3.2.2 直线的两点式方程 学案（含答案）

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直线的两点式方程
【学习目标】
1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.
2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.
3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．
知识点一　直线方程的两点式
思考1　已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，求通过这两点的直线方程．
答案　y－y1＝(x－x1)，
即＝.
思考2　过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？
答案　不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．
梳理　
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 ＝ 斜率存在且不为0
知识点二　直线方程的截距式
思考1　过点(5,0)和(0,7)的直线能用＋＝1表示吗？
答案　能．由直线方程的两点式得＝，
即＋＝1.
思考2　已知两点P1(a,0)，P2(0，b)，其中a≠0，b≠0，求通过这两点的直线方程．
答案　由直线方程的两点式，得＝，
即＋＝1.
梳理
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 ＋＝1 斜率存在且不为0，不过原点
知识点三　线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则
类型一　直线的两点式方程
例1　已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
解　(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，
故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
(2)设BC的中点M(a，b)，
则a＝＝，b＝＝－3，所以M(，－3)，
又BC边的中线过点A(－3,2)，
所以＝，即10x＋11y＋8＝0，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
引申探究
若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程．
解　kBC＝＝－，
则BC的垂直平分线的斜率为，
又BC的中点坐标为(，－3)，
由点斜式方程可得y＋3＝(x－)，
即10x－4y－37＝0.
反思与感悟　(1)当已知两点坐标，求过 ( http: / / www.21cnjy.com )这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．21世纪教育网版权所有
(2)由于减法的顺序性，一般用 ( http: / / www.21cnjy.com )两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标．
跟踪训练1　若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
答案　－2
解析　由直线方程的两点式得＝，
即＝.
∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，
∵点P(3，m)在直线AB上，
∴m＋1＝－3＋2，得m＝－2.
类型二　直线的截距式方程
例2　过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是(　　)
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
答案　A
解析　设所求的直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由于过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于6，因此有解得a＝2，b＝6，
故所求直线的方程为3x＋y－6＝0，故选A.
反思与感悟　求解此类题需过双关：一是待定系数 ( http: / / www.21cnjy.com )法关，即根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)的直线方程常设为＋＝1；二是方程(组)思想关，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值．21教育网
跟踪训练2　直线l过点P(，2)，且与两坐标正半轴围成的三角形周长为12，求直线l的方程．
解　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由题意知，a＋b＋＝12.
又因为直线l过点P(，2)，所以＋＝1，
即5a2－32a＋48＝0，解得
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0
或15x＋8y－36＝0.
例3　过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有(　　)
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数多条
答案　B
解析　当截距都为零时满足题意要求，直线为y＝－x，
当截距不为零时，设直线方程为＋＝1，
∴∴或
即直线方程为＋＝1或＋＝1，
∴满足条件的直线共有3条．故选B.
反思与感悟　如果题目中出现 ( http: / / www.21cnjy.com )直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况．21·cn·jy·com
跟踪训练3　过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有(　　)
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数多条
答案　B
解析　设直线的两截距都是a，则有
①当a＝0时，直线设为y＝kx，将P(2,3)代入得k＝，
∴直线l的方程为3x－2y＝0；
②当a≠0时，直线设为＋＝1，即x＋y＝a，
把P(2,3)代入得a＝5，
∴直线l的方程为x＋y＝5.
∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
类型三　直线方程的应用
例4　设直线l的方程为y＝(－a－1)x＋a－2.
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0，
∴a－2＝0，∴a＝2，此时直线方程为3x＋y＝0；
当直线不过原点时，a≠2，由＝a－2，得a＝0，
直线方程为x＋y＋2＝0.
故所求的直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)由l的方程为y＝－(a＋1)x＋a－2，欲使l不经过第二象限，
当且仅当解得a≤－1.
故所求的a的取值范围为(－∞，－1]．
反思与感悟　(1)由直线方程求出直线在两坐标轴上的截距应先分类讨论，再列方程求解．
(2)根据斜率和截距的取值列式求解．
跟踪训练4　已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程．21cnjy.com
解　直线AB的斜率kAB＝＝－，过点A(－5,0)，
∴直线AB的点斜式方程为y＝－(x＋5)，
即所求的斜截式方程为y＝－x－.
同理，直线BC的方程为y－2＝－x，即y＝－x＋2.
直线AC的方程为y－2＝x，即y＝x＋2.
∴直线AB，BC，AC的斜截式方程分别为y＝－x－，y＝－x＋2，y＝x＋2.
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