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第五讲 柱体、锥体、台体的表面积
一、选择题
1．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO′的侧面积是( )
A．54π B．8π
C．4π D．16π
2．一个几何体的三视图及其尺寸如图1 3 8(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )
图1 3 8
A．12π B．18π
C．24π D．36π
3．如图1 3 9，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱BC上的一点，则三棱锥D1 B1C1E的体积等于( )21教育网
图1 3 9
A. B.
C. D.
4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图1 3 10所示，该四棱锥的侧面积和体积分别是( )21cnjy.com
图1 3 10
A．4，8
B．4，
C．4(＋1)，
D．8,8
5．一个多面体的三视图如图1 3 11所示．则该多面体的体积为( )
图1 3 11
A. B.
C．6 D．7
二、填空题
6．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2. 21·cn·jy·com
7．一个几何体的三视图如图1 3 12所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
图1 3 12
三、解答题
8．一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图1 3 13所示，AA1＝3.
(1)请画出它的直观图；
(2)求这个三棱柱的表面积和体积．
图1 3 13
9．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积. 21世纪教育网版权所有
[能力提升]
10．圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________.
11．如图1 3 14，在四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，若四边形ABCD绕AD旋转一周成为几何体．www.21-cn-jy.com
图1 3 14
(1)画出该几何体的三视图；
(2)求出该几何体的表面积．
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第五讲 柱体、锥体、台体的表面积
一、选择题
1．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO′的侧面积是( )
A．54π B．8π
C．4π D．16π
【解析】 S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π.
【答案】 A
2．一个几何体的三视图及其尺寸如图1 3 8(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )
图1 3 8
A．12π B．18π
C．24π D．36π
【答案】 C [由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r＝3，母线l＝5，∴S表＝πrl＋πr2＝24π.]
3．如图1 3 9，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E是棱BC上的一点，则三棱锥D1 B1C1E的体积等于( )21世纪教育网版权所有
图1 3 9
A. B.
C. D.
【答案】 D [VD1 B1C1E＝S△B1C1E·C1D1＝××1×1×1＝.]
4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图1 3 10所示，该四棱锥的侧面积和体积分别是( )21教育网
图1 3 10
A．4，8
B．4，
C．4(＋1)，
D．8,8
【解析】 由题图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，V＝×2×2×2＝，侧面三角形的高h＝＝，S侧＝4×＝4.21cnjy.com
【答案】 B
5．一个多面体的三视图如图1 3 11所示．则该多面体的体积为( )
图1 3 11
A. B.
C．6 D．7
A [由三视图知这个多面体是正方体 ( http: / / www.21cnjy.com )截去两个全等的三棱锥后剩余的部分，其直观图如图所示，结合题图中尺寸知，正方体的体积为23＝8，一个三棱锥的体积为××1×1×1＝，因此多面体的体积为8－2×＝.]21·cn·jy·com
二、填空题
6．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2. www.21-cn-jy.com
【解析】 棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．
【答案】 72
7．一个几何体的三视图如图1 3 12所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
图1 3 12
【解析】 由几何体的三视图可知该几何体由两 ( http: / / www.21cnjy.com )个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为V＝π×12×1×2＋π×12×2＝π.
【答案】 π
三、解答题
8．一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图1 3 13所示，AA1＝3.
(1)请画出它的直观图；
(2)求这个三棱柱的表面积和体积．
图1 3 13
【解】 (1)直观图如图所示．
(2)由题意可知，
S△ABC＝×3×＝.
S侧＝3×AC×AA1＝3×3×3＝27.
故这个三棱柱的表面积为27＋2×＝27＋.
这个三棱柱的体积为×3＝.
9．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积. 2·1·c·n·j·y
【解】 如图所示，作轴截面A1ABB1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r、R，l，高为h.
作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3.
又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝，
即R－r＝3×，∴R－r＝.
又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°.
∴BD＝A1D·tan 60°，即R＋r＝3×，
∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，而h＝3，
∴V圆台＝πh(R2＋Rr＋r2)
＝π×3×[(2)2＋2×＋()2]
＝21π.
所以圆台的体积为21π.
[能力提升]
10．圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________.
【解析】 因为圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，
所以圆锥的侧面积等于扇形的面积＝＝π，
设圆锥的底面圆的半径为r，
因为扇形的弧长为×2＝π，
所以2πr＝π，所以r＝，
所以底面圆的面积为π.所以圆锥的表面积为π.
【答案】 π
11．如图1 3 14，在四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，若四边形ABCD绕AD旋转一周成为几何体．【来源：21·世纪·教育·网】
图1 3 14
(1)画出该几何体的三视图；
(2)求出该几何体的表面积．
【解】 (1)如图所示．
(2)过C作CE垂直AD延长线于E点，作CF垂直AB于F点．
由已知得：DE＝2，CE＝2，∴CF＝4，BF＝5－2＝3.
∴BC＝＝5.
∴下底圆面积S1＝25π，
台体侧面积S2＝π×(2＋5)×5＝35π，
锥体侧面积S3＝π×2×2＝4π，
故表面积S＝S1＋S2＋S3＝(60＋4)π.
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