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第九讲 直线与平面和平面与平面垂直的性质
1．下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；
④垂直于同一个平面的两个平面相互平行．
其中错误的命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 B
解析 ①垂直于同一条直线的 ( http: / / www.21cnjy.com )两条直线相互平行，不正确，如正方体的一个顶角的三个边就不成立；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行，根据线面垂直的性质定理可知正确；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行，根据面面平行的判定定理可知正确；④垂直于同一个平面的两个平面相互平行，不正确，如正方体相邻的三个面就不成立．故选B.21·cn·jy·com
2．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β
D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
答案 C
解析 对于A，平面α⊥平面γ， ( http: / / www.21cnjy.com )平面β⊥平面γ，α∩β＝l，则l⊥γ，命题正确；对于B，平面α⊥平面β，不妨设α∩β＝a，作直线b∥a，且b α，则b∥β，命题正确；对于C，平面α⊥平面β，过α与β交线上的点作交线的垂线时，该垂线不一定垂直于β，命题错误；对于D，假设平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β，这与已知平面α与平面β不垂直矛盾，所以假设不成立，命题正确，故选C.
3．如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在面ABC内的射影H必在( )
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
答案 A
解析 在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.
又∵AC 平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，
D在面ABC内的射影H必在AB上．故选A.
4．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝____.
答案 6
解析 ∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
∴AF∥DE.
又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，
故EF＝AD＝6.
5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SDC⊥平面SBC.【来源：21·世纪·教育·网】
证明 因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD，
平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC 平面ABCD，
所以BC⊥平面SDC.
又因为BC 平面SBC，
所以平面SDC⊥平面SBC.
1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．21教育网
2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：21·世纪*教育网
课时作业
一、选择题
1．下列命题错误的是( )
A．若平面α⊥平面β，则α内所有直线都垂直于β
B．若平面α⊥平面β，则平面α内的直线垂直于平面β内的无数条直线
C．若平面α⊥平面β，则在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线
D．若平面α⊥平面β，则经过α内一点与β垂直的直线在α内
答案 A
解析 在正方体ABCD－A1B ( http: / / www.21cnjy.com )1C1D1中，平面AA1B1B⊥平面ABCD，直线AB1 平面AA1B1B，但AB1与平面ABCD不垂直，故A错．www.21-cn-jy.com
2．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：( )
① n∥α ② m∥n
③ α∥β ④ m∥n
其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．③④
C．①② D．①②③④
答案 A
解析 ①中n，α可能平行或n在平面α内；②③正确；④两直线m，n平行或异面，故选A.
3．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )
答案 A
4．设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
答案 C
解析 当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．
5．已知l⊥平面α，直线m 平面β.有下面四个命题：
①α∥β l⊥m； ②α⊥β l∥m；
③l∥m α⊥β； ④l⊥m α∥β.
其中正确的两个命题是( )
A．①② B．③④
C．②④ D．①③
答案 D
解析 ∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m β，∴α⊥β，故③正确．21世纪教育网版权所有
6．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α ( http: / / www.21cnjy.com )，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于( )www-2-1-cnjy-com
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3
答案 A
解析 如图：由已知得AA′⊥平面β，
∠ABA′＝，BB′⊥平面α，∠BAB′＝.
设AB＝a，则BA′＝a，BB′＝a，
在Rt△BA′B′中，A′B′＝a，∴＝2.
7．如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则( )
A．PD 平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
答案 B
解析 因为PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.
又因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD 平面PAB，
所以PD⊥平面ABC.
二、填空题
8.如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
答案
解析 ∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
∴PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝.
9．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
答案 ①②③
解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．
10．如图所示，在直四棱柱ABCD－A ( http: / / www.21cnjy.com )1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足________时，A1C⊥B1D1.(写出一个正确条件即可)2-1-c-n-j-y
答案 AC⊥BD
解析 连接BD.因为BD∥B1D1 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以要使A1C⊥B1D1，即使A1C⊥BD.又因为A1A∩A1C＝A1，所以BD⊥平面A1AC.因为AC 平面A1AC，所以AC⊥BD.2·1·c·n·j·y
11．如图所示，AB为圆O的直径， ( http: / / www.21cnjy.com )点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)21*cnjy*com
答案 ②④
解析 因为PA 平面MO ( http: / / www.21cnjy.com )B，所以①不正确；因为MO∥PA，而且MO 平面PAC，所以②正确；OC不垂直于AC，所以③不正确；因为BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC，所以④正确．【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
12．已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，求证：l⊥γ.
证明 如图，在γ内取一点P，作PA垂直于α与γ的交线于点A，PB垂直于β与γ的交线于点B，
则PA⊥α，PB⊥β.
∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB.
∵PA与PB相交，且PA γ，PB γ，
∴l⊥γ.
13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB，G为PD的中点．求证：AG⊥平面PCD.【出处：21教育名师】
证明 ∵PA⊥平面ABCD，
CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD.
又AD⊥CD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD.
又AG 平面PAD，∴AG⊥CD.
∵PA＝AB＝AD，G为PD的中点，∴AG⊥PD.
又PD∩CD＝D，∴AG⊥平面PCD.
四、探究与拓展
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥ ( http: / / www.21cnjy.com )BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
答案 D
解析 如图，在平面图形中C ( http: / / www.21cnjy.com )D⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ADC⊥平面ABC.
15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底 ( http: / / www.21cnjy.com )面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.21cnjy.com
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
(1)证明 如图，设G为AD的中点，连接BG，PG，因为△PAD为正三角形，所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，
所以BG⊥AD.
又BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.
因为PB 平面PGB，所以AD⊥PB.
(2)解 当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：
在△PBC中，因为F是PC的中点，E是BC的中点，
所以EF∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE，而FE 平面DEF，
DE 平面DEF，EF∩DE＝E，
所以平面DEF∥平面PGB，
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG 平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD.
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第九讲 直线与平面和平面与平面垂直的性质
1．下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；
④垂直于同一个平面的两个平面相互平行．
其中错误的命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列命题中错误的是( )
A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C．如果平面α⊥平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β
D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
3．如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在面ABC内的射影H必在( )
A．直线AB上 B．直线BC上
C．直线AC上 D．△ABC内部
4．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝____.
5.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SDC⊥平面SBC.21世纪教育网版权所有
课时作业
一、选择题
1．下列命题错误的是( )
A．若平面α⊥平面β，则α内所有直线都垂直于β
B．若平面α⊥平面β，则平面α内的直线垂直于平面β内的无数条直线
C．若平面α⊥平面β，则在平面β内垂直于平面α与平面β的交线的直线垂直于α内的任意一条直线
D．若平面α⊥平面β，则经过α内一点与β垂直的直线在α内
2．已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：( )
① n∥α ② m∥n
③ α∥β ④ m∥n
其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．③④
C．①② D．①②③④
3．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )
4．设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则( )
A．直线a必垂直于平面β
B．直线b必垂直于平面α
C．直线a不一定垂直于平面β
D．过a的平面与过b的平面垂直
5．已知l⊥平面α，直线m 平面β.有下面四个命题：
①α∥β l⊥m； ②α⊥β l∥m；
③l∥m α⊥β； ④l⊥m α∥β.
其中正确的两个命题是( )
A．①② B．③④
C．②④ D．①③
6．如图所示，平面α⊥平面β ( http: / / www.21cnjy.com )，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于( )21·cn·jy·com
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3
7．如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则( )
A．PD 平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
二、填空题
8.如图，在三棱锥P－ABC中，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
9．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面；
②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；
③a和b平行于同一条棱；
④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．
10．如图所示，在直四棱柱 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足________时，A1C⊥B1D1.(写出一个正确条件即可)21教育网
11．如图所示，AB为圆O的直径， ( http: / / www.21cnjy.com )点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)www.21-cn-jy.com
三、解答题
12．已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，求证：l⊥γ.
13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA＝AB，G为PD的中点．求证：AG⊥平面PCD.2·1·c·n·j·y
四、探究与拓展
14．如图，在四边形ABCD中，AD ( http: / / www.21cnjy.com )∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.21cnjy.com
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
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