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第二讲 空间中直线与直线之间的位置关系
一、选择题
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定是异面直线 D．一定垂直
2．a、b为异面直线是指
①a∩b＝ ，且a不平行于b；②a 平面 ( http: / / www.21cnjy.com )α，b 平面α，且a∩b＝ ；③a 平面α，b 平面β，且α∩β＝ ；④不存在平面α能使a α，且b α成立．( )21世纪教育网版权所有
A．①②③ B．①③④
C．②③ D．①④
3．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( ) www.21-cn-jy.com
4．如图2 1 18所示 ( http: / / www.21cnjy.com )，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、B1B、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )2·1·c·n·j·y
图2 1 18
A．45° B．60°
C．90° D．120°
5．如图2 1 19，三棱柱ABC A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )21cnjy.com
图2 1 19
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
二、填空题
6．如图2 1 20所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
图2 1 20
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．
7．如图2 1 21，在三棱锥A BCD中， ( http: / / www.21cnjy.com )E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________. 21·cn·jy·com
图2 1 21
三、解答题
8．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
9．如图2 1 22所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1 ABCD的棱A1A，C1C的中点．
图2 1 22
求证：四边形B1EDF是平行四边形．
[能力提升]
10．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3 l1⊥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面
11．在四面体A BCD中，E、F分别是AB、CD的中点．若BD、AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．21教育网
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第二讲 空间中直线与直线之间的位置关系
一、选择题
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定是异面直线 D．一定垂直
【答案】 D [因为a⊥b，b∥c，则a⊥c，故选D.]
2．a、b为异面直线是指
①a∩b＝ ，且a不平行于b；②a ( http: / / www.21cnjy.com )平面α，b 平面α，且a∩b＝ ；③a 平面α，b 平面β，且α∩β＝ ；④不存在平面α能使a α，且b α成立．( )21世纪教育网版权所有
A．①②③ B．①③④
C．②③ D．①④
【解析】 ②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．
【答案】 D
3．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( ) 21cnjy.com
【解析】 易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．
【答案】 C
4．如图2 1 18所示，在正方体 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、B1B、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于( )21·cn·jy·com
图2 1 18
A．45° B．60°
C．90° D．120°
【解析】 连接A1B，BC1(图略)，因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点，A1B∥EF，BC1∥GH.www.21-cn-jy.com
∴A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，
连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°.
【答案】 B
5．如图2 1 19，三棱柱ABC A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )【来源：21·世纪·教育·网】
图2 1 19
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
【解析】 由于CC1与B1E都在平面C1B1 ( http: / / www.21cnjy.com )BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．21·世纪*教育网
【答案】 C
二、填空题
6．如图2 1 20所示，正方体ABCD A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
图2 1 20
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．
【解析】 由异面直线的定义知③④正确．
【答案】 ③④
7．如图2 1 21，在三棱 ( http: / / www.21cnjy.com )锥A BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________. 2·1·c·n·j·y
图2 1 21
【解析】 依题意知，EG∥BD，EF∥ ( http: / / www.21cnjy.com )AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.2-1-c-n-j-y
【答案】 60°
三、解答题
8．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．
【解】 如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，
则OG∥B1D，
EF∥A1C1，
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
9．如图2 1 22所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1 ABCD的棱A1A，C1C的中点．
图2 1 22
求证：四边形B1EDF是平行四边形．
【证明】 设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，∴EQ綊A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綊B1C1，
∴EQ綊B1C1(平行公理)．
∴四边形EQC1B1为平行四边形．
∴B1E綊C1Q.
又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，
∴QD綊C1F.
∴四边形QDFC1为平行四边形．
∴C1Q綊DF.∴B1E綊DF.
∴四边形B1EDF为平行四边形．
[能力提升]
10．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3 l1⊥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点 l1，l2，l3共面
【答案】 B [A选项，l1⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )l2，l2⊥l3，则l1与l3的位置关系可能是相交、平行或异面；B选项正确；C选项，l1∥l2∥l3，则l1、l2、l3既可能共面，也可能不共面；D选项，如长方体共顶点的三条棱为l1、l2、l3，但这三条直线不共面．]21教育网
11．在四面体A BCD中，E、F分别是AB、CD的中点．若BD、AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．www-2-1-cnjy-com
【解】 如图，取BC中点O，连接OE、OF，
∵OE∥AC，OF∥BD，
∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC、BD所成的角为60°.
∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.
当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝.
当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，
EF＝2EM＝2×＝.
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