中小学教育资源及组卷应用平台
第八讲 平面与平面垂直的判定
1．直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
答案 C
解析 由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.
2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是( )
A．互为余角 B．相等
C．其和为周角 D．互为补角
答案 D
解析 画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.21世纪教育网版权所有
3．长方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与平面ABCD垂直的平面有( )
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
答案 C
解析 与平面ABCD垂直的面有：平面ABB1A1，平面BCC1B1，平面CDD1C1，平面DAA1D1，共4个，故选C.21·cn·jy·com
4．三棱锥P－ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形，AC＝a，则二面角A－PB－C的大小为( )21·世纪*教育网
A．90° B．30° C．45° D．60°
答案 D
解析 如图，取PB的中点为M，连接AM，CM ( http: / / www.21cnjy.com )，则AM⊥PB，CM⊥PB，∴∠AMC为二面角A－PB－C的平面角，易得AM＝CM＝a，则△AMC为正三角形，www-2-1-cnjy-com
∴∠AMC＝60°.
5．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：平面EBD⊥平面ABCD.
证明 连接AC与BD交于O点，连接OE.
∵O为AC的中点，E为SA的中点，
∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD.
又∵EO 平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.
1．求二面角的步骤
简称为“一作二证三求”．
2．证明面面垂直常用的方法
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直．
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
课时作业
一、选择题
1．下列不能确定两个平面垂直的是( )
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C．一个平面经过另一个平面的一条垂线
D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
答案 D
解析 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C ( http: / / www.21cnjy.com )1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直．2-1-c-n-j-y
2．关于直线a，b以及平面M，N，下列命题中正确的是( )
A．若a∥M，b∥M，则a∥b
B．若b∥M，a⊥b，则a⊥M
C．若b M，a⊥b，则a⊥M
D．若a⊥M，a N，则M⊥N
答案 D
解析 A中，当直线a，b都在一个平面上相 ( http: / / www.21cnjy.com )交，且这个平面与M平行，可推断出A不一定成立；B中，可能存在a M的情况，故B的结论不一定成立；C中，可能存在a∥M的情况，故C项错误；D中，若a⊥M，a N，由面面垂直的判定定理可知M⊥N，故D项中说法正确．21*cnjy*com
3．如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
答案 C
解析 因为AB＝BC，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理，DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.
因为AC 平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.
因为AC 平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
4．如图所示，在△ABC中，AD⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为( )21cnjy.com
A．30° B．45°
C．60° D．90°
答案 C
解析 由已知得BD＝2CD. ( http: / / www.21cnjy.com )翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°.【来源：21cnj*y.co*m】
5．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面ABC，点 C是圆上的任意一点，图中互相垂直平面的对数为( )【出处：21教育名师】
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 B
解析 ∵PA⊥圆O所在平面ABC，
∴平面PAB⊥平面ABC，
同理可得：平面PAC⊥平面ABC，
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，
又∵PA⊥圆O所在平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC.
∴BC⊥平面PAC.
又∵BC 平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC.
综上相互垂直的平面共有3对．
6．过两点与一个已知平面垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．有无数个
C．有且只有一个或无数个 D．可能不存在
答案 C
解析 设两点为A，B，平 ( http: / / www.21cnjy.com )面为α，若直线AB⊥α，则过A、B与α垂直的平面有无数个；若直线AB与α不垂直，即直线AB与α平行、相交或在平面α内，均存在唯一平面垂直于已知平面．
7．在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
答案 C
解析 如图所示，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF，∴A正确．
由BC⊥PE，BC⊥AE，
得BC⊥平面PAE，
∴DF⊥平面PAE，∴B正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，
∴D正确．
8．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )21教育网
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
答案 D
解析 ∵PA⊥平面ABC，
∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AD＝2AB，即tan∠ADP＝＝＝1，
∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.故选D.
二、填空题
9．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)www.21-cn-jy.com
答案 ①② ③
解析 由l∥β可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，
∵l′ β，∴α⊥β，故①② ③.
10．下列结论中，所有正确结论的序号是________．
①两个相交平面形成的图形叫做二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
答案 ②④
解析 由二面角及二面角的平面角的定义知①③不正确，④正确；②中所成的角虽不是二面角的平面角，但由平面几何的知识易知②正确．2·1·c·n·j·y
11．如图所示，在长方体ABCD－A1B ( http: / / www.21cnjy.com )1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.【版权所有：21教育】
答案 1
解析 由题意知EF⊥BC.
∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥EF，
又BC∩CC1＝C，∴EF⊥平面CC1F，
∴EF⊥C1F.
故∠C1FC为二面角C1－EF－C的平面角，
即∠C1FC＝45°，
∵AA1＝1，∴CF＝1，又BC＝2，∴BF＝1.
12．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P ( http: / / www.21cnjy.com )A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析 由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC 平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
三、解答题
13．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.
证明 如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FG∥AA1，且GF＝AA1.
因为BE＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，
所以△A1B1E≌△CBE，所以A1E＝CE.
因为F为A1C的中点，所以EF⊥A1C.
又FG∥AA1∥BE，GF＝AA1＝BE，且BE⊥BG，
所以四边形BEFG是矩形，所以EF⊥FG.
因为A1C∩FG＝F，所以EF⊥侧面ACC1A1.
又因为EF 平面A1CE，所以截面A1CE⊥侧面ACC1A1.
14．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AC，BD交于点E，F是PB的中点．求证：【来源：21·世纪·教育·网】
(1)EF∥平面PCD；
(2)平面PBD⊥平面PAC.
证明 (1)∵四边形ABCD是正方形，∴E是BD的中点．
又F是PB的中点，∴EF∥PD.
又∵EF 平面PCD，PD 平面PCD，
∴EF∥平面PCD.
(2)∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
又BD 平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC.
四、探究与拓展
15．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)求AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？
(1)证明 连接D1A，D1B.
∵在长方形A1ADD1中，AD＝AA1＝1，
∴四边形A1ADD1为正方形，∴A1D⊥AD1.
又由题意知AB⊥A1D，且AB∩AD1＝A，
∴A1D⊥平面ABD1.
∵D1E 平面ABD1，∴A1D⊥D1E.
(2)解 过D作DF⊥EC于点F，连接D1F.
∵D1D⊥平面DB，EC 平面DB，∴D1D⊥EC.
又DF∩D1D＝D，∴EC⊥平面D1DF.
∵D1F 平面D1DF，∴EC⊥D1F，
∴∠DFD1为二面角D1－EC－D的平面角，
∴∠DFD1＝45°，又∠D1DF＝90°，D1D＝1，
∴DF＝1.
在Rt△DFC中，∵DC＝2，∴∠DCF＝30°，
∴∠ECB＝60°.
在Rt△EBC中，∵BC＝1，∴EB＝，AE＝2－.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第八讲 平面与平面垂直的判定
1．直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是( )
A．平行 B．可能重合
C．相交且垂直 D．相交不垂直
2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是( )
A．互为余角 B．相等
C．其和为周角 D．互为补角
3．长方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与平面ABCD垂直的平面有( )
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
4．三棱锥P－ABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形，AC＝a，则二面角A－PB－C的大小为( )21·cn·jy·com
A．90° B．30° C．45° D．60°
5．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．
( http: / / www.21cnjy.com / )
求证：平面EBD⊥平面ABCD.
课时作业
一、选择题
1．下列不能确定两个平面垂直的是( )
A．两个平面相交，所成二面角是直二面角
B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线
C．一个平面经过另一个平面的一条垂线
D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b
2．关于直线a，b以及平面M，N，下列命题中正确的是( )
A．若a∥M，b∥M，则a∥b
B．若b∥M，a⊥b，则a⊥M
C．若b M，a⊥b，则a⊥M
D．若a⊥M，a N，则M⊥N
3．如图所示，在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
4．如图所示，在△ABC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为( )21cnjy.com
A．30° B．45°
C．60° D．90°
5．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面ABC，点 C是圆上的任意一点，图中互相垂直平面的对数为( )21教育网
A．4 B．3 C．2 D．1
6．过两点与一个已知平面垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．有无数个
C．有且只有一个或无数个 D．可能不存在
7．在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
8．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是( )www.21-cn-jy.com
A．PB⊥AD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE
D．直线PD与平面ABC所成的角为45°
二、填空题
9．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)2·1·c·n·j·y
10．下列结论中，所有正确结论的序号是________．
①两个相交平面形成的图形叫做二面角；
②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
11．如图所示，在长方体ABCD－A ( http: / / www.21cnjy.com )1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，则BF＝________.21世纪教育网版权所有
12．如图所示，在四棱锥P－ ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
三、解答题
13．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE⊥侧面ACC1A1.
14．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AC，BD交于点E，F是PB的中点．求证：【来源：21·世纪·教育·网】
(1)EF∥平面PCD；
(2)平面PBD⊥平面PAC.
四、探究与拓展
15．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)求AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为45°？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
