初中数学北师大版八年级下册第六章第三节 三角形中位线 同步练习
一、单选题
1．（2019八上·毕节月考）Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ）
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边= =10cm，
∴连接这两条直角边中点的线段长为 ×10=5cm.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可.
2．（2020八下·木兰期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE= AC，同理 EF= BC，DF= AB，∴C△DEF=DE+EF+DF= （AC+BC+AB）= ×20=10．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的中位线定理得到线段的等量关系，再求出三角形的周长即可.
3．如图，在△ABC中，延长BC至点D，使得CD= BC，过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧)，且EF=2CD，连结DF.若AB=8，则DF的长为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接EG，
∵E是AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG=AB=4，
设CD=x，则EF=BC=2x，
∴BG=CG=x，
∴EF=2x=DG，
∴EF∥CD，
∴四边形EGDF是平行四边形，
∴DF=EG=4.
故答案为：B.
【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得求出EG的长，设CD=x，则则EF= BC= 2x，然后证明四边形EGDF是平行四边形，则可得出DF=EG，即可解答.
4．（2021九上·大东期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．40
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴AE=CE，AD=BD，DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=BC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADE=∠ABC=90°，
在△MBD和△EDA中，，
∴△MBD≌△EDA，
∴MD=AE，DE=MB，
∵DE//MB，
∴四边形DMBE是平行四边形，
∴MD=BE，
∵AC＝18，BC＝14，
∴四边形DMBE的周长=2DE+2MD=BC+AC=18+14=32．
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形的性质求出BE，证明MD=BE，根据三角洲中位线定理得出DE//MB，MD=AE，DE=MB，根据平时四边形的判定定理和性质定理解答即可。
5．（2021八下·太平期末）如图，在平行四边形 中， ，点 ， 分别是 ， 的中点，则 等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】 四边形 是平行四边形
点 ， 分别是 ， 的中点
故答案为：C
【分析】根据题意，由平行四边形的性质，即可得到BC=AD=8。由中点的性质，结合三角形的中位线定理求出答案即可。
6．（2020八下·温州月考）如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有（ ）
A．3个 B．4n个 C．3n个 D．3n个
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；探索图形规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：图（1）中， A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点 ，
∴A1B1∥AB ，B1C1 ∥BC，A1C1 ∥AC，，
∴四边形AC1A1B1C1 ，A1B1C1B，A1CB1C1是平行四边形，共有3=3×1个；
图（2）中，同理可得AC1A1B1C1 ，A1B1C1B，A1CB1C1， A1C2B2C1分 A2B2A1C2分A2B2C2B1是平行四边形，共有6=2×3个；
···，依次规律，可得第n个图形中平行四边形的个数为3n个.
故答案为：D.
【分析】利用三角形中位线定理可得A1B1∥AB ，B1C1 ∥BC，A1C1∥AC，根据平行四边形的判定可得图（1）共有3=3×1个平行四边形，同理可得图（2）中共有6=2×3个平行四边形，据此规律可得第n个图形中平行四边形的个数为3n个.
7．（2021八下·慈溪期中）如图，已知 OABC的顶点A，C分别在直线 和 上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC.
∵直线x=1与直线x=4均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD.
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC.
在△OAF和△BCD中，∠FOA=∠DBC，OA=BC，∠OAF=∠BCD，
∴△OAF≌△BCD，
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
由于OE的长不变，所以当BE最小时，OB取得最小值，最小值为OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得四边形ANCM是平行四边形，进而推出∠FOA=∠DBC，然后证明△OAF≌△BCD，求出OE的值，由OB=知BE最小时，OB取得最小值，据此解答即可.
8．（2020八下·蚌埠月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．则下列结论：①ED⊥CA；②EF＝CG；③EH= EG；④S△EFD＝S△CEG成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接FG，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD
∵BD＝2AD
∴OD＝AD
∵点E为OA中点
∴ED⊥CA，故①符合题意；
∵E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，
∴EF∥AB，EF＝ AB，S△OEF＝ S△AOB，
∵∠CED＝90°，CG＝DG＝ CD
∴EG＝ CD
∴EF＝EG，故②符合题意；
∵EF∥CD，EF＝DG
∴四边形DEFG是平行四边形
∴EH＝HG
即 ，故③符合题意；
∵S△AOB＝S△AOD＝ S ABCD，S△ACD＝ S ABCD，
∴S△OEF＝ S ABCD，
∵AE＝OE
∴S△ODE＝ S△AOD＝ S ABCD，
∴S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝ S ABCD+ S ABCD＝ S ABCD，
∵
∴CE＝ AC
∴S△CDE＝ S△ACD＝ S ABCD，
∵CG＝DG
∴S△CEG＝ S△CDE＝ S ABCD，
∴S△EFD＝S△CEG，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF＝ AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG＝ CD，即可得EF＝EG；连接EG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得 ；由三角形中位线定理可证得S△OEF＝ S△AOB，进而可得S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝ S ABCD+ S ABCD＝ S ABCD，再根据E、G分别是OA、CD中点，可得S△CEG＝ S△CDE＝ S ABCD，即可得S△EFD＝S△CEG．
二、填空题
9．（2021八下·贵港期末）如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为 .
【答案】3
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC三边的中点
∴DE∥AF，DF∥EC，DF∥BE且DE=AF，DF=EC，DF=BE
∴四边形ADEF、DECF、DFEB分别为平行四边形
故答案为3.
【分析】由题意可得DE、DF、EF分别为△ABC的中位线，则DE∥AF，DF∥EC，DF∥BE且DE=AF，DF=EC，DF=BE，据此解答.
10．（2021八下·皇姑期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝ BC，CD＝BC，点E，F分别是BD，CD的中点，连接AE，EF，若BC＝2，则四边形AEFD的周长为 ．
【答案】4
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AD= BC，BC=2，
∴AD=1，
∵E、F分别是BD、CD上的中点，BC=2，
∴EF∥BC，EF= BC=1，
∵AD∥BC，
∴EF∥AD，EF=AD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵CD=BC，BC=2，
∴CD=2，
∵点F是CD的中点，
∴DF=1，
∴四边形AEFD的周长=2×（1+1）=4，
故答案为：4．
【分析】根据三角形的中位线定理得到EF∥BC，FE=BC=1，证明四边形AEFD为平行四边形，根据平行四边形的周长公式计算得到答案即可。
11．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=3，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连结DF，EF，则EF的长为 。
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连结DE，CD.
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴DE∥CF.
∵CF=BC，∴DE=CF，
四边形DCFE是平行四边形，
∴EF=CD
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=3，
CD===，
∴EF=CD=
故答案为：.
【分析】 连结DE，CD，利用已知可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得DE∥BC，DE=BC，由此可推出DE=CF，DE∥CF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DCFE是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得EF=CD；再利用勾股定理求出CD的长，即可求出EF的长.
12．（2021八下·双流期末）如图，点 ， 分别是 的边 ， 的中点，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 .若EF=6，则 的长为 .
【答案】3
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点 ， 分别是 ， 的中点
∴DE为△ABC的中位线
∴DE∥BC，DE= BC
∴EF∥BC
∵CF∥BE
∴四边形BCFE为平行四边形
∴BC=EF=6
∴DE= BC=3
故答案为：3
【分析】 利用已知易证DE为△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可得DE∥BC，DE= BC；再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形BCFE为平行四边形，利用平行四边形的性质可求出BC的长，即可得到DE的长.
13．（2021八下·嘉兴期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE＝8，则GE＝ ．
【答案】2
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取EB的中点H，连接FH、CH，
∵F为AE的中点，
∴FG∥AB，FG=AB，
∵EC=CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，
∴EC=FH，EC∥FH，
∴四边形EFHC为平行四边形，
∴EG=GH=BE=2，
故答案为：2.
【分析】取EB的中点H，连接FH、CH，根据中位线定理得出FG∥AB，FG=AB，然后再结合平行四边形的性质，证出四边形EFHC为平行四边形，最后根据平行四边形的对角线互相平分的性质，即可求出GE的长.
14．（2020·河北模拟）如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是 ．
【答案】14
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵F，G分别为BC，CD的中点，
∴FG＝ BD＝4，FG∥BD，
∵E，H分别为AB，DA的中点，
∴EH＝ BD＝4，EH∥BD，
∴FG∥EH，FG＝EH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝GH＝ AC＝3，
∴四边形EFGH的周长＝3+3+4+4＝14，
故答案为：14
【分析】根据三角形中位线定理得到FG∥EH，FG＝EH，根据平行四边形的判定定理和周长解答即可．
15．（2020·开平模拟）有一边长为 的等边 游乐场，某人从边 中点 出发，先由点 沿平行于 的方向运动到 边上的点 ，再由 沿平行于 方向运动到 边上的点 ，又由点 沿平行于 方向运动到 边上的点 ，则此人至少要运动 ，才能回到点 ．如果此人从 边上意一点出发，按照上面的规律运动，则此人至少走 ，就能回到起点．
【答案】15；30
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】当P为中点时，由运动的规律可知： ，
∴P1、P2分别为AC、BC中点，
∴此时运动的路程为三角形三条中位线的和，即 (m)；
当点P为AB边上任意一点时，由运动的规律可知：
，即P6与P重合，
∴经过6次转向就回到了点P，此时四边形PP1P2B、四边形AP1P2P3、四边形P2P3P4C、四边形P3P4P5B、四边形PP1CP5都是平行四边形，
∴PP1+P1P2+P2P3+P3P4+P4P5+P5P
=BP2+AP3+AP1+CP2+BP3+CP1
=AB+AC+BC
=30(m)．
故答案为：15；30．
【分析】根据中位线的性质及平行四边形的判定与性质即可求出结果．
16．（2021八下·崇川月考）如图，已知 ，点 在边 上， ，过点 作 于点 ，以 为一边在 内作等腰直角三角形 ，点 是 围成的区域（不包括各边）内的一点，过点 作 交 于点 ，作 交 于点 ，设 ，则 取值范围是 .
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点P做 交于点H，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形ODPE是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点P是 围成的区域（先考虑包括各边）内的一点，
结合图形，当点P在AC上时， 取最小值；当点P与点B重合时， 取最大值；
当点P在AC上时， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴最小值 ；
当点P与点B重合时，如下图，AC和BD相交于点G，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵等腰直角三角形ABC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴GB是等腰直角三角形ABC的角平分线，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴ 是 的中位线，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴最大值 ，
点 是 围成的区域（不包括各边）内的一点，
∴ .
故答案为： .
【分析】过点P作PH⊥OY交于点H，易证四边形ODPE是平行四边形，进而得到OD+2OE=2OH，结合图形可得当点P在AC上时，OH取最小值；当点P与点B重合时，OH取最大值；当点P在AC上时，OH=OC，易得OC=2，据此可得OD+2OE的最小值；当点P与点B重合时，AC和BD相交于点G，易得AC的值，然后根据等腰直角三角形的性质可推出GB是等腰直角三角形ABC的角平分线，求出BG的值，根据中位线的概念可求得DB的值，进而得到EB、OE、OH的值，据此可得OD+2OE的最大值.
三、解答题
17．（2021八下·仙居期末）证明三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．
（要求：画出图形，写出已知、求证和证明过程）
【答案】解：已知：如图点D、E分别是⊿ABC的边AB，AC的中点，连接DE
求证： DE∥BC，且DE= BC
证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接FC，DC，AF
∴四边形ADCF是平行四边形
∴CF∥AD且CF=AD
∴CF∥BD且CF=BD
∴四边形BDFC是平行四边形
∴DF∥BC且DF=BC
又∵DE= DF
∴DE∥BC，且DE= BC
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】延长DE到F，使EF=DE，连接FC、DC、AF，先由题意即可得到四边形ADCF是平行四边形，进而根据平行四边形的性质结合即可即可得到CF∥BD且CF=BD，再根据平行四边形的判定即可得到四边形BDFC是平行四边形，最后证明DE∥BC，且DE= BC即可求解.
18．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF=AB，连结EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明。
【答案】解：四边形ADEF是平行四边形.
证明：∵D，E分别是边BC，AC的中点，
DE∥AB，DE=AB.
又AF=AB，∴DE=AF，
四边形ADEF是平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】利用已知条件可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得 DE∥AB，DE=AB，由此可推出DE=AF，再来呀有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
19．（2021八下·越秀期中）如图所示，已知AD是 的中线，DE∥AB，且DE=AB，连结AE，EC．求证：四边形ADCE是平行四边形．
【答案】证明：∵DE∥AB，且DE=AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AE∥BC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 证明四边形ABDE是平行四边形， 可得AE=BD，AE∥BC，由已知得出BD=CD，从而可得AE=CD，利用一组对边平行且相等即证四边形ADCE是平行四边形．
20．（2020八下·广东月考） 的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证： ，且 ．
【答案】证明：连接DE，FG，
，CE是 的中位线，
，E是AB，AC的中点，
， ，
同理： ， ，
， ，
四边形DEFG是平行四边形，
， ．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接DE，FG，利用三角形的中位线的性质得到DE//FG，DE=FG，证出四边形DEFG是平行四边形，再利用平行四边形的性质得到 ，且 ．
21．（2020八下·洪泽期中）如图，点D、E、F分别是AC、BC、AB中点，且
BD是△ABC的角平分线.求证：BE=AF.
【答案】证明:连接DE,
∵点D,E,F分别是AC、BC、AB中点，
∴DE∥AB,EF∥AC,
∴四边形ADEF是平行四边形,
∴AF=DE
∵ BD是△ABC的角平分线.
∴∠ABD=∠DBE.
∴∠DBE=∠BDE,
∴BE=DE,
∴BE=AF
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】首先连接DE，然后根据三角形中位线的性质得出四边形ADEF为平行四边形，然后得出AF=DE，然后根据角平分线的性质以及平行四边形的性质得出BE=DE，从而得出AF=BE.
四、综合题
22．（2021八下·兴化期末）如图1，在四边形 中， 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点.
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如图2，延长 、 相交于点 ，连接 、 、 ，若 ，求四边形 的面积.
【答案】（1）证明： 分别是 的中点，
，
同理可得： ，
，
四边形 是平行四边形
（2）解：如图，连接 ，
分别是 的中点，
，
（同底等高），
同理可得： ，
，
又 是 的中点，
，
（等底同高），
，
同理可得： ，
即四边形 的面积为4.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）易得EG为△ABD的中位线，则EG=AB，EG∥AB，同理可得FH=AB，FH∥AB，推出EG=FH，EG∥FH，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2） 连接PE、AG、BH、DH，易得EG∥AB，则S△AEG=S△PEG，同理可得S△DEH=S△PEH，然后根据面积间的和差关系可得四边形AGHD的面积，由线段中点的概念可得BG=DG，则S△AEG=S△ADG，S△HEG=S△HDG，据此可得四边形ABHD的面积，进而求得四边形ABCD的面积.
23．（2021八下·南岸期末）已知，在 中， ，D是平面上一点，连接 ，把 绕点A逆时针旋转至点E，使 .连接 并延长，交 于点O，交 于点F.连接 和 ， 的延长线分别交 ， 于点P，G.
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若点F是 的中点， ，求证 ；
（3）在（2）的条件下，若G是 的中点，连接 .当 时，请直接写出 的周长.
【答案】（1）证明：∵把 绕点A逆时针旋转至点E，使 ，
∴AD=AE，∠DAB=∠EAC，
又∵ ，
∴ ，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BPG=∠APC，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵AD=AE，AB=AC， ，
∴∠ADE=∠AED=∠ABC=∠ACB，
∵ ，
∴∠ADE=∠BFD，
∴∠BFD=∠ACB，
∴DF∥AC，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴CF=AD=AE，
∵点F是 的中点，
∴AE=CF= ，即：AE= ；
（3）解： 的周长=3+ + = .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（3）解：连接AF，CD，
∵AD∥BF，AD=CF=BF，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，点F是 的中点，
∴AF⊥BC，
∴四边形AFBD是矩形，
∴BF=AD=3，
又∵AB=5，
∴BD=AF= ，
∵∠DBC=90°，BC=2×3=6，
∴CD=
∵G是 的中点，
∴GF是 的中位线，
∴GF= ，
∵点O是AB，DF的中点，
∴OG= ，OF= ，
∴ 的周长=3+ + = .
【分析】( 1 )利用SAS证明△DAB≌△EAC，得出∠ABD=∠ACE，结合三角形内角和定理，即可求出结论；
(2 )先推出DF∥AC，再推出DF∥AC，可得四边形ACFD是平行四边形，得出AE=CF，结合点F是的中点，即可得出结论；
(3)连接AF， CD，先证明四边形AFBD是矩形，利用勾股定理求出BD ， CD，再利用直角三角形斜边中线的性质求出GF，结合三角形中位线的性质即可求解.
24．（2021八下·锦州期末）（问题情境）
如图1，在 中， ，D是 边上一点，过点D作 交 于点E，以D为顶点， 为一边作 ，使其另一边与 边交于点F， 与 交于点G．
（1）求证：G是 的中点；
（2）M，N分别是 ， 的中点，连接 ，求证：点G在线段 上；
（3）（迁移拓展）
如图2，已知D是长为4的线段 上的动点（D不与A，B重合），分别以 ， 为边在线段 的同侧作等边 和等边 ，G为 的中点，连接 ．
①请直接写出 的最小值；（不要求写解题过程）
②请写出解题过程中需要的辅助线作法，并在图2中画出相应的辅助线．
【答案】（1）解：∵ ，
∴
∵
∴
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形
∵点G是平行四边形 对角线 ， 的交点
∴ ，即G是 的中点
（2）解：连接
∵M，N是 ， 的中点
∴ 是 的中位线
∴
∵M是 的中点，由（1）知G是 的中点，
∴ 是 的中位线．
∴ ．
∴M，N，G在同一直线上，（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）
即点G在 上．
（3）解：①
②如图所示，分别延长 ， 交于点C，连接 ．
∵ 和 是等边三角形．
∴
∴ ，∴ ， 是等边三角形．
∴四边形 是平行四边形， ．
∴ 与 互相平分．
∵G为 的中点，
∴G是 与 的交点，即G在 上．
∴G是 为中点，∴ ．
当 时， 的长最短
∵ 是等边三角形， ．
∴ ．
在 中，由勾股定理，得 ．
∴ ．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）证明四边形CEDF为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论即可；
（2）根据三角形的中位线定理解答即可；
（3）①写出GD的最小值；
②根据垂线段最短即可得到CD⊥AB时，CD最短，根据等边三角形的性质、勾股定理计算得到答案即可。
1 / 1初中数学北师大版八年级下册第六章第三节 三角形中位线 同步练习
一、单选题
1．（2019八上·毕节月考）Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ）
A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm
2．（2020八下·木兰期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
3．如图，在△ABC中，延长BC至点D，使得CD= BC，过AC的中点E作EF∥CD(点F位于点E右侧)，且EF=2CD，连结DF.若AB=8，则DF的长为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．3
4．（2021九上·大东期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（ ）
A．16 B．24 C．32 D．40
5．（2021八下·太平期末）如图，在平行四边形 中， ，点 ， 分别是 ， 的中点，则 等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．（2020八下·温州月考）如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有（ ）
A．3个 B．4n个 C．3n个 D．3n个
7．（2021八下·慈溪期中）如图，已知 OABC的顶点A，C分别在直线 和 上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2020八下·蚌埠月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．则下列结论：①ED⊥CA；②EF＝CG；③EH= EG；④S△EFD＝S△CEG成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2021八下·贵港期末）如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形的个数为 .
10．（2021八下·皇姑期末）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝ BC，CD＝BC，点E，F分别是BD，CD的中点，连接AE，EF，若BC＝2，则四边形AEFD的周长为 ．
11．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=3，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连结DF，EF，则EF的长为 。
12．（2021八下·双流期末）如图，点 ， 分别是 的边 ， 的中点，连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 .若EF=6，则 的长为 .
13．（2021八下·嘉兴期末）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE＝8，则GE＝ ．
14．（2020·河北模拟）如图，在四边形ABDC中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，并且E、F、G、H四点不共线．当AC＝6，BD＝8时，四边形EFGH的周长是 ．
15．（2020·开平模拟）有一边长为 的等边 游乐场，某人从边 中点 出发，先由点 沿平行于 的方向运动到 边上的点 ，再由 沿平行于 方向运动到 边上的点 ，又由点 沿平行于 方向运动到 边上的点 ，则此人至少要运动 ，才能回到点 ．如果此人从 边上意一点出发，按照上面的规律运动，则此人至少走 ，就能回到起点．
16．（2021八下·崇川月考）如图，已知 ，点 在边 上， ，过点 作 于点 ，以 为一边在 内作等腰直角三角形 ，点 是 围成的区域（不包括各边）内的一点，过点 作 交 于点 ，作 交 于点 ，设 ，则 取值范围是 .
三、解答题
17．（2021八下·仙居期末）证明三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．
（要求：画出图形，写出已知、求证和证明过程）
18．如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，连结DE，AD，点F在BA的延长线上，且AF=AB，连结EF，判断四边形ADEF的形状，并加以证明。
19．（2021八下·越秀期中）如图所示，已知AD是 的中线，DE∥AB，且DE=AB，连结AE，EC．求证：四边形ADCE是平行四边形．
20．（2020八下·广东月考） 的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证： ，且 ．
21．（2020八下·洪泽期中）如图，点D、E、F分别是AC、BC、AB中点，且
BD是△ABC的角平分线.求证：BE=AF.
四、综合题
22．（2021八下·兴化期末）如图1，在四边形 中， 、 、 、 分别是 、 、 、 的中点.
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如图2，延长 、 相交于点 ，连接 、 、 ，若 ，求四边形 的面积.
23．（2021八下·南岸期末）已知，在 中， ，D是平面上一点，连接 ，把 绕点A逆时针旋转至点E，使 .连接 并延长，交 于点O，交 于点F.连接 和 ， 的延长线分别交 ， 于点P，G.
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若点F是 的中点， ，求证 ；
（3）在（2）的条件下，若G是 的中点，连接 .当 时，请直接写出 的周长.
24．（2021八下·锦州期末）（问题情境）
如图1，在 中， ，D是 边上一点，过点D作 交 于点E，以D为顶点， 为一边作 ，使其另一边与 边交于点F， 与 交于点G．
（1）求证：G是 的中点；
（2）M，N分别是 ， 的中点，连接 ，求证：点G在线段 上；
（3）（迁移拓展）
如图2，已知D是长为4的线段 上的动点（D不与A，B重合），分别以 ， 为边在线段 的同侧作等边 和等边 ，G为 的中点，连接 ．
①请直接写出 的最小值；（不要求写解题过程）
②请写出解题过程中需要的辅助线作法，并在图2中画出相应的辅助线．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，
∴斜边= =10cm，
∴连接这两条直角边中点的线段长为 ×10=5cm.
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE= AC，同理 EF= BC，DF= AB，∴C△DEF=DE+EF+DF= （AC+BC+AB）= ×20=10．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的中位线定理得到线段的等量关系，再求出三角形的周长即可.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BC的中点G，连接EG，
∵E是AC的中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG=AB=4，
设CD=x，则EF=BC=2x，
∴BG=CG=x，
∴EF=2x=DG，
∴EF∥CD，
∴四边形EGDF是平行四边形，
∴DF=EG=4.
故答案为：B.
【分析】取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得求出EG的长，设CD=x，则则EF= BC= 2x，然后证明四边形EGDF是平行四边形，则可得出DF=EG，即可解答.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴AE=CE，AD=BD，DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=BC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ADE=∠ABC=90°，
在△MBD和△EDA中，，
∴△MBD≌△EDA，
∴MD=AE，DE=MB，
∵DE//MB，
∴四边形DMBE是平行四边形，
∴MD=BE，
∵AC＝18，BC＝14，
∴四边形DMBE的周长=2DE+2MD=BC+AC=18+14=32．
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形的性质求出BE，证明MD=BE，根据三角洲中位线定理得出DE//MB，MD=AE，DE=MB，根据平时四边形的判定定理和性质定理解答即可。
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；线段的中点；三角形的中位线定理
【解析】【解答】 四边形 是平行四边形
点 ， 分别是 ， 的中点
故答案为：C
【分析】根据题意，由平行四边形的性质，即可得到BC=AD=8。由中点的性质，结合三角形的中位线定理求出答案即可。
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；探索图形规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：图（1）中， A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点 ，
∴A1B1∥AB ，B1C1 ∥BC，A1C1 ∥AC，，
∴四边形AC1A1B1C1 ，A1B1C1B，A1CB1C1是平行四边形，共有3=3×1个；
图（2）中，同理可得AC1A1B1C1 ，A1B1C1B，A1CB1C1， A1C2B2C1分 A2B2A1C2分A2B2C2B1是平行四边形，共有6=2×3个；
···，依次规律，可得第n个图形中平行四边形的个数为3n个.
故答案为：D.
【分析】利用三角形中位线定理可得A1B1∥AB ，B1C1 ∥BC，A1C1∥AC，根据平行四边形的判定可得图（1）共有3=3×1个平行四边形，同理可得图（2）中共有6=2×3个平行四边形，据此规律可得第n个图形中平行四边形的个数为3n个.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC.
∵直线x=1与直线x=4均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD.
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC.
在△OAF和△BCD中，∠FOA=∠DBC，OA=BC，∠OAF=∠BCD，
∴△OAF≌△BCD，
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
由于OE的长不变，所以当BE最小时，OB取得最小值，最小值为OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得四边形ANCM是平行四边形，进而推出∠FOA=∠DBC，然后证明△OAF≌△BCD，求出OE的值，由OB=知BE最小时，OB取得最小值，据此解答即可.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接FG，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD
∵BD＝2AD
∴OD＝AD
∵点E为OA中点
∴ED⊥CA，故①符合题意；
∵E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，
∴EF∥AB，EF＝ AB，S△OEF＝ S△AOB，
∵∠CED＝90°，CG＝DG＝ CD
∴EG＝ CD
∴EF＝EG，故②符合题意；
∵EF∥CD，EF＝DG
∴四边形DEFG是平行四边形
∴EH＝HG
即 ，故③符合题意；
∵S△AOB＝S△AOD＝ S ABCD，S△ACD＝ S ABCD，
∴S△OEF＝ S ABCD，
∵AE＝OE
∴S△ODE＝ S△AOD＝ S ABCD，
∴S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝ S ABCD+ S ABCD＝ S ABCD，
∵
∴CE＝ AC
∴S△CDE＝ S△ACD＝ S ABCD，
∵CG＝DG
∴S△CEG＝ S△CDE＝ S ABCD，
∴S△EFD＝S△CEG，故④符合题意；
故答案为：D．
【分析】由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF＝ AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG＝ CD，即可得EF＝EG；连接EG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得 ；由三角形中位线定理可证得S△OEF＝ S△AOB，进而可得S△EFD＝S△OEF+S△ODE＝ S ABCD+ S ABCD＝ S ABCD，再根据E、G分别是OA、CD中点，可得S△CEG＝ S△CDE＝ S ABCD，即可得S△EFD＝S△CEG．
9．【答案】3
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC三边的中点
∴DE∥AF，DF∥EC，DF∥BE且DE=AF，DF=EC，DF=BE
∴四边形ADEF、DECF、DFEB分别为平行四边形
故答案为3.
【分析】由题意可得DE、DF、EF分别为△ABC的中位线，则DE∥AF，DF∥EC，DF∥BE且DE=AF，DF=EC，DF=BE，据此解答.
10．【答案】4
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AD= BC，BC=2，
∴AD=1，
∵E、F分别是BD、CD上的中点，BC=2，
∴EF∥BC，EF= BC=1，
∵AD∥BC，
∴EF∥AD，EF=AD，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵CD=BC，BC=2，
∴CD=2，
∵点F是CD的中点，
∴DF=1，
∴四边形AEFD的周长=2×（1+1）=4，
故答案为：4．
【分析】根据三角形的中位线定理得到EF∥BC，FE=BC=1，证明四边形AEFD为平行四边形，根据平行四边形的周长公式计算得到答案即可。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连结DE，CD.
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴DE∥CF.
∵CF=BC，∴DE=CF，
四边形DCFE是平行四边形，
∴EF=CD
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=3，
CD===，
∴EF=CD=
故答案为：.
【分析】 连结DE，CD，利用已知可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得DE∥BC，DE=BC，由此可推出DE=CF，DE∥CF，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形DCFE是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得EF=CD；再利用勾股定理求出CD的长，即可求出EF的长.
12．【答案】3
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵点 ， 分别是 ， 的中点
∴DE为△ABC的中位线
∴DE∥BC，DE= BC
∴EF∥BC
∵CF∥BE
∴四边形BCFE为平行四边形
∴BC=EF=6
∴DE= BC=3
故答案为：3
【分析】 利用已知易证DE为△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可得DE∥BC，DE= BC；再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形BCFE为平行四边形，利用平行四边形的性质可求出BC的长，即可得到DE的长.
13．【答案】2
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取EB的中点H，连接FH、CH，
∵F为AE的中点，
∴FG∥AB，FG=AB，
∵EC=CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，CD=AB，
∴EC=FH，EC∥FH，
∴四边形EFHC为平行四边形，
∴EG=GH=BE=2，
故答案为：2.
【分析】取EB的中点H，连接FH、CH，根据中位线定理得出FG∥AB，FG=AB，然后再结合平行四边形的性质，证出四边形EFHC为平行四边形，最后根据平行四边形的对角线互相平分的性质，即可求出GE的长.
14．【答案】14
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵F，G分别为BC，CD的中点，
∴FG＝ BD＝4，FG∥BD，
∵E，H分别为AB，DA的中点，
∴EH＝ BD＝4，EH∥BD，
∴FG∥EH，FG＝EH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴EF＝GH＝ AC＝3，
∴四边形EFGH的周长＝3+3+4+4＝14，
故答案为：14
【分析】根据三角形中位线定理得到FG∥EH，FG＝EH，根据平行四边形的判定定理和周长解答即可．
15．【答案】15；30
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】当P为中点时，由运动的规律可知： ，
∴P1、P2分别为AC、BC中点，
∴此时运动的路程为三角形三条中位线的和，即 (m)；
当点P为AB边上任意一点时，由运动的规律可知：
，即P6与P重合，
∴经过6次转向就回到了点P，此时四边形PP1P2B、四边形AP1P2P3、四边形P2P3P4C、四边形P3P4P5B、四边形PP1CP5都是平行四边形，
∴PP1+P1P2+P2P3+P3P4+P4P5+P5P
=BP2+AP3+AP1+CP2+BP3+CP1
=AB+AC+BC
=30(m)．
故答案为：15；30．
【分析】根据中位线的性质及平行四边形的判定与性质即可求出结果．
16．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点P做 交于点H，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形ODPE是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点P是 围成的区域（先考虑包括各边）内的一点，
结合图形，当点P在AC上时， 取最小值；当点P与点B重合时， 取最大值；
当点P在AC上时， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴最小值 ；
当点P与点B重合时，如下图，AC和BD相交于点G，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵等腰直角三角形ABC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴GB是等腰直角三角形ABC的角平分线，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴ 是 的中位线，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴最大值 ，
点 是 围成的区域（不包括各边）内的一点，
∴ .
故答案为： .
【分析】过点P作PH⊥OY交于点H，易证四边形ODPE是平行四边形，进而得到OD+2OE=2OH，结合图形可得当点P在AC上时，OH取最小值；当点P与点B重合时，OH取最大值；当点P在AC上时，OH=OC，易得OC=2，据此可得OD+2OE的最小值；当点P与点B重合时，AC和BD相交于点G，易得AC的值，然后根据等腰直角三角形的性质可推出GB是等腰直角三角形ABC的角平分线，求出BG的值，根据中位线的概念可求得DB的值，进而得到EB、OE、OH的值，据此可得OD+2OE的最大值.
17．【答案】解：已知：如图点D、E分别是⊿ABC的边AB，AC的中点，连接DE
求证： DE∥BC，且DE= BC
证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接FC，DC，AF
∴四边形ADCF是平行四边形
∴CF∥AD且CF=AD
∴CF∥BD且CF=BD
∴四边形BDFC是平行四边形
∴DF∥BC且DF=BC
又∵DE= DF
∴DE∥BC，且DE= BC
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】延长DE到F，使EF=DE，连接FC、DC、AF，先由题意即可得到四边形ADCF是平行四边形，进而根据平行四边形的性质结合即可即可得到CF∥BD且CF=BD，再根据平行四边形的判定即可得到四边形BDFC是平行四边形，最后证明DE∥BC，且DE= BC即可求解.
18．【答案】解：四边形ADEF是平行四边形.
证明：∵D，E分别是边BC，AC的中点，
DE∥AB，DE=AB.
又AF=AB，∴DE=AF，
四边形ADEF是平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】利用已知条件可证得DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理可证得 DE∥AB，DE=AB，由此可推出DE=AF，再来呀有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论.
19．【答案】证明：∵DE∥AB，且DE=AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，AE∥BC，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 证明四边形ABDE是平行四边形， 可得AE=BD，AE∥BC，由已知得出BD=CD，从而可得AE=CD，利用一组对边平行且相等即证四边形ADCE是平行四边形．
20．【答案】证明：连接DE，FG，
，CE是 的中位线，
，E是AB，AC的中点，
， ，
同理： ， ，
， ，
四边形DEFG是平行四边形，
， ．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接DE，FG，利用三角形的中位线的性质得到DE//FG，DE=FG，证出四边形DEFG是平行四边形，再利用平行四边形的性质得到 ，且 ．
21．【答案】证明:连接DE,
∵点D,E,F分别是AC、BC、AB中点，
∴DE∥AB,EF∥AC,
∴四边形ADEF是平行四边形,
∴AF=DE
∵ BD是△ABC的角平分线.
∴∠ABD=∠DBE.
∴∠DBE=∠BDE,
∴BE=DE,
∴BE=AF
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】首先连接DE，然后根据三角形中位线的性质得出四边形ADEF为平行四边形，然后得出AF=DE，然后根据角平分线的性质以及平行四边形的性质得出BE=DE，从而得出AF=BE.
22．【答案】（1）证明： 分别是 的中点，
，
同理可得： ，
，
四边形 是平行四边形
（2）解：如图，连接 ，
分别是 的中点，
，
（同底等高），
同理可得： ，
，
又 是 的中点，
，
（等底同高），
，
同理可得： ，
即四边形 的面积为4.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）易得EG为△ABD的中位线，则EG=AB，EG∥AB，同理可得FH=AB，FH∥AB，推出EG=FH，EG∥FH，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2） 连接PE、AG、BH、DH，易得EG∥AB，则S△AEG=S△PEG，同理可得S△DEH=S△PEH，然后根据面积间的和差关系可得四边形AGHD的面积，由线段中点的概念可得BG=DG，则S△AEG=S△ADG，S△HEG=S△HDG，据此可得四边形ABHD的面积，进而求得四边形ABCD的面积.
23．【答案】（1）证明：∵把 绕点A逆时针旋转至点E，使 ，
∴AD=AE，∠DAB=∠EAC，
又∵ ，
∴ ，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BPG=∠APC，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵AD=AE，AB=AC， ，
∴∠ADE=∠AED=∠ABC=∠ACB，
∵ ，
∴∠ADE=∠BFD，
∴∠BFD=∠ACB，
∴DF∥AC，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴CF=AD=AE，
∵点F是 的中点，
∴AE=CF= ，即：AE= ；
（3）解： 的周长=3+ + = .
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（3）解：连接AF，CD，
∵AD∥BF，AD=CF=BF，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，点F是 的中点，
∴AF⊥BC，
∴四边形AFBD是矩形，
∴BF=AD=3，
又∵AB=5，
∴BD=AF= ，
∵∠DBC=90°，BC=2×3=6，
∴CD=
∵G是 的中点，
∴GF是 的中位线，
∴GF= ，
∵点O是AB，DF的中点，
∴OG= ，OF= ，
∴ 的周长=3+ + = .
【分析】( 1 )利用SAS证明△DAB≌△EAC，得出∠ABD=∠ACE，结合三角形内角和定理，即可求出结论；
(2 )先推出DF∥AC，再推出DF∥AC，可得四边形ACFD是平行四边形，得出AE=CF，结合点F是的中点，即可得出结论；
(3)连接AF， CD，先证明四边形AFBD是矩形，利用勾股定理求出BD ， CD，再利用直角三角形斜边中线的性质求出GF，结合三角形中位线的性质即可求解.
24．【答案】（1）解：∵ ，
∴
∵
∴
∵ ， ， ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形
∵点G是平行四边形 对角线 ， 的交点
∴ ，即G是 的中点
（2）解：连接
∵M，N是 ， 的中点
∴ 是 的中位线
∴
∵M是 的中点，由（1）知G是 的中点，
∴ 是 的中位线．
∴ ．
∴M，N，G在同一直线上，（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）
即点G在 上．
（3）解：①
②如图所示，分别延长 ， 交于点C，连接 ．
∵ 和 是等边三角形．
∴
∴ ，∴ ， 是等边三角形．
∴四边形 是平行四边形， ．
∴ 与 互相平分．
∵G为 的中点，
∴G是 与 的交点，即G在 上．
∴G是 为中点，∴ ．
当 时， 的长最短
∵ 是等边三角形， ．
∴ ．
在 中，由勾股定理，得 ．
∴ ．
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）证明四边形CEDF为平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论即可；
（2）根据三角形的中位线定理解答即可；
（3）①写出GD的最小值；
②根据垂线段最短即可得到CD⊥AB时，CD最短，根据等边三角形的性质、勾股定理计算得到答案即可。
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