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第一讲 点、直线、平面之间的关系
一、选择题
1．给出下列说法：
①梯形的四个顶点共面；
②三条平行直线共面；
③有三个公共点的两个平面重合；
④三条直线两两相交，可以确定3个平面．
其中正确的序号是( )
A．① B．①④
C．②③ D．③④
【解析】 因为梯形有两边平行，所以梯形确定一 ( http: / / www.21cnjy.com )个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．
【答案】 A
2．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
【解析】 选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．
【答案】 C
3．经过空间任意三点作平面( )
A．只有一个 B．可作两个
C．可作无数多个 D．只有一个或有无数多个
【解析】 若三点不共线，只可以作一个平面；若三点共线，则可以作出无数多个平面，选D.
【答案】 D
4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线
B．必有三点不共线
C．至少有三点共线
D．不可能有三点共线
【解析】 如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线．
(1) (2)
【答案】 B
5．如图2 1 7，平面α∩平面β＝l，A、 ( http: / / www.21cnjy.com )B∈α，C∈β，C l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过( ) 21教育网
图2 1 7
A．点A
B．点B
C．点C，但不过点D
D．点C和点D
【解析】 根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．如图2 1 8，在正方体ABCD A1B1C1D1中，试根据图形填空：
图2 1 8
(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________；
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；
(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________．
【答案】 (1)A1B1 (2)AC (3)OO1 (4)B1
7．已知A∈α，B α，若A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有__________个公共点．
【答案】 1 [若l与α有两个不同的公共点，则由公理1知l α，又B∈l，所以B∈α与B α矛盾，所以l与α有且仅有一个公共点A.]21cnjy.com
三、解答题
8．如图2 1 9所示，在空间四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上. 21·cn·jy·com
图2 1 9
【证明】 ∵EF∩GH＝P，
∴P∈EF且P∈GH.
又∵EF 平面ABD，GH 平面CBD，
∴P∈平面ABD，且P∈平面CBD，
∴P∈平面ABD∩平面CBD，
∵平面ABD∩平面CBD＝BD，由公理3可得P∈BD.
∴点P在直线BD上．
9．求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
【解】 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
证明：法一 ∵l1∩l2＝A，
∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，
∴l3 α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内．
法二 ∵l1∩l2＝A，
∴l1、l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，
∴l2、l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．
[能力提升]
10．下列说法中正确的是( )
A．空间不同的三点确定一个平面
B．空间两两相交的三条直线确定一个平面
C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
【解析】 经过同一直线上的三点有无数个平面， ( http: / / www.21cnjy.com )故选项A不正确；当两两相交的三条直线相交于一点时，可能确定三个平面，故选项B不正确；有三个角为直角的四边形不一定是平面图形，如在正方体ABCD A1B1C1D1中，四边形ACC1D1中∠ACC1＝∠CC1D1＝∠C1D1A＝90°，但四边形ACC1D1不是平面图形，故选项C不正确；和同一直线相交的三条平行直线一定共面，故选D.21世纪教育网版权所有
【答案】 D
11．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，E，F四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
【证明】 如图，(1)∵EF是△D1B1C1的中位线，
∴EF∥B1D1.
在正方体AC1中，
B1D1∥BD，
∴EF∥BD.
∴EF、BD确定一个平面，
即D，B，E，F四点共面．
(2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.
则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，
∴α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.
∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.
故P，Q，R三点共线．
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第一讲 点、直线、平面之间的关系
一、选择题
1．给出下列说法：
①梯形的四个顶点共面；
②三条平行直线共面；
③有三个公共点的两个平面重合；
④三条直线两两相交，可以确定3个平面．
其中正确的序号是( )
A．① B．①④
C．②③ D．③④
2．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
3．经过空间任意三点作平面( )
A．只有一个 B．可作两个
C．可作无数多个 D．只有一个或有无数多个
4．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线
B．必有三点不共线
C．至少有三点共线
D．不可能有三点共线
5．如图2 1 7，平面α ( http: / / www.21cnjy.com )∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，C l，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过( ) 21世纪教育网版权所有
图2 1 7
A．点A
B．点B
C．点C，但不过点D
D．点C和点D
二、填空题
6．如图2 1 8，在正方体ABCD A1B1C1D1中，试根据图形填空：
图2 1 8
(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________；
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；
(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________．
7．已知A∈α，B α，若A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有__________个公共点．
三、解答题
8．如图2 1 9所示，在空间四边形各边 ( http: / / www.21cnjy.com )AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH交于一点P，求证：点P在直线BD上. 21教育网
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9．求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
[能力提升]
10．下列说法中正确的是( )
A．空间不同的三点确定一个平面
B．空间两两相交的三条直线确定一个平面
C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内
11．已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，E，F四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
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