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第九讲 直线与平面和平面与平面垂直的性质
一、选择题
1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
【解析】 因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，
所以l⊥平面ABC.
同理可证m⊥平面ABC，
所以l∥m，故选C.
【答案】 C
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m α，n β，则m⊥n
B．若α∥β，m α，n β，则m∥n
C．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
【解析】 A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中，m，n可能为异面直线；C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．21教育网
【答案】 D
3．已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
【解析】 选项A缺少了条件l α；选 ( http: / / www.21cnjy.com )项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D.21cnjy.com
【答案】 D
4．在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
【解析】 如图所示，在四边形ABCD中，
∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD ( http: / / www.21cnjy.com )⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1 平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.www.21-cn-jy.com
【答案】 C
5．如图2 3 41所示，三棱 ( http: / / www.21cnjy.com )锥P ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )21世纪教育网版权所有
图2 3 41
A．一条线段
B．一条直线
C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点
【解析】 ∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，∴AC⊥平面PBC.【来源：21·世纪·教育·网】
又∵BC 平面PBC，∴AC⊥BC.
∴∠ACB＝90°.
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．
【答案】 D
二、填空题
6．如图2 3 42，在三 ( http: / / www.21cnjy.com )棱锥P ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝________.21·世纪*教育网
图2 3 42
【解析】 在三棱锥P ABC中，
因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC.
因为EF 平面PAC，所以EF⊥AB，
因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，
所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF，
因为F是AC的中点，E是PC上的点，
所以E是PC的中点，所以＝1.
【答案】 1
7．在三棱锥P ABC中，平面PA ( http: / / www.21cnjy.com )C⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．21·cn·jy·com
【解析】 连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，
可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最 ( http: / / www.21cnjy.com )小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.
【答案】 2
三、解答题
8．如图2 3 43，三棱 ( http: / / www.21cnjy.com )锥P ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC. 2-1-c-n-j-y
图2 3 43
【证明】 ∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，
∴PA⊥平面ABC.又BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB 平面PAB，
PA 平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC 平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.
9．如图2 3 44，四棱锥P ( http: / / www.21cnjy.com ) ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.www-2-1-cnjy-com
图2 3 44
【证明】 设AC∩BD＝O，
连接EO，则EO∥PC.
∵PC＝CD＝a，PD＝a，
∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又EO 平面EDB，
故有平面EDB⊥平面ABCD.
[能力提升]
10．设m，n，l是三条不同的直线，α是一个平面，l⊥m，则下列说法正确的是( )
A．若m α，l⊥α，则m∥α
B．若l⊥n，则m⊥n
C．若l⊥n，则m∥n
D．若m∥n，n α，则l⊥α
【解析】 若l⊥m，l⊥n，则m与n可能平行，也可能相交或异面，
即B，C都不正确；由l⊥m，m∥n ( http: / / www.21cnjy.com )，可得l⊥n，不一定有l⊥α，即D不正确；对于A，可在l上取一点P，过P作m′∥m，则m′⊥l，m′与l确定一个平面β，β∩α＝a，由l⊥α，得l⊥a，又m′，a，l同在平面β内，则由l⊥m′，l⊥a得m′∥a，于是m∥a，又m α，所以m∥α.故选A.2·1·c·n·j·y
【答案】 A
11．如图2 3 45，在△B ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．21*cnjy*com
图2 3 45
(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD
【解】 (1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，
∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，
∴CD⊥平面ABC.
又∵＝＝λ(0<λ<1)．
∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC.
又∵EF 平面BEF
∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)由(1)知BE⊥EF，
∵平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，
∴BE⊥平面ACD.
又∵AC 平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，
∠ADB＝60°，
∴BD＝，∴AB＝tan 60°＝，
∴AC＝＝.
由Rt△AEB∽Rt△ABC，
得AB2＝AE·AC，
∴AE＝，∴λ＝＝.
故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.
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第九讲 直线与平面和平面与平面垂直的性质
一、选择题
1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．不确定
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m α，n β，则m⊥n
B．若α∥β，m α，n β，则m∥n
C．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β
D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
3．已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
4．在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( )
A．平行 B．共面
C．垂直 D．不垂直
5．如图2 3 41所示，三棱 ( http: / / www.21cnjy.com )锥P ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )21世纪教育网版权所有
图2 3 41
A．一条线段
B．一条直线
C．一个圆
D．一个圆，但要去掉两个点
二、填空题
6．如图2 3 42，在三棱锥P A ( http: / / www.21cnjy.com )BC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝________.21教育网
图2 3 42
7．在三棱锥P ABC中，平面PA ( http: / / www.21cnjy.com )C⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．21cnjy.com
三、解答题
8．如图2 3 43，三棱锥 ( http: / / www.21cnjy.com )P ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC. 21·cn·jy·com
图2 3 43
9．如图2 3 44，四棱锥P A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD.www.21-cn-jy.com
图2 3 44
[能力提升]
10．设m，n，l是三条不同的直线，α是一个平面，l⊥m，则下列说法正确的是( )
A．若m α，l⊥α，则m∥α
B．若l⊥n，则m⊥n
C．若l⊥n，则m∥n
D．若m∥n，n α，则l⊥α
11．如图2 3 45，在△BCD中，∠BC ( http: / / www.21cnjy.com )D＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1)．2·1·c·n·j·y
图2 3 45
(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.
(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD
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