中小学教育资源及组卷应用平台
第一讲 倾斜角与斜率
1．对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 ①②③正确．
2．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
答案 A
解析 tan 45°＝，得m＝2.
3．若三点A(2,3)，B(3,2)，C(，m)共线，则实数m的值为 ．
答案
解析 设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，则由斜率公式，得kAB＝＝－1，kBC＝＝－(m－2)．
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，
即－1＝－(m－2)，解得m＝.
4．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 ．(其中m≥1)
答案 (0°，90°]
解析 当m＝1时，倾斜角α＝90°，
当m>1时，tan α＝>0，
∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.
5．已知交于点M(8,6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5,3)，求这四条直线的倾斜角．21世纪教育网版权所有
解 l2的斜率为＝1，
∴l2的倾斜角为45°，
由题意可得：l1的倾斜角为22.5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°.
直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
直线情况 平行于x轴 垂直于x轴
α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k的范围 0 k>0 不存在 k<0
k的增减情况 k随α的增大而增大 k随α的增大而增大
课时作业
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角
B．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]
C．和x轴平行的直线的倾斜角为180°
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
答案 D
解析 倾斜角是直线向上方向与x ( http: / / www.21cnjy.com )轴的正方向所成的角，故选项A不正确；直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°)，故选项B不正确；当直线与x轴平行时，倾斜角为0°，故选项C不正确．21教育网
2．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为60°，则直线l2的倾斜角为( )
A．60° B．120° C．30° D．150°
答案 D
解析 两直线垂直时，它们的倾斜角相差90°，由l1的倾斜角为60°知，l2的倾斜角为150°.
3．若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋)，则此直线的倾斜角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 A
解析 由题意知k＝＝，
∴直线的倾斜角为30°.
4．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为( )
A．60° B．30°
C．60°或120° D．30°或150°
答案 C
解析 由题意知|tan α|＝，
即tan α＝或tan α＝－，
∴直线l的倾斜角为60°或120°.
5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( )
A．(1,3)、(5,7)、(10,12) B．(－1,4)、(2,1)、(－2,5)
C．(0,2)、(2,5)、(3,7) D．(1，－1)、(3,3)、(5,7)
答案 C
解析
A、B、D三个选项中三点均共线．
6.若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则( )
A．k1B．k3C．k3D．k1答案 D
解析 由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，
且l2比l3的倾斜角大．∴k17．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
A．α B．180°－α
C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α
答案 D
解析 如图所示，当l方向向上的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l方向向上的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.21cnjy.com
8．已知直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是( )
A．2 B．1 C. D．0
答案 A
解析 如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0,2]．故直线l的斜率k的最大值为2.21·cn·jy·com
二、填空题
9．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于 ．www.21-cn-jy.com
答案
解析 由于A，B，C三点共线，所以此直线的 ( http: / / www.21cnjy.com )斜率既可用A，B两点的坐标表示，也可用A，C两点的坐标表示，于是有＝，由此可得a＋b＝ab，两边同时除以ab，得＋＝.2·1·c·n·j·y
10．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为 ．
答案 (3,0)或(0,3)
解析 由题意知kPA＝－1，若P点在 ( http: / / www.21cnjy.com )x轴上，则设P(m,0)，则＝－1，解得m＝3；若P点在y轴上，则设P(0，n)，则＝－1，解得n＝3，故P点的坐标为(3,0)或(0,3)．【来源：21·世纪·教育·网】
11．若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是 ．
答案 (－2,1)
解析 由题意知，kAB＝＝.
因为直线的倾斜角为钝角，
所以kAB＝<0，
解得－212．若直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为 ．
答案 [0°，45°]∪(90°，180°)
解析 直线l的斜率k＝＝1－m2≤1.
若l的倾斜角为α，则tan α≤1.
又∵α∈[0°，180°)，当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；
当tan α<0时，90°<α<180°.
∴α∈[0°，45°]∪(90°，180°)．
三、解答题
13．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1)．
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？
解 (1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0，
即k＝＝>0，
解得m>－2.
(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0，
即k＝＝<0，
解得m<－2.
(3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角．21·世纪*教育网
四、探究与拓展
14．已知坐标平面内三点A(－1,1 ( http: / / www.21cnjy.com ))，B(1,1)，C(2，＋1)．若D为△ABC的边AB上一动点，则直线CD的斜率k的取值范围为( )www-2-1-cnjy-com
A．[，3] B．[0，]∪[，＋∞)
C．[，＋∞) D．[，＋∞)
答案 A
15．已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6,2)，N(－，)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围．2-1-c-n-j-y
解 考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2，
由题意知tan α1＝1，tan α2＝－，
故直线PM的倾斜角为45°，直线PN的倾斜角为150°，
根据倾斜角的定义知符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是45°≤α≤150°.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第一讲 倾斜角与斜率
1．对于下列命题：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是( )
2．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于( )
A．2 B．1 C．－1 D．－2
3．若三点A(2,3)，B(3,2)，C(，m)共线，则实数m的值为 ．
4．经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是 ．(其中m≥1)
5．已知交于点M(8,6)的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5,3)，求这四条直线的倾斜角．21世纪教育网版权所有
课时作业
一、选择题
1．下列说法中正确的是( )
A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角
B．直线的倾斜角α的取值范围是[0°，180°]
C．和x轴平行的直线的倾斜角为180°
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
2．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为60°，则直线l2的倾斜角为( )
A．60° B．120° C．30° D．150°
3．若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋)，则此直线的倾斜角是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．已知直线l的斜率的绝对值等于，则直线l的倾斜角为( )
A．60° B．30°
C．60°或120° D．30°或150°
5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为( )
A．(1,3)、(5,7)、(10,12) B．(－1,4)、(2,1)、(－2,5)
C．(0,2)、(2,5)、(3,7) D．(1，－1)、(3,3)、(5,7)
6.若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则( )
A．k1B．k3C．k3D．k17．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )
A．α B．180°－α
C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α
8．已知直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是( )
A．2 B．1 C. D．0
二、填空题
9．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于 ．
10．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为 ．
11．若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是 ．
12．若直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为 ．
三、解答题
13．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1)．
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？
(2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？
(3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？
四、探究与拓展
14．已知坐标平面内三点 ( http: / / www.21cnjy.com )A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．若D为△ABC的边AB上一动点，则直线CD的斜率k的取值范围为( )21教育网
A．[，3] B．[0，]∪[，＋∞)
C．[，＋∞) D．[，＋∞)
15．已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6,2)，N(－，)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围．21cnjy.com
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
