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第五讲 柱体、锥体、台体的表面积
1．圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是( )
A. B．πS C．2πS D．4πS
答案 B
解析 ∵圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，
∴圆柱的母线长为，底面圆的直径为，
∴圆柱的侧面积S＝π××＝πS.
故选B.
2．如图，已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，则正四面体D－A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设正方体的棱长为1，则正方 ( http: / / www.21cnjy.com )体的表面积为6，正四面体D－A1BC1的棱长为，表面积为4××sin 60°×＝2，∴正四面体D－A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是，故选B.
3．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为( )
A．100π B．81π C．169π D．14π
答案 A
解析 ∵圆台的上、下底面半径和高 ( http: / / www.21cnjy.com )的比为1∶4∶4，母线长为10，设圆台上底面的半径为r，则下底面半径和高分别为4r和4r，由100＝(4r)2＋(4r－r)2，得r＝2，故圆台的侧面积等于π(r＋4r)×l＝π(2＋8)×10＝100π，故选A.21世纪教育网版权所有
4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
答案 2
解析 设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则πl2＋πr2＝3π，πl＝2πr，∴r＝1，即圆锥的底面直径为2.
5．直角三角形的两条直角边长分别为15和20，以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋转体的表面积．
解 设此直角三角形为ABC，AC＝20，BC＝15，AC⊥BC，则AB＝25.
过C作CO⊥AB于点O，直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形绕AB所在直线旋转生成的旋转体，它的上部是圆锥(1)，它的下部是圆锥(2)，两圆锥底面圆相同，其半径是OC，且OC＝＝12，圆锥(1)的侧面积S1＝π×12×20＝240π，圆锥(2)的侧面积S2＝π×12×15＝180π.旋转体的表面积应为两个圆锥侧面积之和，即S＝S1＋S2＝420π.
1．多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和．
2．有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截 ( http: / / www.21cnjy.com )面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．21教育网
3．S圆柱表＝2πr(r＋l)；S圆锥表＝πr(r＋l)；S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．
课时作业
一、选择题
1．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
答案 C
解析 设圆锥的母线长为l，则l＝＝2，∴圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.
2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )
A．2 B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 圆台的轴截面如图所示，
由题意知，l＝(r＋R)，
S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，
∴l＝4.
3．正四棱台的两底边长分别为1 cm,2 cm，高是1 cm，它的侧面积为( )
A．6 cm2 B. cm2 C. cm2 D．3 cm2
答案 D
解析 ∵四棱台的两底边长分别为1 cm,2 cm，高是1 cm，
∴上底边到上底中心的距离是 cm，下底边到下底中心的距离是1 cm，
那么梯形的高，就是斜高为 ＝(cm)，
一个梯形的面积就是(1＋2)×＝(cm2)，
∴棱台的侧面积S＝3(cm2)．
故选D.
4．某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图 ( http: / / www.21cnjy.com )是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为( )21cnjy.com
A．80 B．24＋88
C．24＋40 D．118
答案 B
解析 根据题意，可得该几何体是底面是边长分别为6和8的矩形且侧棱长均相等的四棱锥，高为SO＝4，如图所示，21·cn·jy·com
因此，等腰三角形SAB的高SE＝＝＝5，
等腰三角形SCB的高SF＝＝＝4，
∴S△SAB＝S△SCD＝×AB×SE＝20，
S△SCB＝S△SAD＝×CB×SF＝12，
∵矩形ABCD的面积为6×8＝48，
∴该几何体的表面积为S表＝S△SAB＋S△SCD＋S△SCB＋S△SAD＋SABCD＝2×20＋2×12＋48＝24＋88.
故选B.
5．一个直角三角形的直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为( )
A．15π B．20π C．12π D．15π或20π
答案 D
解析 以直角三角形的直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥，有以下两种情况：
根据圆锥的侧面积计算公式S侧面积＝πr×l母线长．
①以直角边3为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S＝4π×5＝20π；
②以直角边4为旋转轴时，旋转而成的圆锥的侧面积S＝3π×5＝15π.
故选D.
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．372 B．360 C．292 D．280
答案 B
解析 由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．
∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，www.21-cn-jy.com
又∵长方体表面积重叠一部分，
∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.
7．如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9π，则该几何体的正视图中实数a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 设几何体是一个圆柱上面叠加一个圆锥，其表面积为S＝2π×1×a＋π×1×＋π×12＝2πa＋3π＝9π，∴a＝3.【来源：21·世纪·教育·网】
二、填空题
8．若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是________．
答案 1∶2
解析 设该圆锥体的底面半径为r，母线长为l，根据题意得2πr＝πl，所以l＝2r，
所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是
πr2∶πl2＝r2∶(2r)2＝1∶2.
故答案为1∶2.
9．一个几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是________．www-2-1-cnjy-com
答案 12π
解析 由三视图知该几何体是一个圆台，其上、下底面的半径分别为2,1，母线长为4，则该几何体的侧面积S＝π(2×4＋1×4)＝12π.2-1-c-n-j-y
10．如图所示，一个正四棱锥(底 ( http: / / www.21cnjy.com )面是正方形，从顶点向底面引垂线，垂足是底面中心的四棱锥)的正方形底面的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的表面积为____ cm2.21*cnjy*com
答案 48
解析 ∵该四棱锥的侧面是底边长为4 cm的全 ( http: / / www.21cnjy.com )等的等腰三角形，∴要求侧面积，只需求等腰三角形底边上的高即可，可构造直角三角形求解．如题图所示，正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成Rt△POE.
∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°，
∴斜高PE＝＝＝4(cm)．
∴S棱锥侧＝4··BC·PE＝4××4×4＝32(cm2)，
∴S表＝S侧＋S底＝32＋4×4＝48(cm2)．
11．如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________．【来源：21cnj*y.co*m】
答案 96＋6π
解析 由题意知，所打圆柱形孔穿透正方体，因此 ( http: / / www.21cnjy.com )打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积，再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即S＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π.
三、解答题
12．如图所示是某几何体的三视图，它的正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形．(长度单位：cm)
(1)该几何体是什么图形？
(2)画出该几何体的直观图(坐标轴如图所示)，并求它的表面积.(只需作出图形，不要求写作法)
解 (1)由三视图可知该几何体是三棱柱．
(2)直观图如图所示．
因为该几何体的底面是边长为4 cm的等边三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形，高为2 cm，所以它的表面积S三棱柱＝2S底＋S侧＝2××42＋3×4×2＝(24＋8)(cm2)．2·1·c·n·j·y
13．如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
解 如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′.过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.【出处：21教育名师】
∵S侧＝2S底，∴×3a×h′＝a2×2，∴a＝h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2，
∴32＋(×h′)2＝h′2，∴h′＝2，∴a＝h′＝6.
∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18，
∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
四、探究与拓展
14．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )21·世纪*教育网
A．7 B．6 C．5 D．3
答案 A
解析 设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.
15．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱．
(1)试用x表示圆柱的高；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？
解 (1)设所求的圆柱的底面半径为x，它的轴截面如图，
BO＝1，PO＝3，圆柱的高为h，
由图，得＝，即h＝3－3x.
(2)∵S圆柱侧＝2πhx＝2π(3－3x)x＝6π(x－x2)，
当x＝时，圆柱的侧面积取得最大值为π.
∴当圆柱的底面半径为时，它的侧面积最大为π.
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第五讲 柱体、锥体、台体的表面积
1．圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是S，则它的侧面积是( )
A. B．πS C．2πS D．4πS
2．如图，已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，则正四面体D－A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是( )
A. B. C. D.
3．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为( )
A．100π B．81π C．169π D．14π
4．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．
5．直角三角形的两条直角边长分别为15和20，以它的斜边为轴旋转生成的旋转体，求旋转体的表面积．
课时作业
一、选择题
1．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为( )
A．2 B．2 C．4 D．8
3．正四棱台的两底边长分别为1 cm,2 cm，高是1 cm，它的侧面积为( )
A．6 cm2 B. cm2 C. cm2 D．3 cm2
4．某几何体的俯视图是如 ( http: / / www.21cnjy.com )图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为( )21教育网
A．80 B．24＋88
C．24＋40 D．118
5．一个直角三角形的直角边分别为3与4，以其直角边为旋转轴，旋转而成的圆锥的侧面积为( )
A．15π B．20π C．12π D．15π或20π
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．372 B．360 C．292 D．280
7．如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为9π，则该几何体的正视图中实数a的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8．若一个圆锥的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的底面面积与侧面积的比是________．
9．一个几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是底边长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是________．21cnjy.com
10．如图所示，一个正四棱 ( http: / / www.21cnjy.com )锥(底面是正方形，从顶点向底面引垂线，垂足是底面中心的四棱锥)的正方形底面的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的表面积为____ cm2.21·cn·jy·com
11．如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2、深为4的圆柱形孔，则打孔后的几何体的表面积为________．www.21-cn-jy.com
三、解答题
12．如图所示是某几何体的三视图，它的正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形．(长度单位：cm)
(1)该几何体是什么图形？
(2)画出该几何体的直观图(坐标轴如图所示)，并求它的表面积.(只需作出图形，不要求写作法)
13．如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．
四、探究与拓展
14．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )21世纪教育网版权所有
A．7 B．6 C．5 D．3
15．如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x的内接圆柱．
(1)试用x表示圆柱的高；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？
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