3.2.1 直线的点斜式方程 学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
直线的点斜式方程
【学习目标】
1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.
3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．
知识点一　直线的点斜式方程
思考1　如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？21世纪教育网版权所有
答案　由斜率公式得k＝，
则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)．
思考2　经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？
答案　斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0.
梳理　
点斜式
已知条件 点P(x0，y0)和斜率k
图示
方程形式 y－y0＝k(x－x0)
适用条件 斜率存在
知识点二　直线的斜截式方程
思考1　已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？
答案　将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b.
思考2　方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？
答案　y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零．
思考3　对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
①l1∥l2 k1＝k2且b1≠b2，
②l1⊥l2 k1k2＝－1.
梳理
斜截式
已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程式 y＝kx＋b
适用条件 斜率存在
类型一　直线的点斜式方程
例1　写出下列直线的点斜式方程．
(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；
(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；
(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直．
解　(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．
(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0.
(3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．
反思与感悟　(1)求直线的点斜式方程
(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外．
跟踪训练1　(1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________．
(2)直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程是________．
(3)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________．
答案　(1)x＝－3　(2)y－3＝－(x－1)
(3)y＋2＝(x＋1)
解析　(1)∵直线与y轴平行，∴该直线斜率不存在，
∴直线方程为x＝－3.
(2)由题意知，直线l与直线y＝2x＋1垂直，则直线l的斜率为－.
由点斜式方程可得l的方程为y－3＝－(x－1)．
(3)∵直线l2的方程为y＝x，
设其倾斜角为α，则tan α＝，∴α＝30°，
那么直线l1的倾斜角为2×30°＝60°，
则l1的点斜式方程为
y＋2＝tan 60°(x＋1)，即y＋2＝(x＋1)．
类型二　直线的斜截式方程
例2　(1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是__________．
(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．21教育网
(1)答案　y＝x＋3或y＝x－3
解析　∵直线的倾斜角是60°，
∴其斜率k＝tan 60°＝，
∵直线与y轴的交点到原点的距离是3，
∴直线在y轴上的截距是3或－3，
∴所求直线方程是y＝x＋3或y＝x－3.
(2)解　由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，
又因为l∥l1，所以kl＝－2，
由题意知l2在y轴上的截距为－2，
所以直线l在y轴上的截距b＝－2，
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
引申探究
本例(2)中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求l的方程．21cnjy.com
解　∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，∴l的斜率为，
∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，
直线l2：y＝4x－2，∴l在y轴上的截距为2，
∴直线l的方程为y＝x＋2.
反思与感悟　(1)斜截式方程的应用前 ( http: / / www.21cnjy.com )提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．21·cn·jy·com
(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．www.21-cn-jy.com
跟踪训练2　已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．
解　设直线方程为y＝x＋b，则当x＝0时，y＝b；
y＝0时，x＝－6b.由已知可得·|b|·|－6b|＝3，
即6|b|2＝6，∴b＝±1.
故所求直线l的斜截式方程为y＝x＋1或y＝x－1.
类型三　平行与垂直的应用
例3　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：
y＝(a2－2)x＋2平行？
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
解　(1)由题意可知，＝－1，＝a2－2，
∵l1∥l2，∴解得a＝－1.
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：
y＝(a2－2)x＋2平行．
(2)由题意可知，＝2a－1，＝4，∵l1⊥l2，
∴4(2a－1)＝－1，解得a＝.
故当a＝时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：
y＝4x－3垂直．
反思与感悟　设直线l1和l2的斜 ( http: / / www.21cnjy.com )率k1，k2都存在，其方程分别为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，那么：(1)l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2；(2)k1＝k2，且b1＝b2 两条直线重合；(3)l1⊥l2 k1·k2＝－1.【来源：21·世纪·教育·网】
跟踪训练3　已知直线l：y＝(a2－2)x＋2a＋9与直线y＝－x＋1垂直，且与直线y＝3x＋5在y轴上的截距相同，求a的值．2·1·c·n·j·y
解　由题意知：(a2－2)×(－)＝－1，解得a＝±2.
经检验知a＝－2符合题意．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)