
即圆B的半径为6 cm或14 cm.
答案:A
4.已知圆O1的方程为x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )y2=4,圆O2的方程为(x-a)2+y2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是( )21教育网
A.{1,-1} B.{3,-3}
C.{1,-1,3,-3} D.{5,-5,3,-3}
解析:因为两个圆有且只有一个公共点,所 ( http: / / www.21cnjy.com )以两个圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=1;当两圆外切时,|a|=3,即实数a的取值集合是{1,-1,3,-3}.故选C.21cnjy.com
答案:C
5.圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:两圆的圆心分别为C1(-2, ( http: / / www.21cnjy.com )2),C2(2,-5),则两圆的圆心距d=,又半径分别为r1=1,r2=4,则d>r1+r2,即两圆外离,因此它们有4条公切线.www-2-1-cnjy-com
答案:D
6.已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O:x2+y2=1相切,则圆C的方程为( )
A.(x-4)2+(y+3)2=16
B.(x+4)2+(y-3)2=36
C.(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36
D.(x+4)2+(y-3)2=16或(x+4)2+(y-3)2=36
解析:设所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0).
因为圆C与圆O相切,所以|r-1|=5或r+1=5,
解得r=6或r=4(负值舍去).
故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.
答案:C
7.圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是 .
解析:两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.
答案:4x+3y-2=0
8.若圆C1:(x-3)2+(y-4)2=16与圆C2:x2+y2=m(m>0)内切,则实数m= . 2-1-c-n-j-y
解析:圆心距d==5,由题意得两圆半径差的绝对值|4-|=5,解得m=81.
答案:81
9.已知圆O:x2+y2=25和圆C:x2+y2-4x-2y-20=0相交于A,B两点,则公共弦AB的长为 .
解析:两圆方程相减得弦AB所在的直线方程为
4x+2y-5=0.
圆x2+y2=25的圆心到直线AB的距离
d=.
故公共弦AB的长为
|AB|=2=2.
答案:
10.求与圆O:x2+y2=1外切,切点为P,半径为2的圆的方程.
解:设所求圆的圆心为C(a,b),则所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=4.
因为两圆外切,切点为P,
所以|OC|=r1+r2=1+2=3,|CP|=2.
所以
解得
所以圆心C的坐标为,
所求圆的方程为=4.
能力提升
1.圆C1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+2)2+(y+3)2=1的位置关系是( )21·cn·jy·com
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
解析:圆心距d=,两圆半径的和为2+1=3,两圆半径之差的绝对值为1,
所以两圆的位置关系是相交.
答案:C
2.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+ay-2=0的公共弦的长度为2,则常数a的值为( )
A.±2 B.2 C.-2 D.±4
解析:两圆方程左右两边分别相减得公共弦所在直线的方程为ay+2=0.
由题意知a≠0.
圆x2+y2=4的圆心到直线ay+2=0的距离为,
又公共弦长为2,所以2=2,解得a=±2.
答案:A
3.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2= ( http: / / www.21cnjy.com )1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为( )2·1·c·n·j·y
A.7 B.6 C.5 D.4
解析:因为A(-m,0),B(m,0) ( http: / / www.21cnjy.com )(m>0),所以使∠APB=90°的点P在以线段AB为直径的圆上,该圆的圆心为O(0,0),半径为m.21*cnjy*com
而圆C的圆心为C(3,4),半径为1.
由题意知点P在圆C上,故两圆有公共点.
所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,
故m-1≤|CO|≤m+1,
即m-1≤5≤m+1,解得4≤m≤6.
所以m的最大值为6.故选B.
答案:B
4.若圆(x-a)2+(y-a)2=4上,总存在不同的两点到原点的距离等于1,则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
解析:圆(x-a)2+(y-a)2=4的 ( http: / / www.21cnjy.com )圆心C(a,a),半径r=2,到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆,这个圆的圆心是原点O,半径R=1,则这两个圆相交,圆心距d=|a|,则|r-R|
所以-答案:C
5.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是 .
解析:因为点A(a,b)在圆x2+y2=4上,
所以a2+b2=4.
又圆x2+(y-b)2=1的圆心C1(0,b),半径r1=1,
圆(x-a)2+y2=1的圆心C2(a,0),半径r2=1,
则d=|C1C2|==2,
所以d=r1+r2.
所以两圆外切.
答案:外切
6.求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.
解:设所求圆的圆心为(a,b),则
=1.①
若两圆外切,则有=1+2=3.②
由①②,解得a=5,b=-1,
所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.
若两圆内切,则有=2-1=1.③
由①③,解得a=3,b=-1,
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.
综上,可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.
7.一动圆与圆C1:x2+y2+6x+8=0外切,与圆C2:x2+y2-6x+8=0内切,求动圆圆心的轨迹方程.
解:圆C1:(x+3)2+y2=1 ( http: / / www.21cnjy.com ),所以圆心为(-3,0),半径r1=1;圆C2:(x-3)2+y2=1,所以圆心为(3,0),半径r2=1.
设动圆圆心为(x,y),半径为r,由题意得
=r+1,=r-1,
所以=2,
化简并整理,得8x2-y2=8(x≥1).
所以动圆圆心的轨迹方程是8x2-y2=8(x≥1).
8.圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).
(1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程;
(2)若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=2,求圆O2的方程.
解:(1)设圆O1的半径为r1,圆O2的半径为r2.
因为两圆外切,所以|O1O2|=r1+r2,r2=|O1O2|-r1=2(-1),
故圆O2的方程是(x-2)2+(y-1)2=4(-1)2.
(2)设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=.
因为圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,
将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB所在直线的方程4x+4y+-8=0, ①
作O1H⊥AB,则|AH|=|AB|=,O1H=,
由圆心O1(0,-1)到直线①的距离得,得=4或=20,
故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.
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第四讲 圆与圆的位置关系
基础巩固
1.圆C1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是( )21教育网
A.外离 B.相交
C.内切 D.外切
2.圆C1:x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2:x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为( )21cnjy.com
A.相交 B.外切
C.内切 D.外离
3.已知圆A与圆B相切,圆心距为10 cm,其中圆A的半径为4 cm,则圆B的半径为( )
A.6 cm或14 cm B.10 cm
C.14 cm D.无解
4.已知圆O1的方程为x2+y2 ( http: / / www.21cnjy.com )=4,圆O2的方程为(x-a)2+y2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是( )21世纪教育网版权所有
A.{1,-1} B.{3,-3}
C.{1,-1,3,-3} D.{5,-5,3,-3}
5.圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O:x2+y2=1相切,则圆C的方程为( )
A.(x-4)2+(y+3)2=16
B.(x+4)2+(y-3)2=36
C.(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36
D.(x+4)2+(y-3)2=16或(x+4)2+(y-3)2=36
7.圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是 .
8.若圆C1:(x-3)2+(y-4)2=16与圆C2:x2+y2=m(m>0)内切,则实数m= . 21·cn·jy·com
9.已知圆O:x2+y2=25和圆C:x2+y2-4x-2y-20=0相交于A,B两点,则公共弦AB的长为 .
10.求与圆O:x2+y2=1外切,切点为P,半径为2的圆的方程.
能力提升
1.圆C1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+2)2+(y+3)2=1的位置关系是( )www.21-cn-jy.com
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
2.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+ay-2=0的公共弦的长度为2,则常数a的值为( )
A.±2 B.2 C.-2 D.±4
3.已知圆C:(x-3)2+ ( http: / / www.21cnjy.com )(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为( )2·1·c·n·j·y
A.7 B.6 C.5 D.4
4.若圆(x-a)2+(y-a)2=4上,总存在不同的两点到原点的距离等于1,则实数a的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
5.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是 .
6.求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.
7.一动圆与圆C1:x2+y2+6x+8=0外切,与圆C2:x2+y2-6x+8=0内切,求动圆圆心的轨迹方程.
8.圆O1的方程为x2+(y+1)2=4,圆O2的圆心O2(2,1).
(1)若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程;
(2)若圆O2与圆O1交于A,B两点,且|AB|=2,求圆O2的方程.
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