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第七讲 直线与平面垂直的判定
一、选择题
1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
【解析】 由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．
【答案】 D
2．如图2 3 6，三棱锥P ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是( )
图2 3 6
A．∠BPA
B．∠PBA
C．∠PBC
D．以上都不对
【解析】 由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，
得PA⊥平面ABC，
所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B.
【答案】 B
3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．至多一个
C．有一个或无数个 D．不存在
【解析】 若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．
【答案】 B
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1∥DD1，
∴DD1与平面ACD1所成的角就是 ( http: / / www.21cnjy.com )BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝，D1O＝，21世纪教育网版权所有
∴cos ∠DD1O＝＝＝.
∴BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为.
【答案】 D
5．正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )21教育网
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
【答案】 A [如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于B1C上．]
二、填空题
6．如图2 3 7，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________.
图2 3 7
【解析】 ∵EA⊥α，CD α，
根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.
同样，∵EB⊥β，CD β，则有EB⊥CD.
又EA∩EB＝E，
∴CD⊥平面AEB.
又∵AB 平面AEB，∴CD⊥AB.
【答案】 CD⊥AB
7．如图2 3 8所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．
图2 3 8
【解析】
BC⊥平面PAC BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.
【答案】 4
三、解答题
8．如图2 3 9，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.
图2 3 9
【证明】 ∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE.
又AE 平面ABE，∴AE⊥BC.
∵BF⊥平面ACE，AE 平面ACE，∴AE⊥BF.
又∵BF 平面BCE，BC 平面BCE，BF∩BC＝B，
∴AE⊥平面BCE.
又BE 平面BCE，∴AE⊥BE.
9．如图2 3 10所示，三棱锥A SBC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．21cnjy.com
图2 3 10
【解】 因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.
如图所示，取BC的中点D，
连接AD，SD，则AD⊥BC.
设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝a，CD＝SD＝a.
在Rt△ADC中，AD＝＝a.
则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.
又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.
因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．
在Rt△ASD中，SD＝AD＝a，
所以∠ASD＝45°，
即直线AS与平面SBC所成的角为45°.
[能力提升]
10．如图2 3 11，四棱锥S ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．21·cn·jy·com
图2 3 11
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
【解析】 因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.
因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，
所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．
因为AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD，
所以AB∥平面SCD，故②正确．
因为AD是SA在平面ABCD内的射影，
所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确．
因为AB∥CD，
所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，
故④正确．
【答案】 4
11．如图2 3 12，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.
图2 3 12
(1)求证：AB1⊥平面A1BC1.
(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．
【解】 (1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，
∴AB1⊥BA1.
由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.
又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，
∴A1C1⊥平面AA1B1B，
又∵AB1 平面AA1B1B，
∴A1C1⊥AB1.
又∵BA1∩A1C1＝A1，
∴AB1⊥平面A1BC1.
(2)连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1，
∵AA1⊥平面A1B1C1，
∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．
在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，
∴A1D＝×B1C1＝.
在Rt△A1DA中，
AD＝＝.
∴sin ∠A1DA＝＝，
即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
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第七讲 直线与平面垂直的判定
一、选择题
1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
2．如图2 3 6，三棱锥P ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是( )
图2 3 6
A．∠BPA
B．∠PBA
C．∠PBC
D．以上都不对
3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．至多一个
C．有一个或无数个 D．不存在
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
5．正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )21世纪教育网版权所有
A．线段B1C
B．线段BC1
C．BB1中点与CC1中点连成的线段
D．BC中点与B1C1中点连成的线段
二、填空题
6．如图2 3 7，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________.
图2 3 7
7．如图2 3 8所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．
图2 3 8
三、解答题
8．如图2 3 9，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.
图2 3 9
9．如图2 3 10所示，三棱锥A SBC ( http: / / www.21cnjy.com )中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．21教育网
图2 3 10
[能力提升]
10．如图2 3 11，四棱锥S ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．21cnjy.com
图2 3 11
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
11．如图2 3 12，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.
图2 3 12
(1)求证：AB1⊥平面A1BC1.
(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．
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