3.2.3 直线的一般式方程 学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
直线的一般式方程
【学习目标】
1.掌握直线的一般式方程.
2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．
知识点一　直线的一般式方程
思考1　直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示吗？21cnjy.com
答案　能．
思考2　关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？
答案　一定．
思考3　当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示怎样的直线？B＝0呢？
答案　当B≠0时，由Ax＋By＋C＝0，得y＝－x－，所以该方程表示斜率为－，在y轴上截距为－的直线；21·世纪*教育网
当B＝0时，A≠0，由Ax＋By＋C＝0，得x＝－，
所以该方程表示一条垂直于x轴的直线．
梳理　直线的一般式方程
形式 Ax＋By＋C＝0
条件 A，B不同时为0
知识点二　直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
梳理　
形式 方程 局限
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线
斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线
两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2
截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0 无
类型一　直线的一般式方程
例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点A(5,3)；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(3)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(4)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1.
解　(1)由直线方程的点斜式得y－3＝(x－5)，
即x－y－5＋3＝0.
(2)由斜截式得直线方程为y＝4x－2，
即4x－y－2＝0.
(3)由两点式得＝，
即2x＋y－3＝0.
(4)由截距式得直线方程为＋＝1，
即x＋3y＋3＝0.
反思与感悟　(1)当A≠0时，方 ( http: / / www.21cnjy.com )程可化为x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值，因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．21教育网
(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．21·cn·jy·com
跟踪训练1　根据条件写出下列直线的一般式方程：
(1)斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为________________；
(2)经过点B(4,2)，且平行于x轴的直线方程为________________；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为________________；
(4)经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为________________．
答案　(1)x＋2y＋4＝0　(2)y－2＝0　(3)2x－y－3＝0　(4)x＋y－1＝0
例2　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________；
(2)若直线l的斜率为1，则m＝________.
答案　(1)－　(2)－2
解析　(1)令y＝0，则x＝，
∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．
∴m＝－.
(2)由直线l化为斜截式方程
得y＝x＋，
则＝1，
得m＝－2或m＝－1(舍去)．
∴m＝－2.
反思与感悟　(1)方程Ax＋By＋C＝0表示直线，需满足A，B不同时为0.
(2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式．www.21-cn-jy.com
(3)解分式方程注意验根．
跟踪训练2　若方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足______．
答案　a≠－2
解析　由得a＝－2，
∵方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，
∴a≠－2.
类型二　由直线方程的一般式研究直线的平行与垂直
例3　(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？
解　方法一　(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，
l2：mx＋3y－2＝0知：
①当m＝0时，显然l1与l2不平行．
②当m≠0时，l1∥l2，需＝≠.
解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.
(2)由题意知，直线l1⊥l2.
①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直．
②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直．
③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－.
当l1⊥l2时，k1·k2＝－1，
即(－)·(－)＝－1，
∴a＝－1.
综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
方法二　(1)令2×3＝m(m＋1)，
解得m＝－3或m＝2.
当m＝－3时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
同理当m＝2时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，
显然l1与l2不重合，∴l1∥l2.
∴m的值为2或－3.
(2)由题意知直线l1⊥l2，
∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，
解得a＝±1，
将a＝±1代入方程，均满足题意．
故当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2.
反思与感悟　对于由直线的位置关系求参数 ( http: / / www.21cnjy.com )的问题，有下列结论：设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，2·1·c·n·j·y
则l1∥l2
l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
跟踪训练3　已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下列条件的a的值．
(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.
解　(1)∵l1∥l2，∴
解得a＝2.
(2)a×3＋2×(a＋1)＝0，得a＝－.
例4　已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
解　方法一　(1)l的方程可化为y＝－x＋3，
∴l的斜率为－.
∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.
又∵l′过点(－1,3)，由点斜式知方程为
y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，
又l′过点(－1,3)，由点斜式可得方程为
y－3＝(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.
方法二　(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．
将(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
反思与感悟　一般地，直线Ax＋By＋C ( http: / / www.21cnjy.com )＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧．21世纪教育网版权所有
跟踪训练4　已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.
求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．
解　(1)将与直线l平行的直线方程设为3x＋4y＋C1＝0，又过点A(2,2)，所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.【来源：21·世纪·教育·网】
所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，
又过点A(2,2)，所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，
所以直线方程为4x－3y－2＝0.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)