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第六讲 直线与平面平行的性质
1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( )
A．0条 B．1条
C．0条或1条 D．无数条
3．如图，在长方体ABCD－A1B ( http: / / www.21cnjy.com )1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是( )21世纪教育网版权所有
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
4.如图所示，直线a∥平面α ( http: / / www.21cnjy.com )，A α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝______.21教育网
5.如图，AB是圆O的直径 ( http: / / www.21cnjy.com )，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
课时作业
一、选择题
1．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
2．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在α内
3．过平面α外的直线l作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交但不一定交于同一点
C．都相交且一定交于同一点
D．都平行或都交于同一点
4．如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
A．MN∥PD
B．MN∥PA
C．MN∥AD
D．以上均有可能
5．已知正方体AC1的棱长为1 ( http: / / www.21cnjy.com )，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为( )www.21-cn-jy.com
A．1 B. C. D.
6．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )2·1·c·n·j·y
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
7.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )【来源：21·世纪·教育·网】
A．2＋ B．3＋
C．3＋2 D．2＋2
二、填空题
8.如图所示，ABCD—A1B1C1D ( http: / / www.21cnjy.com )1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
9.如图所示，在空间四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝______.21cnjy.com
10.如图，已知A，B，C， ( http: / / www.21cnjy.com )D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______．www-2-1-cnjy-com
11．如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为________．
三、解答题
12.如图，已知E，F分别是 ( http: / / www.21cnjy.com )菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．21·cn·jy·com
13．如图所示，已知正三棱柱ABC－ ( http: / / www.21cnjy.com )A′B′C′中，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明．21·世纪*教育网
四、探究与拓展
14.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，在下列命题中，错误的为( )
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
15．如图①所示，在直角梯形ABCP中，A ( http: / / www.21cnjy.com )P∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P－ABCD，如图②所示．
求证：在四棱锥P－ABCD中，AP∥平面EFG.
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第六讲 直线与平面平行的性质
1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A．平行 B．平行或异面
C．平行或相交 D．异面或相交
答案 B
解析 ∵ CD∥α，
∴直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面．
2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( )
A．0条 B．1条
C．0条或1条 D．无数条
答案 C
解析 过直线a与交点作平面β，设平面β与α交 ( http: / / www.21cnjy.com )于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．21*cnjy*com
3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1 ( http: / / www.21cnjy.com )中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是( )【版权所有：21教育】
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
答案 A
解析 由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF 平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.
又∵EF∥AB，∴GH∥AB.
4.如图所示，直线a∥平面α，A α，并且a ( http: / / www.21cnjy.com )和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝______.2-1-c-n-j-y
答案
解析 由于点A不在直线a上，则直线a和点A确定一个平面β，所以α∩β＝EF.
因为a∥平面α，a 平面β，所以EF∥a.
所以＝.
所以EF＝＝＝.
5.如图，AB是圆O的直径 ，点C是圆 ( http: / / www.21cnjy.com )O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
解 直线l∥平面PAC.
证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，
所以EF∥AC.
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，
所以EF∥l.
因为l 平面PAC，EF 平面PAC，
所以l∥平面PAC.
1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
2．要灵活应用线线平行、线 ( http: / / www.21cnjy.com )面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．21·cn·jy·com
课时作业
一、选择题
1．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则( )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
答案 B
解析 因为GH∥平面SCD，GH 平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.21世纪教育网版权所有
2．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在α内
答案 C
解析 由线面平行性质定理知过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故选C.
3．过平面α外的直线l作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )
A．都平行
B．都相交但不一定交于同一点
C．都相交且一定交于同一点
D．都平行或都交于同一点
答案 D
解析 分l∥α和l与α相交两种情况作答，对应的结果是都平行或都交于同一点．
4．如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则( )
A．MN∥PD
B．MN∥PA
C．MN∥AD
D．以上均有可能
答案 B
5．已知正方体AC1的棱 ( http: / / www.21cnjy.com )长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为( )【来源：21cnj*y.co*m】
A．1 B. C. D.
答案 C
解析 如图，连接AD1，AB1，∵PQ∥平面AA1B1B，
平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，
PQ 平面AB1D1，∴PQ∥AB1，
∴PQ＝AB1＝＝.
6．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是( )2·1·c·n·j·y
A．E，F，G，H一定是各边的中点
B．G，H一定是CD，DA的中点
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
答案 D
解析 由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
7.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )21cnjy.com
A．2＋ B．3＋
C．3＋2 D．2＋2
答案 C
解析 ∵CD∥AB，CD 平面SAB，
∴CD∥平面SAB.
又平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF，
又CD∥AB，∴AB∥EF.
∵SE＝EA，∴EF为△ABS的中位线，
∴EF＝AB＝1，
又DE＝CF＝，
∴四边形DEFC的周长为3＋2.
二、填空题
8.如图所示，ABCD—A1B1C1D1 ( http: / / www.21cnjy.com )是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
答案 a
解析 ∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，
∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，
故PQ＝＝DP＝.
9.如图所示，在空间四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB＝______.www.21-cn-jy.com
答案 m∶n
解析 ∵AC∥平面EFGH，
∴EF∥AC，GH∥AC，
∴EF＝HG＝m·，
同理EH＝FG＝n·.
∵四边形EFGH是菱形，
∴m·＝n·，
∴AE∶EB＝m∶n.
10.如图，已知A，B， ( http: / / www.21cnjy.com )C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______．【来源：21·世纪·教育·网】
答案 平行四边形
解析 ∵AB∥α，平面A ( http: / / www.21cnjy.com )BC∩α＝EG，∴EG∥AB.同理FH∥AB，∴EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，∴GH∥CD.同理EF∥CD，∴GH∥EF，∴四边形EFHG是平行四边形．21·世纪*教育网
11．如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为________．
答案 4＋6
解析 由EF∥平面BCC1B1可 ( http: / / www.21cnjy.com )知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋6.www-2-1-cnjy-com
三、解答题
12.如图，已知E，F分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．【出处：21教育名师】
解 如图，连接BD交AC于点O1，连接OM.
因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，
所以PC∥OM，所以＝.
在菱形ABCD中，
因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以＝.
又AO1＝CO1，所以＝＝，
故PM∶MA＝1∶3.
13．如图所示，已知正三棱柱 ( http: / / www.21cnjy.com )ABC－A′B′C′中，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明．21教育网
解 点D为AA′的中点．证明如下：
取BC的中点F，连接AF，EF，如图．
设EF与BC′交于点O，易证A′E∥AF，A′E＝AF，易知A′，E，F，A共面于平面A′EFA.
因为A′E∥平面DBC′，A′E 平面A′EFA，且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO，所以A′E∥DO.
在平行四边形A′EFA中，
因为O是EF的中点(因为EC′∥BF，且EC′＝BF)，
所以点D为AA′的中点．
四、探究与拓展
14.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，在下列命题中，错误的为( )
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
答案 C
解析 由题意知PQ∥AC，QM∥ ( http: / / www.21cnjy.com )BD，PQ⊥QM，则AC⊥BD，故A正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确；C是错误的，故选C.
15．如图①所示，在直角梯形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P－ABCD，如图②所示．
求证：在四棱锥P－ABCD中，AP∥平面EFG.
证明 在四棱锥P－ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.
∵AB∥CD，∴EF∥AB.
∵EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
同理EG∥平面PAB.
又EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面PAB.
∵AP 平面PAB，∴AP∥平面EFG.
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