初中数学北师大版八年级下册第六章第二节 平行四边形判定 同步练习
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（ ）
A．AD=BC B．AB=CD C．AD∥BC D．∠A=∠C
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、AB∥CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形， 错误，符合题意；
B、∵ AB∥CD，AB=CD ，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，不符合题意；
C、∵ AB∥CD， AD∥BC ，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，不符合题意；
D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，又 ∠A=∠C ，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定定理，结合条件，分别判断，即可作答.
2．点A，B，C，D在同一平面内，有以下条件：①AB∥DC；②AB=DC；③BC∥AD；④BC=AD。从四个条件中任意选取两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有 （ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：(1) ①AB∥DC，②AB=DC （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
(2) ①AB∥DC ， ③BC∥AD （两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；
(3) ②AB=DC ， ④BC=AD （两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；
(4) ③BC∥AD， ④BC=AD （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
综上，共4种.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的判定定理有：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；选择条件作答即可.
3．（2021八下·樊城期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）
A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点
∴ ，
A：根据∠B＝∠F得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
B：∠B＝∠BCF，∴ ，∴四边形ADFC为平行四边形，选项符合题意；
C：根据AC＝CF得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
D：根据AD＝CF得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
故答案为B.
【分析】根据平行四边形的判定“①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形”并结合各选项即可判断求解.
4．（2021八下·锦江期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等
B．若 则
C．平行四边形对角线相等
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；平行四边形的判定与性质；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形可以利用AAS证明两三角形全等，原命题是真命题；
B、若a＞b，则-a＜-b，所以2-a＜2-b，原命题是假命题；
C、平行四边形对角线平分，原命题是假命题；
D、一组对边相等且平行的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；
故答案为：A.
【分析】利用全等三角形的判定定理，可对A作出判断；利用不等式的性质3和2，可对B作出判断；利用平行四边形的性质，可对C作出判断；利用平行四边形的判定定理，可对D作出判断.
5．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的有（ ）
①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC；②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC；③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点；④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB。
A．3个 B．4个 C．1个 D．2个
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，∠ADC=∠ABC
∴∠DCE=∠BAE，
图甲：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，∠DEC=∠AFB=90°，
在△CDE和△ABF中
∴△CDE≌△ABF（AAS）
∴DE=BF，
∵DE∥BF
∴四边形BFDE是平行四边形；
图乙
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠CDE=∠ADC，∠ABE=∠ABC，
∴∠CDE=∠ABF，
在△CDE和△ABF中
∴△CDE≌△ABF（AAS）
∴DE=BF，∠DEC=∠AFB，
∴DE∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
图丙
∵ E是AB的中点，F是CD的中点
∴DF=DC，BE=BA，
∴DC=BE，DC∥BE，
∴四边形BFDE是平行四边形；
图丁
∵EF⊥AB，
∴∠DFE=∠FEB=90°，不能证明△DFE≌△BEF，
∴不能证明DF=BE，
∴四边形BFDE不一定是平行四边形；
∴是平行四边形的有3个.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质可证得DC∥AB，DC=AB，∠ADC=∠ABC，利用平行线的性质可得到∠DCE=∠BAE，利用图甲的条件，可证得DE∥BF，∠DEC=∠AFB=90°；再利用AAS证明△CDE≌△ABF，可推出DE=BF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形BFDE是平行四边形；图乙：利用角平分线的定义去证明∠CDE=∠ABF，利用AAS证明△CDE≌△ABF，利用全等三角形的性质可得到DE=BF，∠DEC=∠AFB，从而可证得DE∥BF，由此可推出四边形BFDE是平行四边形；图丁：利用垂直的定义可证得∠DFE=∠FEB，一边一角对应相等，不能证明△DFE≌△BEF，由此可知四边形BFDE不一定是平行四边形；即可得到答案.
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵BD=BE+ED=6，∠CBD=90°，
∴EC=，
∴AE=EC=5，
又BE=ED，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴△CBD的面积=BC·BD=4×6=12，
∴平行四边形ABCD的面积=2△CBD的面积=24.
故答案为：D.
【分析】根据线段的和差关系求出BD，结合∠CBD=90°，先求出△CBD的面积，从而求出平行四边形ABCD的面积.
7．如图所示，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（ ）
A．CE∥FG
B．CE=FG
C．A，B两点之间的距离就是线段AB的长
D．直线a，b之间的距离就是线段CD的长
【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线之间的距离；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵CE⊥b，FG⊥b，∴CE∥FG，正确，不符合题意；
B、∵AB∥CD， CE∥FG，∴四边形FGEC为平行四边形，∴CE=FG，正确，不符合题意；
C、 A，B两点之间的距离就是线段AB的长，正确，不符合题意；
D、∵CD不是a与b之间的垂线段，∴ 直线a，b之间的距离不是是线段CD的长，错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】同垂直于一条直线的两直线平行，依此判断A；先证明四边形FGEC为平行四边形，则可得出CE=FG，从而判断B；连接两点之间的距离为线段的长，依此判断C；两平行线间的垂线段的长度为两平行线之间的距离，依此判断D.
.
8．（2021九上·长沙月考）在平面直角坐标系中，已知四边形 各顶点坐标分别是： ，且 ，那么四边形 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，把 向上平移一个单位得： ，作 关于直线 的对称点 连接 ，交直线 于 连接 ，
，
由
四边形 是平行四边形，
所以此时：四边形 的周长最短，
故答案为： A.
【分析】把A（0，-2）向上平移一个单位得A1（0，-1），作A1关于直线x=3的对称点A2（6，-1），连接A2B，交直线x=3于N， 连接A1N，结合已知根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AMNA1是平行四边形，则A1N=AM=A2N，此时四边形AMNB的周长最短，用勾股定理求得AB、A2B的值，则C四边形AMNB=AM+AB+BN+MN=AB+NM+A2B可求解.
二、填空题
9．（2020八下·哈尔滨期中）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果∠B＝50°，则∠D＝ ．
【答案】50°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对角相等即可得∠B＝∠D＝50°.
【分析】根据平行四边形的判定和性质定理，即可求解.
10．（2021·荆州模拟）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两孤交于点D，分别连结AB、AD、CD.则四边形ABCD是平行四边形，其依据是 .
【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
【分析】根据题意，可得到AD= BC，AB= CD根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得到四边形ABCD是平行四边形.
11．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，∠ABC=70°，则∠BCD= 。
【答案】110°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-70°=110°.
故答案为：110°.
【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，再利用平行线的性质，可求出∠BCD的度数.
12．如图所示，在 ABCD中，对角线交于点O，点E，F在对角线AC上（不同于点A，C），当点E，F的位置满足 的条件时，四边形DEBF是平行四边形。
【答案】AE=CF（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解： 当点E，F的位置满足AE=CF的条件时，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∴OA-OE=OC-OF，即OE=OF，
∴四边形DEBF为平行四边形.
故答案为：AE=CF.
【分析】由平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC，然后利用线段的和差关系得出OE=OF，则可判定四边形DEBF为平行四边形.
13．（2021九上·西安月考）如图，两条宽度为4的矩形纸带交叉摆放，若 ，则重叠部分四边形 的面积为 .
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，作AE⊥BC，AF⊥CD，
由题意，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AE⊥BC，∠ABC=45°，
∴∠AEB=90°，∠BAE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，AB= AE，
由题意，AE=AF=4，
∴AB=4 ，
∴四边形ABCD的面积=AB·AF=16 .
【分析】作AE⊥BC，AF⊥CD，利用有两组对边平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD为平行四边形，结合已知条件，利用勾股定理求出AE的长，根据AB= AE，可求出AB的长；然后利用平行四边形的面积公式可求出四边形ABCD的面积.
14．（2021·湘西）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 、 ，若 ， ，则 的度数是 .
【答案】40°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ ，
由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
故答案为：40°.
【分析】由折叠的性质可得 ，由平行线的性质可得，利用三角形外角的性质可得，证明四边形 是平行四边形，可得.
15．（2021八上·江油开学考）如图，在平面直角坐标系中（以1cm为单位长度），过点（0，5）的直线垂直于y轴，点M（12，5）为直线上一点，若点P从点M出发，以4cm/s的速度沿直线MA向左移动；点Q从原点同时出发，以2cm/s的速度沿x轴向右移动，则当PQ∥y轴时，点P和点Q运动了 s.
【答案】2
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：设当PQ∥y轴时，点P和点Q运动了t秒，
∵PQ∥y轴，
∴P（12﹣4t，5），Q（2t，0），
∵AP∥OQ，
∴四边形AOQP为平行四边形，
∴AP＝OQ，
∴12﹣4t＝2t，解得t＝2.
即当PQ∥y轴时，点P和点Q运动了2s，
故答案为：2.
【分析】设当PQ∥y轴时，点P和点Q运动了t秒，则P（12-4t，5），Q（2t，0），由平行四边形的性质可得AP＝OQ，据此可得t的值.
16．（2021·栖霞模拟）如图，在 中， ， ， ，点 为直线 上一点，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，则点 、 距离的最小值为 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：如图所示，将Rt△PBD绕点B顺时针旋转60°，得到Rt△QBE ，点D的对应点为点E，则∠DBE=∠PBQ=60°，∠BEQ=∠BDP=90°，BE=BD，QE=PD.
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABE=∠ABC+∠DBE=30°+60°=90°.
∴∠ABE+∠BEQ=90°+90°=180°.
∴QE∥AB.
∵AB=AC=3，AD⊥BC，∠ABC=30°，
过点E作EF∥AQ，交AB于点F，则四边形AQEF是平行四边形.
∴AF=QE=PD，FE=AQ.
设PD=AF=x，则BF=3-x.
在 中，
∴当x=3时，EF有最小值，最小值为 .
∵EF=AQ，
∴AQ的最小值为 .
故答案为： .
【分析】将Rt△PBD绕点B顺时针旋转60°，得Rt△QBE ，点D的对应点为点E；则∠DBE=∠PBQ=60°，∠BEQ=∠BDP=90°，BE=BD，QE=PD.证明QE∥AB，利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质可得，由勾股定理求出BD=，得，过点E作EF∥AQ，交AB于点F，则四边形AQEF是平行四边形，可得AF=QE=PD，FE=AQ，设PD=AF=x，则BF=3-x，在 中，，可得，当x=3时，EF有最小值，由EF=AQ可得结论.
三、解答题
17．（2021八下·老河口期末）如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，∠BFD＝100°.求∠BED的大小.
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BE＝ AB，DF＝ CD，
∴BE＝DF，BE∥DF.
∴四边形DEBF是平行四边形.
∴∠BED＝∠BFD＝100°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质得DC＝AB，DC∥AB，由线段中点定义得BE=DF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形DEBF是平行四边形，然后由平行四边形的对角相等可求解.
18．（2021八下·湖州期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，E、F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF//BE.求证：四边形ABCD是平行四边形.
【答案】证明：∵AB∥CD
∴∠DCA＝∠BAC
∵DF∥BE ∴∠DFA＝∠BEC
∴∠AEB＝∠DFC
在△AEB和△CFD中
∴△AEB≌△CFD（ASA）
∴AB＝CD
∵AB∥CD
∴四边形ABCD为平行四边形
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】由AB∥CD、DF∥BE，依据两直线平行，内错角相等即可得到∠DCA＝∠BAC、∠AEB＝∠DFC，再结合条件得出AE=CF，根据三角形全等的判定（ASA）即可得出△AEB≌△CFD，利用全等三角形对应边相等即可得到AB＝CD，再结合AB∥CD，即可证明出四边形ABCD为平行四边形.
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF=ED。
求证：∠EAF=∠FCE.
【答案】证明；如图，连结AC，交BD干点O，
四边形ABCD是平行四边形，
OA=OC，OB=OD，
∵BF=ED，即OB+OF=OD+OE，
OF=OE，
OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∠EAF=∠FCE。
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 连结AC，交BD干点O， 根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，再根据线段的和差关系求出OF=OE，则可证明四边形AECF是平行四边形，从而得出∠EAF=∠FCE.
四、综合题
20．如图所示，D是△ABC的边AB上一点，CN//AB，DN交AC于点M，MA=MC.
（1）求证：CD=AN.
（2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四边形ADCN的面积.
【答案】（1）证明：∵CN//AB，
在 和 中，
又 四边形ADCN是平行四边形，
（2）解： ，
，
四边形 是平行四边形，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】(1)由平行线的性质得出∠DAM=∠NCM，利用ASA证明△AMD≌△CMN，则可得出AD=CN，结合AD∥CN，证得四边形ADCN是平行四边形，得到CD=AN；
(2) 根据含30°角的直角三角形的性质求出AN长，然后根据勾股定理求AM长，则可计算△AMK的面积，最后根据 计算，即可求出结果.
21．如图，已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC。
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长。
【答案】（1）证明：∵BD垂直平分AC ，
AB=BC，AD= DC
∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，
∠BAD=∠BCD.
又∵∠BCD=∠ADF，
∠BAD=∠ADF，
∴AB∥DF.
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
四边形ABDF是平行四边形。
（2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，∴AB=DF，AF=BD.
∵AF=DF=5，∴AB=BD=5
设BE=x，则DE=5-x，
而AB2-BE2=AE2=AD2-DE2，
∴52-x2=62-（5-x）2
解得x=
∴AE==，
∴AC=2AE=.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可证得AB=BC，AD=DC，利用等边对等角可推出∠BAD=∠BCD；再证明AF∥DF，AF∥BD，由此可证得结论.
（2）利用平行四边形的性质可证得AB=DF，AF=BD，设BE=x，可表示出DE的长；再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，再利用勾股定理求出AE的长，根据AC=2AE，代入计算求出AC的长.
22．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=6厘米，AD=9厘米，P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以2厘米/秒的速度由点C向点B运动。
（1）几秒时四边形ABQP为平行四边形？
（2）几秒时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
【答案】（1）解：设x秒时四边形ABQP是平行四边形.
根据题意，得6-2x=x，∴x=2，
∴2秒时四边形ABQP为平行四边形。
（2）解：由（1）知，2秒时四边形ABQP为平行四边形.
设y秒时四边形QPDC为平行四边形.
根据题意，得2y=9-y，∴y=3，
故3秒时四边形QPDC为平行四边形.
故2秒或3秒时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1) 设x秒时四边形ABQP是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出BQ=AP，依此建立关于x的方程求解即可；
(2) 设y秒时四边形QPDC为平行四边形，根据CQ=PD建立关于y的方程求解，再结合(1)，即可作答.
23．在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E。
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：DE+DF=AC；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，DE，DF，AC之间的数量关系为 。
（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上时，若AC=6，DE=10，则DF= 。
【答案】（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，
AF=DE.∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠C，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠FDB=∠B，
DF=BF，
DE+DF=AF+BF=AB=AC.
（2）DE+AC= DF
（3）4
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：(2) ∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，
AF=DE，∵DF∥AC，DF=AE，
∵AB=AC，∴∠B=∠C=∠ECD，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B，
∴∠EDC=∠ECD，
EC=ED，
∴DF=AE=AC+CE=DE+AC.
（3）∵DF∥AC，DE∥AB，
四边形AEDF为平行四边形，
又∵AB=AC，∠ABC=∠DBF，
∠BDF=∠DBF=∠ABC=∠C，
BF=DF，∵AB+BF=DE，
AC+DF=DE，
DF=DE-AC=10-6=4.
【分析】(1)先求出四边形AFDE是平行四边形，得出AF=DE，DF∥AC，再根据平行线的性质得出∠FDB=∠B， 结合等腰三角形的性质得出 ∠FDB=∠B， 则可得出DF=BF， 最后根据线段的和差关系即可推出结论；
(2)根据(1)的方法求出AE=FD和DE=CE，最后根据线段的和差关系即可推出结论；
(3)根据(1)的方法求出BF=DF，最后根据线段的和差关系推出DF=DE-AC，最后代值计算即可.
24．（2021九上·大石桥期末）△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，将△ADE绕点A逆时针旋转一周，连接DB，将线段DB绕点D逆时针旋转90°得DF，连接EF．
（1）如图1，当D在AC边上时，线段CD与EF的关系是 ，
（2）如图2，当D在△ABC的内部时，（1）的结论是否成立？说明理由；
（3）当AB＝3，AD＝，∠DAC＝ 45°时，直接写出△DEF的面积．
【答案】（1）CDEF；CD=EF
（2）解：结论成立，理由如下：
连接CE，延长BD交CE于点H，交AC于点G，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠DAB=∠EAC=90°-∠DAC，
∵AB=AC ，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE ，∠DBA=∠ECA，
∵∠BGA+∠DBA=90°，∠BGA=∠CGH ，∠DBA=∠ECA，
∴∠CGH+∠ECA=90°，
∴∠DHE=90°，
由旋转的性质可得∠BDF=90°，BD=FD，
∴DF∥CE，
∵DF=BD，
∴DF∥CE，CD=CE，
∴四边形DCEF是平行四边形
∴CD∥EF，CD=EF；
（3）解：1或2
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）CD∥EF ，CD=EF，理由如下：
如图所示，连接CE，延长BD交CE于H，
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB=AC，AE=AD，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠CDH，
∴∠ACE+∠CDH=90°，
∴∠BHC=90°，
∴∠BHE=90°，
由旋转的性质可得∠BDF=90°，BD=FD，
∴∠BDF=∠BHE=90°，BD=CE，
∴DF∥CE，
∴四边形CDFE是平行四边形，
∴CD∥EF，CD=EF；
（3）如图3所示，当∠DAC=45°时，设AC与DE交于H，
∵∠ADE=90°，
∴∠EAC=∠ADC=45°，
又∵AD=AE，
∴，
∴；
∴，
由（2）可知四边形DFEC是平行四边形，
∴；
如图4所示，当∠DAC=45°时，
∴∠DAC=∠ADE=45°，
∴AC∥DE，
∴，
同理可证四边形CEFD是平行四边形，
∴，
综上所述，△DEF的面积为1或2．
【分析】（1）CD∥EF ，CD=EF，理由：连接CE，延长BD交CE于H，求出BD=CE，DF∥CE，
可证四边形CDFE是平行四边形，可得CD∥EF，CD=EF；
（2） 结论成立，理由：连接CE，延长BD交CE于点H，交AC于点G， 同（1）证法相同；
（3）分两种情况：①当点D在边AC的左侧，②当点D在边AC的右侧，可证四边形CEFD是平行四边形，利用平行四边形的性质分别求解即可.
1 / 1初中数学北师大版八年级下册第六章第二节 平行四边形判定 同步练习
一、单选题
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是（ ）
A．AD=BC B．AB=CD C．AD∥BC D．∠A=∠C
2．点A，B，C，D在同一平面内，有以下条件：①AB∥DC；②AB=DC；③BC∥AD；④BC=AD。从四个条件中任意选取两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有 （ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
3．（2021八下·樊城期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件是（ ）
A．∠B＝∠F B．∠B＝∠BCF C．AC＝CF D．AD＝CF
4．（2021八下·锦江期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等
B．若 则
C．平行四边形对角线相等
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
5．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的有（ ）
①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC；②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC；③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点；④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB。
A．3个 B．4个 C．1个 D．2个
6．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
7．如图所示，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（ ）
A．CE∥FG
B．CE=FG
C．A，B两点之间的距离就是线段AB的长
D．直线a，b之间的距离就是线段CD的长
8．（2021九上·长沙月考）在平面直角坐标系中，已知四边形 各顶点坐标分别是： ，且 ，那么四边形 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2020八下·哈尔滨期中）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果∠B＝50°，则∠D＝ ．
10．（2021·荆州模拟）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两孤交于点D，分别连结AB、AD、CD.则四边形ABCD是平行四边形，其依据是 .
11．在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，∠ABC=70°，则∠BCD= 。
12．如图所示，在 ABCD中，对角线交于点O，点E，F在对角线AC上（不同于点A，C），当点E，F的位置满足 的条件时，四边形DEBF是平行四边形。
13．（2021九上·西安月考）如图，两条宽度为4的矩形纸带交叉摆放，若 ，则重叠部分四边形 的面积为 .
14．（2021·湘西）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 、 ，若 ， ，则 的度数是 .
15．（2021八上·江油开学考）如图，在平面直角坐标系中（以1cm为单位长度），过点（0，5）的直线垂直于y轴，点M（12，5）为直线上一点，若点P从点M出发，以4cm/s的速度沿直线MA向左移动；点Q从原点同时出发，以2cm/s的速度沿x轴向右移动，则当PQ∥y轴时，点P和点Q运动了 s.
16．（2021·栖霞模拟）如图，在 中， ， ， ，点 为直线 上一点，连接 ，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，则点 、 距离的最小值为 .
三、解答题
17．（2021八下·老河口期末）如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，∠BFD＝100°.求∠BED的大小.
18．（2021八下·湖州期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD，E、F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF//BE.求证：四边形ABCD是平行四边形.
19．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF=ED。
求证：∠EAF=∠FCE.
四、综合题
20．如图所示，D是△ABC的边AB上一点，CN//AB，DN交AC于点M，MA=MC.
（1）求证：CD=AN.
（2）若AC⊥DN，∠CAN=30°，MN=1，求四边形ADCN的面积.
21．如图，已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC。
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的长。
22．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=6厘米，AD=9厘米，P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以2厘米/秒的速度由点C向点B运动。
（1）几秒时四边形ABQP为平行四边形？
（2）几秒时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形？
23．在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E。
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：DE+DF=AC；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，DE，DF，AC之间的数量关系为 。
（3）如图3，当点D在边BC的反向延长线上时，若AC=6，DE=10，则DF= 。
24．（2021九上·大石桥期末）△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，将△ADE绕点A逆时针旋转一周，连接DB，将线段DB绕点D逆时针旋转90°得DF，连接EF．
（1）如图1，当D在AC边上时，线段CD与EF的关系是 ，
（2）如图2，当D在△ABC的内部时，（1）的结论是否成立？说明理由；
（3）当AB＝3，AD＝，∠DAC＝ 45°时，直接写出△DEF的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、AB∥CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形， 错误，符合题意；
B、∵ AB∥CD，AB=CD ，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，不符合题意；
C、∵ AB∥CD， AD∥BC ，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，不符合题意；
D、∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，又 ∠A=∠C ，∴∠C+∠D=180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定定理，结合条件，分别判断，即可作答.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：(1) ①AB∥DC，②AB=DC （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
(2) ①AB∥DC ， ③BC∥AD （两组对边分别平行的四边形是平行四边形）；
(3) ②AB=DC ， ④BC=AD （两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；
(4) ③BC∥AD， ④BC=AD （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
综上，共4种.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的判定定理有：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；选择条件作答即可.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点
∴ ，
A：根据∠B＝∠F得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
B：∠B＝∠BCF，∴ ，∴四边形ADFC为平行四边形，选项符合题意；
C：根据AC＝CF得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
D：根据AD＝CF得不出四边形ADFC为平行四边形，选项不符合题意；
故答案为B.
【分析】根据平行四边形的判定“①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形”并结合各选项即可判断求解.
4．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；平行四边形的判定与性质；真命题与假命题；不等式的性质
【解析】【解答】解：A、斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形可以利用AAS证明两三角形全等，原命题是真命题；
B、若a＞b，则-a＜-b，所以2-a＜2-b，原命题是假命题；
C、平行四边形对角线平分，原命题是假命题；
D、一组对边相等且平行的四边形不一定是平行四边形，原命题是假命题；
故答案为：A.
【分析】利用全等三角形的判定定理，可对A作出判断；利用不等式的性质3和2，可对B作出判断；利用平行四边形的性质，可对C作出判断；利用平行四边形的判定定理，可对D作出判断.
5．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，∠ADC=∠ABC
∴∠DCE=∠BAE，
图甲：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，∠DEC=∠AFB=90°，
在△CDE和△ABF中
∴△CDE≌△ABF（AAS）
∴DE=BF，
∵DE∥BF
∴四边形BFDE是平行四边形；
图乙
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠CDE=∠ADC，∠ABE=∠ABC，
∴∠CDE=∠ABF，
在△CDE和△ABF中
∴△CDE≌△ABF（AAS）
∴DE=BF，∠DEC=∠AFB，
∴DE∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
图丙
∵ E是AB的中点，F是CD的中点
∴DF=DC，BE=BA，
∴DC=BE，DC∥BE，
∴四边形BFDE是平行四边形；
图丁
∵EF⊥AB，
∴∠DFE=∠FEB=90°，不能证明△DFE≌△BEF，
∴不能证明DF=BE，
∴四边形BFDE不一定是平行四边形；
∴是平行四边形的有3个.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形的性质可证得DC∥AB，DC=AB，∠ADC=∠ABC，利用平行线的性质可得到∠DCE=∠BAE，利用图甲的条件，可证得DE∥BF，∠DEC=∠AFB=90°；再利用AAS证明△CDE≌△ABF，可推出DE=BF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形BFDE是平行四边形；图乙：利用角平分线的定义去证明∠CDE=∠ABF，利用AAS证明△CDE≌△ABF，利用全等三角形的性质可得到DE=BF，∠DEC=∠AFB，从而可证得DE∥BF，由此可推出四边形BFDE是平行四边形；图丁：利用垂直的定义可证得∠DFE=∠FEB，一边一角对应相等，不能证明△DFE≌△BEF，由此可知四边形BFDE不一定是平行四边形；即可得到答案.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵BD=BE+ED=6，∠CBD=90°，
∴EC=，
∴AE=EC=5，
又BE=ED，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴△CBD的面积=BC·BD=4×6=12，
∴平行四边形ABCD的面积=2△CBD的面积=24.
故答案为：D.
【分析】根据线段的和差关系求出BD，结合∠CBD=90°，先求出△CBD的面积，从而求出平行四边形ABCD的面积.
7．【答案】D
【知识点】平行公理及推论；平行线之间的距离；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵CE⊥b，FG⊥b，∴CE∥FG，正确，不符合题意；
B、∵AB∥CD， CE∥FG，∴四边形FGEC为平行四边形，∴CE=FG，正确，不符合题意；
C、 A，B两点之间的距离就是线段AB的长，正确，不符合题意；
D、∵CD不是a与b之间的垂线段，∴ 直线a，b之间的距离不是是线段CD的长，错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】同垂直于一条直线的两直线平行，依此判断A；先证明四边形FGEC为平行四边形，则可得出CE=FG，从而判断B；连接两点之间的距离为线段的长，依此判断C；两平行线间的垂线段的长度为两平行线之间的距离，依此判断D.
.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，把 向上平移一个单位得： ，作 关于直线 的对称点 连接 ，交直线 于 连接 ，
，
由
四边形 是平行四边形，
所以此时：四边形 的周长最短，
故答案为： A.
【分析】把A（0，-2）向上平移一个单位得A1（0，-1），作A1关于直线x=3的对称点A2（6，-1），连接A2B，交直线x=3于N， 连接A1N，结合已知根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AMNA1是平行四边形，则A1N=AM=A2N，此时四边形AMNB的周长最短，用勾股定理求得AB、A2B的值，则C四边形AMNB=AM+AB+BN+MN=AB+NM+A2B可求解.
9．【答案】50°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的对角相等即可得∠B＝∠D＝50°.
【分析】根据平行四边形的判定和性质定理，即可求解.
10．【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
【分析】根据题意，可得到AD= BC，AB= CD根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得到四边形ABCD是平行四边形.
11．【答案】110°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-70°=110°.
故答案为：110°.
【分析】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，再利用平行线的性质，可求出∠BCD的度数.
12．【答案】AE=CF（答案不唯一）
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解： 当点E，F的位置满足AE=CF的条件时，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∴OA-OE=OC-OF，即OE=OF，
∴四边形DEBF为平行四边形.
故答案为：AE=CF.
【分析】由平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC，然后利用线段的和差关系得出OE=OF，则可判定四边形DEBF为平行四边形.
13．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，作AE⊥BC，AF⊥CD，
由题意，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AE⊥BC，∠ABC=45°，
∴∠AEB=90°，∠BAE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，AB= AE，
由题意，AE=AF=4，
∴AB=4 ，
∴四边形ABCD的面积=AB·AF=16 .
【分析】作AE⊥BC，AF⊥CD，利用有两组对边平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ABCD为平行四边形，结合已知条件，利用勾股定理求出AE的长，根据AB= AE，可求出AB的长；然后利用平行四边形的面积公式可求出四边形ABCD的面积.
14．【答案】40°
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图所示：
∵ ，
由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
故答案为：40°.
【分析】由折叠的性质可得 ，由平行线的性质可得，利用三角形外角的性质可得，证明四边形 是平行四边形，可得.
15．【答案】2
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：设当PQ∥y轴时，点P和点Q运动了t秒，
∵PQ∥y轴，
∴P（12﹣4t，5），Q（2t，0），
∵AP∥OQ，
∴四边形AOQP为平行四边形，
∴AP＝OQ，
∴12﹣4t＝2t，解得t＝2.
即当PQ∥y轴时，点P和点Q运动了2s，
故答案为：2.
【分析】设当PQ∥y轴时，点P和点Q运动了t秒，则P（12-4t，5），Q（2t，0），由平行四边形的性质可得AP＝OQ，据此可得t的值.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；偶次方的非负性
【解析】【解答】解：如图所示，将Rt△PBD绕点B顺时针旋转60°，得到Rt△QBE ，点D的对应点为点E，则∠DBE=∠PBQ=60°，∠BEQ=∠BDP=90°，BE=BD，QE=PD.
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABE=∠ABC+∠DBE=30°+60°=90°.
∴∠ABE+∠BEQ=90°+90°=180°.
∴QE∥AB.
∵AB=AC=3，AD⊥BC，∠ABC=30°，
过点E作EF∥AQ，交AB于点F，则四边形AQEF是平行四边形.
∴AF=QE=PD，FE=AQ.
设PD=AF=x，则BF=3-x.
在 中，
∴当x=3时，EF有最小值，最小值为 .
∵EF=AQ，
∴AQ的最小值为 .
故答案为： .
【分析】将Rt△PBD绕点B顺时针旋转60°，得Rt△QBE ，点D的对应点为点E；则∠DBE=∠PBQ=60°，∠BEQ=∠BDP=90°，BE=BD，QE=PD.证明QE∥AB，利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质可得，由勾股定理求出BD=，得，过点E作EF∥AQ，交AB于点F，则四边形AQEF是平行四边形，可得AF=QE=PD，FE=AQ，设PD=AF=x，则BF=3-x，在 中，，可得，当x=3时，EF有最小值，由EF=AQ可得结论.
17．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BE＝ AB，DF＝ CD，
∴BE＝DF，BE∥DF.
∴四边形DEBF是平行四边形.
∴∠BED＝∠BFD＝100°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】由平行四边形的性质得DC＝AB，DC∥AB，由线段中点定义得BE=DF，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形DEBF是平行四边形，然后由平行四边形的对角相等可求解.
18．【答案】证明：∵AB∥CD
∴∠DCA＝∠BAC
∵DF∥BE ∴∠DFA＝∠BEC
∴∠AEB＝∠DFC
在△AEB和△CFD中
∴△AEB≌△CFD（ASA）
∴AB＝CD
∵AB∥CD
∴四边形ABCD为平行四边形
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】由AB∥CD、DF∥BE，依据两直线平行，内错角相等即可得到∠DCA＝∠BAC、∠AEB＝∠DFC，再结合条件得出AE=CF，根据三角形全等的判定（ASA）即可得出△AEB≌△CFD，利用全等三角形对应边相等即可得到AB＝CD，再结合AB∥CD，即可证明出四边形ABCD为平行四边形.
19．【答案】证明；如图，连结AC，交BD干点O，
四边形ABCD是平行四边形，
OA=OC，OB=OD，
∵BF=ED，即OB+OF=OD+OE，
OF=OE，
OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∠EAF=∠FCE。
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 连结AC，交BD干点O， 根据平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，再根据线段的和差关系求出OF=OE，则可证明四边形AECF是平行四边形，从而得出∠EAF=∠FCE.
20．【答案】（1）证明：∵CN//AB，
在 和 中，
又 四边形ADCN是平行四边形，
（2）解： ，
，
四边形 是平行四边形，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】(1)由平行线的性质得出∠DAM=∠NCM，利用ASA证明△AMD≌△CMN，则可得出AD=CN，结合AD∥CN，证得四边形ADCN是平行四边形，得到CD=AN；
(2) 根据含30°角的直角三角形的性质求出AN长，然后根据勾股定理求AM长，则可计算△AMK的面积，最后根据 计算，即可求出结果.
21．【答案】（1）证明：∵BD垂直平分AC ，
AB=BC，AD= DC
∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，
∠BAD=∠BCD.
又∵∠BCD=∠ADF，
∠BAD=∠ADF，
∴AB∥DF.
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
四边形ABDF是平行四边形。
（2）解：∵四边形ABDF是平行四边形，∴AB=DF，AF=BD.
∵AF=DF=5，∴AB=BD=5
设BE=x，则DE=5-x，
而AB2-BE2=AE2=AD2-DE2，
∴52-x2=62-（5-x）2
解得x=
∴AE==，
∴AC=2AE=.
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的性质可证得AB=BC，AD=DC，利用等边对等角可推出∠BAD=∠BCD；再证明AF∥DF，AF∥BD，由此可证得结论.
（2）利用平行四边形的性质可证得AB=DF，AF=BD，设BE=x，可表示出DE的长；再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，再利用勾股定理求出AE的长，根据AC=2AE，代入计算求出AC的长.
22．【答案】（1）解：设x秒时四边形ABQP是平行四边形.
根据题意，得6-2x=x，∴x=2，
∴2秒时四边形ABQP为平行四边形。
（2）解：由（1）知，2秒时四边形ABQP为平行四边形.
设y秒时四边形QPDC为平行四边形.
根据题意，得2y=9-y，∴y=3，
故3秒时四边形QPDC为平行四边形.
故2秒或3秒时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1) 设x秒时四边形ABQP是平行四边形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出BQ=AP，依此建立关于x的方程求解即可；
(2) 设y秒时四边形QPDC为平行四边形，根据CQ=PD建立关于y的方程求解，再结合(1)，即可作答.
23．【答案】（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，
AF=DE.∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠C，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠FDB=∠B，
DF=BF，
DE+DF=AF+BF=AB=AC.
（2）DE+AC= DF
（3）4
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：(2) ∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形，
AF=DE，∵DF∥AC，DF=AE，
∵AB=AC，∴∠B=∠C=∠ECD，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B，
∴∠EDC=∠ECD，
EC=ED，
∴DF=AE=AC+CE=DE+AC.
（3）∵DF∥AC，DE∥AB，
四边形AEDF为平行四边形，
又∵AB=AC，∠ABC=∠DBF，
∠BDF=∠DBF=∠ABC=∠C，
BF=DF，∵AB+BF=DE，
AC+DF=DE，
DF=DE-AC=10-6=4.
【分析】(1)先求出四边形AFDE是平行四边形，得出AF=DE，DF∥AC，再根据平行线的性质得出∠FDB=∠B， 结合等腰三角形的性质得出 ∠FDB=∠B， 则可得出DF=BF， 最后根据线段的和差关系即可推出结论；
(2)根据(1)的方法求出AE=FD和DE=CE，最后根据线段的和差关系即可推出结论；
(3)根据(1)的方法求出BF=DF，最后根据线段的和差关系推出DF=DE-AC，最后代值计算即可.
24．【答案】（1）CDEF；CD=EF
（2）解：结论成立，理由如下：
连接CE，延长BD交CE于点H，交AC于点G，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠DAB=∠EAC=90°-∠DAC，
∵AB=AC ，AD=AE，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE ，∠DBA=∠ECA，
∵∠BGA+∠DBA=90°，∠BGA=∠CGH ，∠DBA=∠ECA，
∴∠CGH+∠ECA=90°，
∴∠DHE=90°，
由旋转的性质可得∠BDF=90°，BD=FD，
∴DF∥CE，
∵DF=BD，
∴DF∥CE，CD=CE，
∴四边形DCEF是平行四边形
∴CD∥EF，CD=EF；
（3）解：1或2
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（1）CD∥EF ，CD=EF，理由如下：
如图所示，连接CE，延长BD交CE于H，
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴AB=AC，AE=AD，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD+∠ADB=90°，∠ADB=∠CDH，
∴∠ACE+∠CDH=90°，
∴∠BHC=90°，
∴∠BHE=90°，
由旋转的性质可得∠BDF=90°，BD=FD，
∴∠BDF=∠BHE=90°，BD=CE，
∴DF∥CE，
∴四边形CDFE是平行四边形，
∴CD∥EF，CD=EF；
（3）如图3所示，当∠DAC=45°时，设AC与DE交于H，
∵∠ADE=90°，
∴∠EAC=∠ADC=45°，
又∵AD=AE，
∴，
∴；
∴，
由（2）可知四边形DFEC是平行四边形，
∴；
如图4所示，当∠DAC=45°时，
∴∠DAC=∠ADE=45°，
∴AC∥DE，
∴，
同理可证四边形CEFD是平行四边形，
∴，
综上所述，△DEF的面积为1或2．
【分析】（1）CD∥EF ，CD=EF，理由：连接CE，延长BD交CE于H，求出BD=CE，DF∥CE，
可证四边形CDFE是平行四边形，可得CD∥EF，CD=EF；
（2） 结论成立，理由：连接CE，延长BD交CE于点H，交AC于点G， 同（1）证法相同；
（3）分两种情况：①当点D在边AC的左侧，②当点D在边AC的右侧，可证四边形CEFD是平行四边形，利用平行四边形的性质分别求解即可.
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