4.1.1 圆的标准方程 学案（含答案）

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圆的标准方程
【学习目标】
1.掌握圆的定义及标准方程.
2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程．
知识点一　圆的标准方程
思考1　确定一个圆的基本要素是什么？
答案　圆心和半径．
思考2　在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？21·cn·jy·com
答案　能．
梳理　(1)把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程．
(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
知识点二　点与圆的位置关系
思考　点A(1,1)，B(4,0)，C( ( http: / / www.21cnjy.com )，)同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2是什么关系？21cnjy.com
答案　|OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.
梳理　点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内 |CM|类型一　求圆的标准方程
例1　(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．21世纪教育网版权所有
(2)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________．
答案　(1)(x－2)2＋y2＝9　(2)(x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析　(1)设圆心C的坐标为(a,0)(a＞0)，
由题意知＝，解得a＝2，
则圆C的半径为r＝|CM|＝＝3.
∴圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.
(2)∵圆心坐标为(－5，－3)，
又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
反思与感悟　(1)确定圆的标准方程只需 ( http: / / www.21cnjy.com )确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．www.21-cn-jy.com
(2)确定圆心和半径时， ( http: / / www.21cnjy.com )常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．2·1·c·n·j·y
跟踪训练1　以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝10
B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25
D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
答案　D
解析　∵AB为直径，
∴AB的中点(1,2)为圆心，
|AB|＝＝5为半径，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
例2　求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．
解　方法一　(待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有
解得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二　(直接法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由
得
即圆心坐标为(4，－3)，
半径为r＝＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
反思与感悟　待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
跟踪训练2　已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．【来源：21·世纪·教育·网】
解　方法一　设所求圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
因为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，
所以它们的坐标都满足圆的标准方程，
于是有解得
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
方法二　因为A(0,5)，B(1，－2)，
所以线段AB中点的坐标为(，)，直线AB的斜率为kAB＝＝－7，
因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝(x－)，即x－7y＋10＝0.
同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.
由得圆心坐标为(－3,1)．
又圆的半径长r＝＝5，
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
类型二　点与圆的位置关系
例3　(1)点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A．点P在圆内
B．点P在圆外
C．点P在圆上
D．不确定
(2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是_________．
答案　(1)B　(2)[0,1)
解析　(1)由(m2)2＋52＝m4＋25>24，
得点P在圆外．
(2)由题意知
即解得0≤a<1.
反思与感悟　(1)判断点与圆的位置关系的方法
①只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可．
②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
(2)灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
跟踪训练3　已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围是________．
答案　(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析　由题意知，(1－a)2＋(1＋a)2>4，
2a2－2>0，
即a<－1或a>1.
类型三　与圆有关的最值问题
例4　已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求的最大值和最小值．
解　原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，
设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，
此时＝，
解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
引申探究
1．若本例条件不变，求y－x的最大值和最小值．
解　设y－x＝b，即y＝x＋b.
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
此时＝，即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，
最小值为－2－.
2．若本例条件不变，求x2＋y2的最大值和最小值．
解　x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方．
由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，
又圆心到原点的距离为2，
故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
反思与感悟　与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型
(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线
y＝－x＋截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．
跟踪训练4　已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求：
(1)x2＋y2的最值；
(2)x＋y的最值．
解　(1)由题意知，x2＋y2表示 ( http: / / www.21cnjy.com )圆上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应地取得最大值和最小值．21教育网
原点(0,0)到圆心(－1,0)的距离为d＝1，
故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，
最小距离为1－＝，
因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和.
(2)令x＋y＝z并将其变形为y＝－x＋z，
问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时，在y轴上的截距的最值．
当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，
此时有＝，
解得z＝±－1，
因此x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
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