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第二讲 旋转体与简单组合体的结构特征
1．下列说法正确的是( )
A．圆锥的母线长等于底面圆直径
B．圆柱的母线与轴垂直
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
答案 D
解析 圆锥的母线长与底面直径无联系；圆柱的母线与轴平行；圆台的母线与轴不平行．
2．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图1中的几何体的是( )
图1
答案 B
解析 由题意知，所得几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B正确．
3．下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A．圆台 B．球
C．圆柱 D．棱柱
答案 B
解析 截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．
4．下图中的组合体的结构特征有以下几种说法：
①由一个长方体割去一个四棱柱构成；
②由一个长方体与两个四棱柱组合而成；
③由一个长方体挖去一个四棱台构成；
④由一个长方体与两个四棱台组合而成.
其中正确说法的序号是________．
答案 ①②
5．用一个平行于圆锥底面的 ( http: / / www.21cnjy.com )平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长为________ cm.21世纪教育网版权所有
答案 9
解析 如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.
根据相似三角形的性质得＝，解此方程得y＝9.
所以圆台的母线长为9 cm.
1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．
2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．
3．处理组合体问题常采用分割思想．
4．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．
课时作业
一、选择题
1．下列几何体中不是旋转体的是( )
答案 D
2．下列命题中正确的是( )
A．将正方形旋转不可能形成圆柱
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
答案 C
解析 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形 ( http: / / www.21cnjy.com )成圆柱，所以A错误；B中没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况结论不一定正确，所以B错误；通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误，故选C.21教育网
3．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )
答案 A
解析 此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构成，是由A中的平面图形旋转而形成的．
4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )
A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形
答案 D
解析 其中ABCD不是面，该几何体有8个面．
5．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
A．2 B．2π
C.或 D.或
答案 C
解析 如图所示，设底面半径为r，若 ( http: / / www.21cnjy.com )矩形的长8为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝，故选C.21cnjy.com
6．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为( )
A．10 cm B．20 cm
C．20 cm D．10 cm
答案 A
解析 如图所示，在Rt△ABO中，AB＝20 cm，∠A＝30°，
所以AO＝AB·cos 30°
＝20×＝10(cm)．
7.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
答案 B
解析 圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B.
8．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )
答案 B
解析 由组合体的结构特征知，球与正方体各面相切，与各棱相离，故选B.
二、填空题
9．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．
答案 两个圆锥
解析 连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥．
10．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．
答案 2
解析 设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝，
∴由题意可知·2r·h＝r＝8，
∴r2＝8，∴h＝2.
11．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是________．21·cn·jy·com
答案 3
解析 如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝，
r2＝2.
∵球心到两个截面的距离
d1＝，d2＝，
∴d1－d2＝－＝1，
∴R2＝9，∴R＝3.
三、解答题
12．一个有30°角的直角三角尺绕其各 ( http: / / www.21cnjy.com )条边所在直线旋转一周所得的几何体都是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？www.21-cn-jy.com
解 如图所示，图(1)(2 ( http: / / www.21cnjy.com ))旋转一周所得的几何体是圆锥，图(3)旋转一周所得的是两个圆锥的组合体；图(4)旋转180°所得的是两个半圆锥的组合体，旋转360°围成的几何体是一个圆锥内部有一个同顶点等高的圆锥．
13．圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：2·1·c·n·j·y
(1)绳子的最短长度；
(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．
解 (1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，
设OB＝l，
则θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10，
解得θ＝，l＝20 cm.
∴OA＝40 cm，OM＝30 cm.
∴AM＝＝50 cm.
即绳子最短长度为50 cm.
(2)作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，
则PQ为所求的最短距离．
∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24 cm.
故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.
四、探究与拓展
14．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是________．(填序号)
①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．
答案 ①②③⑤
解析 可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥．
15．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
解 (1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．
(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．
(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．
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第二讲 旋转体与简单组合体的结构特征
1．下列说法正确的是( )
A．圆锥的母线长等于底面圆直径
B．圆柱的母线与轴垂直
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
2．下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图1中的几何体的是( )
图1
3．下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A．圆台 B．球
C．圆柱 D．棱柱
4．下图中的组合体的结构特征有以下几种说法：
①由一个长方体割去一个四棱柱构成；
②由一个长方体与两个四棱柱组合而成；
③由一个长方体挖去一个四棱台构成；
④由一个长方体与两个四棱台组合而成.
其中正确说法的序号是________．
5．用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥 ( http: / / www.21cnjy.com )，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长为________ cm.21世纪教育网版权所有
课时作业
一、选择题
1．下列几何体中不是旋转体的是( )
2．下列命题中正确的是( )
A．将正方形旋转不可能形成圆柱
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
3．如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的( )
4．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是( )
A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的
B．该几何体有12条棱、6个顶点
C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形
D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形
5．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
A．2 B．2π
C.或 D.或
6．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为( )
A．10 cm B．20 cm
C．20 cm D．10 cm
7.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )
A．一个球体
B．一个球体中间挖去一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
8．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )
二、填空题
9．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．
10．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．
11．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是________．21教育网
三、解答题
12．一个有30°角的直角三角尺 ( http: / / www.21cnjy.com )绕其各条边所在直线旋转一周所得的几何体都是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？21cnjy.com
13．圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：21·cn·jy·com
(1)绳子的最短长度；
(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．
四、探究与拓展
14．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是________．(填序号)
①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．
15．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．
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