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第七讲 直线与平面垂直的判定
1．下面叙述中：
①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；
②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；
③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；
④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
4．如图，在四棱锥P－A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.21世纪教育网版权所有
课时作业
一、选择题
1．下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；
④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.
A．4 B．2 C．3 D．1
2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
A．①③ B．② C．②④ D．①②④
3．如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系是( )
A．l α B．l⊥α
C．l∥α D．l α或l∥α
4．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
5．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行
B．垂直相交
C．垂直但不相交
D．相交但不垂直
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D
D．异面直线AD与CB1所成的角为45°
7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )21教育网
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
二、填空题
9．在直三棱柱ABC—A ( http: / / www.21cnjy.com )1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)21cnjy.com
10．如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙ ( http: / / www.21cnjy.com )O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________．21·cn·jy·com
11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.2·1·c·n·j·y
三、解答题
12．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AD＝2，PA＝2，PD＝2，求证：AD⊥平面PAB.www.21-cn-jy.com
13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.
(1)求证：AC⊥B1D；
(2)求三棱锥C－BDB1的体积．
四、探究与拓展
14．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
15.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.
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第七讲 直线与平面垂直的判定
1．下面叙述中：
①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；
②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；
③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；
④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 B
解析 ①中若两条直线为平行直线 ( http: / / www.21cnjy.com )，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；②由定义知正确；③中直线与梯形的两腰所在直线垂直，则与梯形所在平面垂直，由定义知也与两底边所在直线垂直，所以正确；④中直线与梯形两底边所在直线垂直，则不一定与梯形所在平面垂直，故不一定与两腰所在直线垂直，不正确．故选B.21cnjy.com
2．直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．垂直
答案 A
解析 若l∥m，l α，m α，则l∥α，
这与已知l⊥α矛盾．
所以直线l与m不可能平行．
3．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
答案 A
解析 ∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝，即∠ABO＝60°.故选A.www.21-cn-jy.com
4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.21·世纪*教育网
证明 如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，
所以PE＝CE，
即△PEC是等腰三角形．
又F是PC的中点，所以EF⊥PC.
又BP＝＝2＝BC，
F是PC的中点，所以BF⊥PC.
又BF∩EF＝F，所以PC⊥平面BEF.
1．线线垂直和线面垂直的相互转化
2．证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义．
(2)线面垂直的判定定理．
(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
课时作业
一、选择题
1．下列说法中正确的个数是( )
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的两条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则l⊥α；
④若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α.
A．4 B．2 C．3 D．1
答案 B
解析 对于①②不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以①②是错误的；易知③④是正确的．21教育网
2．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．
A．①③ B．② C．②④ D．①②④
答案 A
解析 由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面．而②④图形中的两边不一定相交，故该直线与它们所在的平面不一定垂直．www-2-1-cnjy-com
3．如果一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系是( )
A．l α B．l⊥α
C．l∥α D．l α或l∥α
答案 D
解析 结合正方体模型，直线l与平面α的位置关系是平行或在平面内，故选D.
4．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
答案 C
解析 ∵OA⊥OB，OA⊥OC且OB∩OC＝O，
∴OA⊥平面OBC.
5．如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行
B．垂直相交
C．垂直但不相交
D．相交但不垂直
答案 C
解析 连接AC.因为AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA 平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．21世纪教育网版权所有
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D
D．异面直线AD与CB1所成的角为45°
答案 C
解析 由正方体的性质得BD∥B1D ( http: / / www.21cnjy.com )1，且BD 平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD与DA1所成的角，故为45°，所以D正确．21·cn·jy·com
7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )2·1·c·n·j·y
A．90° B．60° C．45° D．30°
答案 C
解析 如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积最大．
∴∠DBO为直线BD和平面ABC所成的角，
∵在Rt△DOB中，OD＝OB，
∴直线BD和平面ABC所成的角大小为45°.
8．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
答案 B
解析 根据定理，两条平行线中一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，故选B.
二、填空题
9．在直三棱柱ABC—A ( http: / / www.21cnjy.com )1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)2-1-c-n-j-y
答案 ∠A1C1B1＝90°
解析 如图所示，连接B1C，由BC＝CC ( http: / / www.21cnjy.com )1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)21*cnjy*com
10．如图所示，AB是⊙O的直径，PA ( http: / / www.21cnjy.com )⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________．【版权所有：21教育】
答案 2
解析 因为PA⊥平面ABC，所以A ( http: / / www.21cnjy.com )C为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在△PAC中，AC＝AB＝PA，所以tan∠PCA＝＝2.21教育名师原创作品
11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.【出处：21教育名师】
答案 90°
解析 ∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.
又∵MN⊥B1M，∴MN⊥平面C1B1M.
又C1M 平面C1B1M，
∴MN⊥C1M，∴∠C1MN＝90°.
三、解答题
12．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AD＝2，PA＝2，PD＝2，求证：AD⊥平面PAB.【来源：21cnj*y.co*m】
证明 在△PAD中，由PA＝2，AD＝2，PD＝2，
可得PA2＋AD2＝PD2，即AD⊥PA.
又AD⊥AB，PA∩AB＝A，
所以AD⊥平面PAB.
13．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.
(1)求证：AC⊥B1D；
(2)求三棱锥C－BDB1的体积．
(1)证明 ∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴BB1⊥平面ABCD.
∵又AC 平面ABCD，∴BB1⊥AC.
又∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD.
∵BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BB1D.
∵B1D 平面BDB1，∴AC⊥B1D.
(2)解
∵B1B⊥平面ABCD，
∴B1B是三棱锥B1－BDC的高．
∵＝S△BDC·BB1＝××2×2×2＝，
∴三棱锥C－BDB1的体积为.
四、探究与拓展
14．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
答案 D
解析 对于选项A，由题意得 ( http: / / www.21cnjy.com )SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB 平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确．【来源：21·世纪·教育·网】
15.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明 (1)取PD的中点E，连接NE，AE，如图．
又∵N是PC的中点，∴NE綊DC.
又∵DC綊AB，AM＝AB，
∴AM綊CD，∴NE綊AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.
∵AE 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD.
∵AE 平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，
∴MN⊥平面PCD.
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