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第二讲 空间中直线与直线之间的位置关系
1．空间两条互相平行的直线指的是( )
A．在空间没有公共点的两条直线
B．分别在两个平面内的两条直线
C．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
答案 D
解析 由平行直线的定义可得．
2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为( )
A．130° B．50°
C．130°或50° D．不能确定
答案 C
解析 根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.
3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定异面 D．相交或异面
答案 D
解析 画出图形，得到结论．
如图(1)，分别与异面直线a，b平行的两条 ( http: / / www.21cnjy.com )直线c和d是相交关系．如图(2)，分别与异面直线a，b平行的两条直线c和d是异面关系．综上可知，应选D.21世纪教育网版权所有
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
答案 (1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
解析 (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．
5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
解 (1)如图所示，连接AC，AB1.
由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，
∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．
在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，
可知∠B1CA＝60°，
即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)如图所示，连接BD.
由(1)知AC∥A1C1，
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．
∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，
即A1C1与EF所成的角为90°.
1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．www.21-cn-jy.com
2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条 ( http: / / www.21cnjy.com )异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．2·1·c·n·j·y
作异面直线所成的角．可通过多种方法平移 ( http: / / www.21cnjy.com )产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．
课时作业
一、选择题
1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行
B．异面或相交
C．异面
D．相交、平行或异面
答案 D
解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a、b异面，直线c的位置可如图所示．
2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )
A．全等 B．不相似
C．仅有一个角相等 D．相似
答案 D
解析 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.
3．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )
A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行
答案 C
解析 若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，故选C.
4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
答案 B
解析 如图，易证四边形EFGH为平行四边形．
又∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC.
又FG∥BD，
∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，
∴∠EFG＝90°，
故四边形EFGH为矩形．
5．如图是无盖正方体纸盒的平面展开图，则直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )
A．平行 B．相交且垂直
C．异面 D．相交成60°角
答案 D
解析 如图，连接AC，得正三角形ABC，∴AB，CD在原正方体中相交成60°角．
6.如图所示，已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定正确的是( )21教育网
A．l与AD平行
B．l与AB异面
C．l与CD所成角为30°
D．l与BD垂直
答案 B
解析 由l与AB既不平行也不相交，故l与AB一定互为异面直线．
7．下列四个结论中假命题的个数是( )
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．
④如图甲，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；
当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．
8．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 如图，连接BC1，A1C1.
∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．
在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，
∴∠A1BC1＝60°.
故异面直线A1B与AD1所成的角为60°.
9.如图，在三棱锥D—ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )21cnjy.com
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 B
解析 如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.
∵E，F分别是为CD，AB的中点，
∴FG∥AC，EG∥BD，
且FG＝AC，EG＝BD.
又∵AC＝BD，∴FG＝EG，
∴∠EFG为EF与AC所成的角或其补角．
∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，
∴△EFG为等腰直角三角形，
∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.
二、填空题
10．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有______对．
答案 3
解析 PA与BC，PB与AC，PC与AB互为异面直线．∴共3对．
11．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．21·cn·jy·com
答案 ②④
解析 (1)中HG∥MN，(3)中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．
12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)AC与DD1所成的角为________；
(2)AC与D1C1所成的角为________．
答案 (1)90° (2)45°
解析 (1)DD1和AC是异面直线，因 ( http: / / www.21cnjy.com )为AA1∥DD1，所以∠A1AC为DD1和AC所成的角．因为AA1⊥AC，所以∠A1AC＝90°，所以DD1和AC所成的角是90°.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)因为DC∥D1C1，所以∠ACD是AC和D1C1所成的角．又∠ACD＝45°，所以AC和D1C1所成的角是45°.
三、解答题
13．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，求AD与BC所成角的大小．21·世纪*教育网
解 如图，取BD的中点G，连接GE，GF.
因为BE＝EA，BG＝GD，
所以GE∥AD，GE＝AD＝1.
因为DF＝FC，DG＝GB，
所以GF∥BC，GF＝BC＝1.
所以∠EGF(或其补角)是异面直线AD与BC所成的角．
在△GEF中，GE＝1，GF＝1，EF＝(如图)，
取EF的中点O，连接GO，
则GO⊥EF，EO＝EF＝.
所以sin∠EGO＝＝，所以∠EGO＝60°，所以∠EGF＝2∠EGO＝120°，
所以异面直线AD与BC所成的角是180°－120°＝60°.
四、探究与拓展
14．在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )
A．30° B．45° C．90° D．60°
答案 D
解析 连接AD1，D1C，B ( http: / / www.21cnjy.com )C1.因为M，N分别为BC和CC1的中点，所以C1B∥MN，又C1B∥AD1，所以AD1∥MN，所以∠D1AC即为异面直线AC和MN所成的角．又△D1AC是等边三角形，所以∠D1AC＝60°，即异面直线AC和MN所成的角为60°.www-2-1-cnjy-com
15.如图所示，四边形ABE ( http: / / www.21cnjy.com )F和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．2-1-c-n-j-y
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)判断C、D、F、E四点是否共面？为什么？
(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解 由BE綊AF，G为FA的中点知，BE綊FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．
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第二讲 空间中直线与直线之间的位置关系
1．空间两条互相平行的直线指的是( )
A．在空间没有公共点的两条直线
B．分别在两个平面内的两条直线
C．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D．在同一平面内且没有公共点的两条直线
2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为( )
A．130° B．50°
C．130°或50° D．不能确定
3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定异面 D．相交或异面
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
课时作业
一、选择题
1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行
B．异面或相交
C．异面
D．相交、平行或异面
2．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )
A．全等 B．不相似
C．仅有一个角相等 D．相似
3．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )
A．与a，b都相交
B．只能与a，b中的一条相交
C．至少与a，b中的一条相交
D．与a，b都平行
4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．如图是无盖正方体纸盒的平面展开图，则直线AB，CD在原正方体中的位置关系是( )
A．平行 B．相交且垂直
C．异面 D．相交成60°角
6.如图所示，已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定正确的是( )21世纪教育网版权所有
A．l与AD平行
B．l与AB异面
C．l与CD所成角为30°
D．l与BD垂直
7．下列四个结论中假命题的个数是( )
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
9.如图，在三棱锥D—ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )21教育网
A．30° B．45°
C．60° D．90°
二、填空题
10．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有______对．
11．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．21·cn·jy·com
12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)AC与DD1所成的角为________；
(2)AC与D1C1所成的角为________．
三、解答题
13．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，求AD与BC所成角的大小．21cnjy.com
四、探究与拓展
14．在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )
A．30° B．45° C．90° D．60°
15.如图所示，四边形ABEF ( http: / / www.21cnjy.com )和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．www.21-cn-jy.com
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)判断C、D、F、E四点是否共面？为什么？
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