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第八讲 平面与平面垂直的判定
一、选择题
1．下列说法：
①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；
③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
2．如图2 3 24，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是( )
图2 3 24
A．平面ABCD
B．平面PBC
C．平面PAD
D．平面PBC
3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m α和m⊥γ，那么必有( )
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
4．如图2 3 25，A ( http: / / www.21cnjy.com )B是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P BC A的大小为( ) 21世纪教育网版权所有
图2 3 25
A．60° B．30°
C．45° D．15°
5．如图2 3 26，在三棱锥P ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是( )21教育网
图2 3 26
A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
二、填空题
6．若P是△ABC所在平面 ( http: / / www.21cnjy.com )外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P BC A的大小为__________．21cnjy.com
7．在平面几何中，有真命题：如果 ( http: / / www.21cnjy.com )一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．某同学将此结论类比到立体几何中，得一结论：如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补．21·cn·jy·com
你认为这个结论________．(填“正确”或“错误”)
三、解答题
8．如图2 3 27，在底面为直角梯形的四棱 ( http: / / www.21cnjy.com )锥P ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC. www.21-cn-jy.com
图2 3 27
9．如图2 3 28，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC.2·1·c·n·j·y
图2 3 28
[能力提升]
10．如图2 3 29所示，四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A BCD.则在三棱锥A BCD中，下列命题正确的是( )
图2 3 29
A．AD⊥平面BCD
B．AB⊥平面BCD
C．平面BCD⊥平面ABC
D．平面ADC⊥平面ABC
11．在边长为5的菱形ABCD中，AC＝8.现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为.
(1)求证：平面ABD⊥平面CBD；
(2)若M是AB的中点，求三棱锥A MCD的体积．
图2 3 30
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第八讲 平面与平面垂直的判定
一、选择题
1．下列说法：
①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；
③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．
其中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 根据二面角的定义知①②③都不正确．
【答案】 A
2．如图2 3 24，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是( )
图2 3 24
A．平面ABCD
B．平面PBC
C．平面PAD
D．平面PBC
【解析】 由PA⊥平面ABCD得PA ( http: / / www.21cnjy.com )⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，从而有CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD.故选C.21教育网
【答案】 C
3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m α和m⊥γ，那么必有( )
A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥β
C．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ
A [A正确．B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交，D错，有可能α与β相交．故选A.]
4．如图2 3 25，AB是圆的 ( http: / / www.21cnjy.com )直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P BC A的大小为( ) 21cnjy.com
图2 3 25
A．60° B．30°
C．45° D．15°
【解析】 由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P BC A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，
∴C对．
【答案】 C
5．如图2 3 26，在三棱锥P ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是( )21·cn·jy·com
图2 3 26
A．平面EFG∥平面PBC
B．平面EFG⊥平面ABC
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
【解析】 A正确，∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC；
B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，
∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，
∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；
C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；
D错误，∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．
【答案】 D
二、填空题
6．若P是△ABC所在平 ( http: / / www.21cnjy.com )面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P BC A的大小为__________．www.21-cn-jy.com
【解析】 取BC的中点O，连接O ( http: / / www.21cnjy.com )A，OP(图略)，则∠POA为二面角P BC A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.2·1·c·n·j·y
【答案】 90°
7．在平面几何中，有真命题：如果一 ( http: / / www.21cnjy.com )个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．某同学将此结论类比到立体几何中，得一结论：如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补．【来源：21·世纪·教育·网】
你认为这个结论________．(填“正确”或“错误”)
【解析】 如图所示的正方体ABCD A1B1C1D1中，
平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，平面CDD1C1⊥平面ABCD，而二面角A C1D1 C为45°，二面角A BC C1为90°.21·世纪*教育网
则这两个二面角既不相等又不互补．
【答案】 错误
三、解答题
8．如图2 3 27，在底面 ( http: / / www.21cnjy.com )为直角梯形的四棱锥P ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC. www-2-1-cnjy-com
图2 3 27
【证明】 ∵PA⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，
∴BD⊥PA.又tan ∠ABD＝＝，
tan ∠BAC＝＝，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
又BD 平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.
9．如图2 3 28，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC.2-1-c-n-j-y
图2 3 28
【证明】 如图，连接OC，CB，因为OA＝OC，
D是AC的中点，所以AC⊥OD.
又PO⊥底面ABC，AC 底面ABC，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC 平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.21*cnjy*com
[能力提升]
10．如图2 3 29所示，四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A BCD.则在三棱锥A BCD中，下列命题正确的是( )
图2 3 29
A．AD⊥平面BCD
B．AB⊥平面BCD
C．平面BCD⊥平面ABC
D．平面ADC⊥平面ABC
【解析】 在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，
又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB，
又AD⊥AB，AD∩CD＝D，
故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.
【答案】 D
11．在边长为5的菱形ABCD中，AC＝8.现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为.
(1)求证：平面ABD⊥平面CBD；
(2)若M是AB的中点，求三棱锥A MCD的体积．
图2 3 30
【解】 (1)证明：在菱形ABCD中，记AC，BD的交点为O，AD＝5，OA＝4，∴OD＝3，翻折后变成三棱锥A BCD，在△ACD中，21世纪教育网版权所有
AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC
＝25＋25－2×5×5×＝32，
在△AOC中，OA2＋OC2＝32＝AC2，
∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC，
又AO⊥BD，OC∩BD＝O，∴AO⊥平面BCD，
又AO 平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD.
(2)∵M是AB的中点，所以A，B到平面MCD的距离相等，
∴VA－MCD＝VB－MCD＝VA－BCD＝S△BCD·AO＝8.
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