3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 学案（含答案）

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两条直线平行与垂直的判定
【学习目标】
1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.
2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直.
3.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题．
知识点一　两条直线平行的判定
思考1　如图，设对于两条不重合的 ( http: / / www.21cnjy.com )直线l1与l2，其倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？21教育网
答案　α1与α2之间的关系为α1＝ ( http: / / www.21cnjy.com )α2；对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，因为α1＝α2，所以tan α1＝tan α2，即k1＝k2.当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在．21cnjy.com
思考2　对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？
答案　一定有l1∥l2.因为k1＝k2 tan α1＝tan α2 α1＝α2 l1∥l2.
梳理
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2 k1＝k2 l1∥l2 两直线斜率都不存在
图示
知识点二　两条直线垂直的判定
思考1　如图，设直线l1与l2的 ( http: / / www.21cnjy.com )倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，且α1<α2，若l1⊥l2，α1与α2之间有什么关系？为什么？21·cn·jy·com
答案　α2＝90°＋α1，因为三角形任意一外角等于与它不相邻两内角之和．
思考2　已知tan(90°＋α)＝－，据此，如何推出思考1中两直线的斜率k1、k2之间的关系？
答案　因为α2＝90°＋α1，
所以tan α2＝tan(90°＋α1)，
由于tan(90°＋α)＝－，tan α2＝－，
即tan α2tan α1＝－1，
所以k1·k2＝－1.
思考3　如果两直线的斜率存在且满足k1·k2＝－1，是否一定有l1⊥l2？如果l1⊥l2，一定有k1·k2＝－1吗？为什么？www.21-cn-jy.com
答案　当k1·k2＝－1时，一定有l1⊥l2.
不妨设k2<0，即α2为钝角，因为k1·k2＝－1，
则有tan α2tan α1＝－1，
所以tan α2＝－＝tan(90°＋α1)，
则α2＝90°＋α1，所以l1⊥l2.
当l1⊥l2时，不一定有k1·k2＝－1，
因为如果直线l1和l2分别平行于x轴、y轴，
则k2不存在，所以k1·k2＝－1不成立．
梳理　
图示
对应关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在) k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0 l1⊥l2
类型一　两条直线平行的判定
例1　下列直线l1与直线l2平行的有________．
①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)；
④l1经过点E(－3,2)，F(－3,10)，l2经过点P(5，－2)，Q(5,5)．
答案　①③④
解析　①∵kAB＝＝－，kCD＝＝－，
∴kAB＝kCD，∴l1∥l2.
②∵＝＝1≠＝2，
∴l1不平行于l2.
③∵＝tan 60°＝，＝＝，
∴，∴l1∥l2.
④l1，l2斜率均不存在且不重合，∴l1∥l2.
反思与感悟　 判断两条不同的直线是否平行的方法
跟踪训练1　已知A(1，－)，B(0，－)，C(2－2a,1)，D(－a,0)四点，当a为何值时，直线AB和直线CD平行．2·1·c·n·j·y
解　kAB＝＝－，
kCD＝＝(a≠2)．
由kAB＝kCD，得－＝，即a2－2a－3＝0.
∴a＝3或a＝－1.
当a＝3时，kAB＝－1，kBD＝＝－≠kAB，
∴AB与CD平行．
当a＝－1时，kAB＝，kBC＝＝，kCD＝＝，
∴AB与CD重合．
当2－2a＝－a，即a＝2时，kAB＝－，kCD不存在．
∴AB和CD不平行，
∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行．
类型二　两条直线垂直的判定
例2　已知三点A(5，－1)，B(1,1)，C(2,3)．
求证：△ABC是直角三角形．
证明　由斜率公式得：kAB＝＝－，kBC＝＝2，kAC＝＝－.
因为kAB·kBC＝－×2＝－1，所以AB⊥BC，
所以△ABC是直角三角形．
反思与感悟　使用斜率公式判定两直线垂直的步骤
(1)一看：看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步．
(2)二代：将点的坐标代入斜率公式．
(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论．
跟踪训练2　已知定点A(－1,3)，B(4,2)，以A，B为直径作圆，与x轴有交点C，求交点C的坐标．
解　以线段AB为直径的圆与x轴的交点为C.
则AC⊥BC，设C(x,0)，
则kAC＝，kBC＝，所以·＝－1.
所以x＝1或2，所以交点C的坐标为(1,0)或(2,0)．
类型三　垂直与平行的综合应用
例3　已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1,2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．
解　①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1)．
②若∠A＝∠B＝90°，如图(2)．
设A(a，b)，则kBC＝－3，kAD＝，kAB＝.
由AD∥BC kAD＝kBC，即＝－3； ①
由AB⊥BC kAB·kBC＝－1，即·(－3)＝－1. ②
解①②得故A(，－)．
综上所述：A点坐标为(1，－1)或.
引申探究
本例中若将条件“四边形ABCD为直角梯形”改为AC∥BD，AB∥CD，求A点坐标．
解　设A(x，y)，由AC∥BD，AB∥CD，
可得kAC＝kBD，kAB＝kCD，
即得∴A(10，－1)．
反思与感悟　有关两条直线垂直与平行 ( http: / / www.21cnjy.com )的综合问题，一般是根据已知条件列方程(组)求解．如果涉及到有关四边形已知三个顶点求另外一个顶点，注意判断图形是否唯一，以防漏解．21世纪教育网版权所有
跟踪训练3　已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．
解　设第四个顶点D的坐标为(x，y)，
因为AD⊥CD，AD∥BC，
所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC.
所以解得
所以第四个顶点D的坐标为(2,3)．
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