3.3.2 点到直线与两条平行直线间的距离 学案（含答案）

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点到直线与两条平行直线间的距离
【学习目标】
1.了解点到直线距离公式的推导方法.
2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.
3.初步掌握用解析法研究几何问题．
知识点一　点到直线的距离
思考1　如图，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离d同线段PS，PR，RS间存在什么关系？21世纪教育网版权所有
答案　d＝.
思考2　根据思考1的思路，点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离d怎样用A，B，C及x0，y0表示？
答案　d＝.
思考3　点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？
答案　仍然适用，①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0，
即y＝－，d＝|y0＋|＝，适合公式．
②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0，x＝－，d＝|x0＋|＝，适合公式．
梳理　点到直线的距离
(1)定义：点到直线的垂线段的长度．
(2)图示：
(3)公式：d＝.
知识点二　两条平行直线间的距离
思考　直线l1：x＋y－1 ( http: / / www.21cnjy.com )＝0上有A(1,0)、B(0,1)、C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A、B、C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？21教育网
答案　点A、B、C到直线l2的距离分别为、、.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．21cnjy.com
梳理　两条平行直线间的距离
(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长．
(2)图示：
(3)求法：转化为点到直线的距离．
(4)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
类型一　点到直线的距离
例1　(1)求点P(2，－3)到下列直线的距离．
①y＝x＋；②3y＝4；③x＝3.
解　①y＝x＋可化为4x－3y＋1＝0，
点P(2，－3)到该直线的距离为
＝；
②3y＝4可化为3y－4＝0，
由点到直线的距离公式得＝；
③x＝3可化为x－3＝0，
由点到直线的距离公式得＝1.
(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程．
解　方法一　当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x＝－1，
恰好与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，
故x＝－1满足题意，
当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，
设l的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋2＝0.
由点A(2,3)与B(－4,5)到直线l的距离相等，得
＝，解得k＝－，
此时l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
综上所述直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
方法二　由题意得l∥AB或l过AB的中点，
当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，
直线l的斜率为kl，则kAB＝kl＝＝－，
此时直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
反思与感悟　(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题：
①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．21·cn·jy·com
(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．
跟踪训练1　(1)若点(4，a)到直线4x－3y＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________________．
(2)已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为______．
答案　(1)[，]　(2)2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0
解析　(1)由题意知≤3，
解得≤a≤，故a的取值范围为[，]．
(2)过点P(3,4)且斜率不存在时的直线x＝3与A、B两点的距离不相等，
故可设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
由已知得＝，
∴k＝2或k＝－，
∴所求直线l的方程为
2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.
类型二　两平行线间的距离
例2　(1)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为_________．
(2)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为________________．
答案　(1)　(2)2x－y＋1＝0
解析　(1)由题意，得＝，∴m＝2，
将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
由两平行线间距离公式，得＝＝.
(2)设直线l的方程为2x－y＋c＝0，
由题意，得＝，解得c＝1，
∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思与感悟　求两平行线间的距离，一般 ( http: / / www.21cnjy.com )是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．www.21-cn-jy.com
跟踪训练2　(1)求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程；
(2)两平行直线l1，l2分别过P1(1,0)，P2(0,5)，若l1与l2的距离为5，求两直线方程．
解　(1)方法一　设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，)，
则点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为
＝，
由题意，得＝2，所以C＝32或C＝－20，
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
方法二　设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0，
由两平行直线间的距离公式得2＝，
解得C＝32或C＝－20，
故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
(2)依题意，两直线的斜率都存在，
设l1：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，
l2：y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.
因为l1与l2的距离为5，
所以＝5，解得k＝0或.
所以l1和l2的方程分别为y＝0和y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.
类型三　利用距离公式求最值
例3　已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则的最小值为________．
答案　
解析　∵＝，
∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离，
即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离，
∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离，
即|MN|min＝d＝＝.
反思与感悟　解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．2·1·c·n·j·y
跟踪训练3　(1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求|OP|最小时P点的坐标；
(2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程．
解　(1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则kOP＝1，
∴OP所在直线方程为y＝x，
由解得
∴P点坐标为(2,2)．
(2)由题意知过P点且与OP垂直的直线到原点O的距离最大，
∵kOP＝2，
∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋2y－5＝0.
例4　两条互相平行的直线分别过点A(6,2)，B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求d的取值范围；
(2)求d取最大值时，两条直线的方程．
解　(1)设经过A点和B点的直线分别为l1、l2，
显然当时，l1和l2的距离最大，
且最大值为|AB|＝＝3，
∴d的取值范围为(0,3]．
(2)由(1)知dmax＝3，此时k＝－3，
两直线的方程分别为3x＋y－20＝0或3x＋y＋10＝0.
反思与感悟　两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．21·世纪*教育网
跟踪训练4　已知P，Q分别是直线3x＋4y－5＝0与6x＋8y＋5＝0上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．3 B. C. D.
答案　D
解析　两平行线间的距离就是|PQ|的最小值，3x＋4y－5＝0可化为6x＋8y－10＝0，则|PQ|＝＝.
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