2.3.3 直线与平面和平面与平面垂直的性质 学案（含答案）

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直线与平面和平面与平面垂直的性质
【学习目标】
1.掌握空间中线面、面面垂直的性质定理.
2.能够运用线面、面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.
3.理解线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系．
知识点一　直线与平面垂直的性质定理
思考　在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？21cnjy.com
答案　平行．
梳理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言 a∥b
图形语言
知识点二　平面与平面垂直的性质定理
思考　黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
答案　容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．21教育网
梳理
文字语言 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a α，a⊥l a⊥β
图形语言
类型一　直线与平面垂直的性质定理
例1　如图所示，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.
证明　如图，连接AB1，B1C，BD，B1D1.
∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，
∴AC⊥平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理，BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
反思与感悟　证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．
跟踪训练1　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A、B，a α，a⊥AB.求证：a∥l.
证明　∵PA⊥α，l α，∴PA⊥l.
同理PB⊥l.
∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a α，∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.
类型二　平面与平面垂直的性质定理及应用
例2　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥AB.
证明　如图，在平面PAB内，
作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.
反思与感悟　证明线面垂直 ( http: / / www.21cnjy.com )，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练2　如图所示，P是四边形ABCD所在 ( http: / / www.21cnjy.com )平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．21·cn·jy·com
求证：(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
证明　(1)平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G，
∴AD⊥平面PBG，又PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
类型三　垂直关系的综合应用
例3　如图，在四棱锥P－ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：www.21-cn-jy.com
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明　(1)∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD.2·1·c·n·j·y
(2)∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD.【来源：21·世纪·教育·网】
又AD 平面PAD，BE 平面PAD，∴BE∥平面PAD.
(3)在平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD. ①
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD.
再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，
∴CD⊥EF. ②
而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF.
由于CD 平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.
反思与感悟　(1)证明线 ( http: / / www.21cnjy.com )面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．(2)利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练3　如图，在三棱锥V ( http: / / www.21cnjy.com )－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．21世纪教育网版权所有
(1)求证：VB∥平面MOC；
(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；
(3)求三棱锥V－ABC的体积．
(1)证明　∵O，M分别为AB，VA的中点，
∴OM∥VB.
∵VB 平面MOC，OM 平面MOC，
∴VB∥平面MOC.
(2)证明　∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.
又∵平面VAB⊥平面ABC，且平面VAB∩平面ABC＝AB，OC 平面ABC，∴OC⊥平面VAB.
∵OC 平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB.
(3)解　在等腰直角△ACB中，AC＝BC＝，
∴AB＝2，OC＝1，
∴S△VAB＝AB2＝.
∵OC⊥平面VAB，
∴VC－VAB＝OC·S△VAB＝×1×＝，
∴VV－ABC＝VC－VAB＝.
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