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第六讲 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( )21教育网
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．8 cm
答案 C
解析 ∵铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，
∴铜质的五棱柱的体积V＝16×4＝64(cm3)，
设熔化后铸成一个正方体的铜块的棱长为a cm，
则a3＝64，解得a＝4 cm，故选C.
2.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 V＝Sh＝××3＝.
3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( )
A．2π B．4π
C．8π D．16π
答案 B
解析 体积最大的球是其内切球，即球的半径为1，所以表面积为S＝4π×12＝4π.
4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．21cnjy.com
答案 3∶1∶2
解析 设球的半径为R，则V柱＝πR2·2R＝ ( http: / / www.21cnjy.com )2πR3，V锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，故V柱∶V锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2.21·cn·jy·com
5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
答案 3π
解析 由三视图可知，该几何体是一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即×4π＋π＝3π.www.21-cn-jy.com
1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
V柱体＝ShV台体＝h(S＋＋S′)V锥体＝Sh.
2．在三棱锥A－BCD中，若求点A到平面B ( http: / / www.21cnjy.com )CD的距离h，可以先求VA－BCD，h＝.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用换顶点法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求．【来源：21·世纪·教育·网】
3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．
4．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．
5．解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．2-1-c-n-j-y
课时作业
一、选择题
1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．π B．2π C．4π D．8π
答案 B
解析 设圆柱母线长为l，底面半径为r，
由题意得解得
∴V圆柱＝πr2l＝2π.
2．如图，在正方体中，四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的( )
A. B. C. D．不确定
答案 B
解析 由于四棱锥S－ABCD的高 ( http: / / www.21cnjy.com )与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的，故选B.21*cnjy*com
3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A.π＋12 B.π＋18
C．9π＋42 D．36π＋18
答案 B
解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝π()3＋3×3×2＝π＋18.
4．如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵VC－A′B′C′＝VABC－A′B′C′＝，
∴VC－AA′B′B＝1－＝.
5．一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
答案 C
解析 如图，根据题意，
|OO1|＝4 cm，|O1A|＝3 cm，
∴|OA|＝R＝＝5(cm)，
故球的体积V＝πR3＝(cm3)．故选C.
6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm，那么该棱柱的表面积为( )2·1·c·n·j·y
A．(2＋4) cm2 B．(4＋8) cm2
C．(8＋16) cm2 D．(16＋32) cm2
答案 C
解析 ∵一个正四棱柱的各个顶 ( http: / / www.21cnjy.com )点都在一个半径为2 cm的球面上，正四棱柱的底面边长为2 cm，球的直径为正四棱柱的体对角线，∴正四棱柱的体对角线为4，正四棱柱的底面对角线长为2，∴正四棱柱的高为＝2，∴该棱柱的表面积为2×22＋4×2×2＝8＋16，故选C.www-2-1-cnjy-com
7.如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A.π B.π C.π D．2π
答案 C
解析 由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，
该几何体的体积为π×12×2－×π×12×1＝π.
8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为( )
A．45π B．27π C．36π D．54π
答案 D
解析 因为球的表面积为36π，所以球的半径为3，
因为该球外切于圆柱，所以圆柱的底面半径为3，高为6，
所以圆柱的表面积S＝2π×32＋2π×3×6＝54π.
二、填空题
9．如图，三棱柱A1B1 ( http: / / www.21cnjy.com )C1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A－FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．【出处：21教育名师】
答案
解析 设三棱柱的高为h，
∵F是AA1的中点，则三棱锥F－ADE的高为，
∵D，E分别是AB，AC的中点，∴S△ADE＝S△ABC，
∵V1＝S△ADE·，V2＝S△ABC·h，
∴＝＝.
10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 cm，则该圆锥的体积为___ cm3.
答案
解析 ∵圆锥的侧面展开图的弧长为2π cm， ( http: / / www.21cnjy.com )半径为 cm，故圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 cm，则圆锥的底面半径为1，高为1，则圆锥的体积V＝·π·12·1＝.【版权所有：21教育】
11．已知某几何体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．21教育名师原创作品
答案 ＋
解析 由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥，下方是半球，∴V＝×(×1×1)×1＋[π()3]×＝＋.21*cnjy*com
12．若一个四面体的四个面中，有两个面都 ( http: / / www.21cnjy.com )是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________．
答案 3π
解析 满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V－ABC，
所以VA＝AB＝BC＝1，VB＝AC＝，
其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R＝，
所以该四面体外接球的表面积为4π×()2＝3π.
三、解答题
13．如图所示，半径为R的半圆内 ( http: / / www.21cnjy.com )的阴影部分是以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC＝30°)21世纪教育网版权所有
解 过C作CO1⊥AB于点O1，由已知得∠BCA＝90°，
∵∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R.
∴S球＝4πR2，＝π×R×R＝πR2，
＝π×R×R＝πR2，
∴
＝4πR2＋πR2＋πR2＝πR2.
又∵V球＝πR3，
＝·AO1·π·CO＝πR2·AO1，
＝·BO1·π·CO＝πR2·BO1，
∴V几何体＝V球－＝πR3.
四、探究与拓展
14．圆柱形容器内盛有高度为6 cm的水， ( http: / / www.21cnjy.com )若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )21·世纪*教育网
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
答案 C
解析 设球半径为r，则由3V球＋V水＝V柱，可得
3×πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3.
15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．
(1)画出这个几何体(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
解 (1)这个几何体如图所示．
(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．
由PA1＝PD1＝ cm，A1D1＝AD＝2 cm，
可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×＋2××()2＝22＋4(cm2)，
所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．
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第六讲 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积
1．已知一个铜质的五棱柱的底面积为16 cm2，高为4 cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块(不计损耗)，那么铸成的铜块的棱长是( )21教育网
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．8 cm
2.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为( )
A. B.
C. D.
3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为( )
A．2π B．4π
C．8π D．16π
4．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．www.21-cn-jy.com
5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．
课时作业
一、选择题
1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．π B．2π C．4π D．8π
2．如图，在正方体中，四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的( )
A. B. C. D．不确定
3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A.π＋12 B.π＋18
C．9π＋42 D．36π＋18
答案 B
解析 由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝π()3＋3×3×2＝π＋18.
4．如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是( )
A. B.
C. D.
5．一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4 cm，则该球的体积是( )
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
6．一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为2 cm，那么该棱柱的表面积为( )21cnjy.com
A．(2＋4) cm2 B．(4＋8) cm2
C．(8＋16) cm2 D．(16＋32) cm2
7.如图，在梯形ABCD中，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )21·cn·jy·com
A.π B.π C.π D．2π
8．一个表面积为36π的球外切于一圆柱，则圆柱的表面积为( )
A．45π B．27π C．36π D．54π
二、填空题
9．如图，三棱柱A1B1C ( http: / / www.21cnjy.com )1－ABC中，已知D，E，F分别为AB，AC，AA1的中点，设三棱锥A－FED的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2的值为________．【来源：21·世纪·教育·网】
10．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 cm，则该圆锥的体积为___ cm3.
11．已知某几何体的三视图如图所示， ( http: / / www.21cnjy.com )其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为________．21·世纪*教育网
12．若一个四面体的四个面中，有两 ( http: / / www.21cnjy.com )个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为________．www-2-1-cnjy-com
三、解答题
13．如图所示，半径为R的半圆内的 ( http: / / www.21cnjy.com )阴影部分是以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到的一几何体，求该几何体的表面积和体积．(其中∠BAC＝30°)2·1·c·n·j·y
四、探究与拓展
14．圆柱形容器内盛有高度为 ( http: / / www.21cnjy.com )6 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，如图所示．则球的半径是( )21世纪教育网版权所有
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D．4 cm
15．如图所示，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．
(1)画出这个几何体(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积及体积．
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