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第一讲 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1．下面多面体中，是棱柱的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 D
解析 根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足．
2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为( )
A．四棱柱 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱锥
答案 D
解析 四个面都是三角形的几何体只能是三棱锥．
3．三棱柱的平面展开图是( )
答案 B
解析 两个全等的三角形，在侧面三个长方形的两侧，这样的图形围成的是三棱柱，故选B.
4．下列叙述，其中正确的有( )
①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；
②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 A
解析 ①不正确，因为不能保证各侧棱的 ( http: / / www.21cnjy.com )延长线交于一点，如图(1)所示；②不正确，因为侧棱延长后不能交于一点，还原后也并非棱锥；③不正确，如图(2)所示，用一个过顶点的平面截四棱锥得到的是两个三棱锥．21cnjy.com
(1) (2)
5．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.
答案 12
解析 因为棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为＝12(cm)．
1．棱柱、棱锥定义的关注点
(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有两个平面(底面)互相平行；
②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．
(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有一个面(底面)是多边形；
②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．
2．棱柱、棱锥、棱台之间的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．
3．根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力．21·cn·jy·com
课时作业
一、选择题
1．在棱柱中( )
A．只有两个面平行
B．所有的棱都平行
C．所有的面都是平行四边形
D．两底面平行，且各侧棱也互相平行
答案 D
解析 对于A，如果是长方 ( http: / / www.21cnjy.com )体，可能不止有两个面平行，故错；对于B，如果是长方体，不可能所有的棱都平行，只是所有的侧棱都平行，故错；对于C，上、下底面不一定是平行四边形，故错；对于D，据棱柱的定义知其正确，故对．故选D.【来源：21·世纪·教育·网】
2．下面多面体中有12条棱的是( )
A．四棱柱 B．四棱锥
C．五棱锥 D．五棱柱
答案 A
解析 ∵n棱柱共有3n条棱，n棱锥共有2n条棱，∴四棱柱共有12条棱；四棱锥共有8条棱；五棱锥共有10条棱；五棱柱共有15条棱．故选A.21·世纪*教育网
3．有两个面平行的多面体不可能是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．以上都错
答案 B
解析 由棱锥的结构特征可得．
4．棱台不具有的性质是( )
A．两底面相似
B．侧面都是梯形
C．侧棱都平行
D．侧棱延长后都交于一点
答案 C
解析 根据棱台的定义：用平行于底面的 ( http: / / www.21cnjy.com )平面截棱台，截面与底面之间的部分叫做棱台，∴棱台具有的性质是：上、下底面多边形相似，每个侧面都是梯形，侧棱延长后交于一点，故选项A、B、D排除，∴棱台的侧棱都不平行，故选C.www-2-1-cnjy-com
5．如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱台
答案 B
解析 由题图知剩余的部分是四棱锥A′－BCC′B′.
6．下面图形中是正方体展开图的是( )
答案 A
解析 由正方体表面展开图性质知A是 ( http: / / www.21cnjy.com )正方体的展开图；B折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，故不能折成正方体；C缺少一个正方形；D折叠后有一个面重合，另外还少一个面，故不能折成正方体．故选A.21*cnjy*com
7．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
答案 B
解析 由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B.
8．五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )21教育网
A．20 B．15 C．12 D．10
答案 D
解析 如图，在五棱柱ABCDE－A1B ( http: / / www.21cnjy.com )1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．【版权所有：21教育】
二、填空题
9．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．
答案 3
解析 如图，分割为A1－ABC，B－A1CC1，C1－A1B1B,3个棱锥．
10．一个长方体共顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体对角线的长是________．
答案
解析 设长方体长、宽、高为x，y，z，
则yz＝，xz＝，yx＝，
三式相乘得x2y2z2＝6，即xyz＝，
解得x＝，y＝，z＝1，
所以＝＝.
11．如图，已知正三棱锥P－ABC ( http: / / www.21cnjy.com )的侧棱长为，底面边长为，Q是侧棱PA的中点，一条折线从A点出发，绕侧面一周到Q点，则这条折线长度的最小值为________．2·1·c·n·j·y
答案
解析 沿着棱PA把三棱锥展开成平面图形，
所求的折线长度的最小值就是线段AQ的长度，令∠PAB＝θ，则θ＝60°，在展开图中，AQ＝，故答案为.www.21-cn-jy.com
三、解答题
12．试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．2-1-c-n-j-y
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
(3)三棱柱．
解 (1)如图所示，三棱锥A1－AB1D1(答案不唯一)．
(2)如图所示，三棱锥B1－ACD1(答案不唯一)．
(3)如图所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一)．
13．在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中．
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？
解 (1)不对；水面的形状就是用一 ( http: / / www.21cnjy.com )个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形．21世纪教育网版权所有
(2)不对；水的形状就是用与棱(将 ( http: / / www.21cnjy.com )长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后，剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥．21教育名师原创作品
(3)用任意一个平面去截长方体， ( http: / / www.21cnjy.com )其截面形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形，因而水面的形状可以是三角形，四边形，五边形，六边形；水的形状可以是棱锥，棱柱，但不可能是棱台．故此时(1)对，(2)不对．21*cnjy*com
四、探究与拓展
14．一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.【出处：21教育名师】
答案 60°
解析 将平面图形翻折，折成空间图形，可得∠ABC＝60°.
15．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？
解 (1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对 ( http: / / www.21cnjy.com )的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．【来源：21cnj*y.co*m】
(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB1F－CC1E和棱柱ABFA1－DCED1.
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第一讲 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1．下面多面体中，是棱柱的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为( )
A．四棱柱 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱锥
3．三棱柱的平面展开图是( )
4．下列叙述，其中正确的有( )
①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；
②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.
课时作业
一、选择题
1．在棱柱中( )
A．只有两个面平行
B．所有的棱都平行
C．所有的面都是平行四边形
D．两底面平行，且各侧棱也互相平行
2．下面多面体中有12条棱的是( )
A．四棱柱 B．四棱锥
C．五棱锥 D．五棱柱
3．有两个面平行的多面体不可能是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．以上都错
4．棱台不具有的性质是( )
A．两底面相似
B．侧面都是梯形
C．侧棱都平行
D．侧棱延长后都交于一点
5．如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱台
6．下面图形中是正方体展开图的是( )
7．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )
A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1
8．五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )21世纪教育网版权所有
A．20 B．15 C．12 D．10
二、填空题
9．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成________个三棱锥．
10．一个长方体共顶点的三个面的面积分别是，，，则这个长方体对角线的长是________．
11．如图，已知正三棱锥P－ABC的侧棱长为 ( http: / / www.21cnjy.com )，底面边长为，Q是侧棱PA的中点，一条折线从A点出发，绕侧面一周到Q点，则这条折线长度的最小值为________．21教育网
三、解答题
12．试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．21·cn·jy·com
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；
(3)三棱柱．
13．在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中．
(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
(3)如果倾斜时，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？
四、探究与拓展
14．一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.21cnjy.com
15．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？
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