4.1.2 圆的一般方程 学案（含答案）

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圆的一般方程
【学习目标】
1.掌握圆的一般方程及其特点.
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.
3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．
知识点　圆的一般方程
思考1　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？
答案　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆，
对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形．
思考2　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？
答案　对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方并移项，得
(x＋)2＋(y＋)2＝，
①当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以(－，－)为圆心，为半径长的圆；
②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，它表示一个点(－，－)；
③当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形．
梳理
方程 条件 图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点(－，－)
D2＋E2－4F>0 表示以(－，－)为圆心，以为半径的圆
类型一　圆的一般方程的概念
例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．
解　由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m<，
即实数m的取值范围为(－∞，)．
圆心坐标为(－m,1)，半径为.
反思与感悟　形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法
(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．21世纪教育网版权所有
跟踪训练1　(1)已知a∈R，方程a2x2＋ ( http: / / www.21cnjy.com )(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________．21教育网
(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．
答案　(1)(－2，－4)　5　(2)9π
解析　(1)由圆的一般方程的形式知，
a＋2＝a2，得a＝2或－1.
当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，
∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×＜0，
∴a＝2不符合题意．
当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.
(2)圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为(－，－1)，
由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴－＋1＋1＝0，得k＝4，
∴圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为＝3，
∴该圆的面积为9π.
类型二　求圆的一般方程
例2　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．
(1)求△ABC的外接圆的方程；
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．
解　(1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意，得
解得
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.
引申探究
若本例中将点“C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？21cnjy.com
解　∵kAB＝＝，AB的中点坐标为(，)，
∵AB的垂直平分线方程为y－＝－3(x－)．
联立得
即圆心C的坐标为(，－)，
r＝ ＝ ，
∴圆C的方程为(x－)2＋(y＋)2＝.
反思与感悟　应用待定系数法求圆的方程时应注意
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.21·cn·jy·com
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
跟踪训练2　已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．
解　方法一　(待定系数法)
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q的坐标分别代入上式，
得
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，　　　　　　 ③
由已知得|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的根，
∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48. ④
联立①②④解得
或
故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
方法二　(几何法)
由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0，
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，
设其坐标为(a，a－1)．
又圆C的半径长
r＝|CP|＝. ①
由已知得圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|，
∴r2＝a2＋()2，
代入①整理得a2－6a＋5＝0，
解得a1＝1，a2＝5，
∴r1＝，r2＝.
故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
类型三　与圆有关的轨迹方程
例3　已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．www.21-cn-jy.com
解　设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心坐标为C(3,3)．
因为CM⊥AM，所以kCM·kAM＝－1，
即·＝－1，
即x2＋(y＋1)2＝25.
所以弦PQ的中点M的轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．
反思与感悟　求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明．
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆 ( http: / / www.21cnjy.com )上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得P点的轨迹方程．2·1·c·n·j·y
易错警示　在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点．
跟踪训练3　已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．
解　设点M(x，y)，点P(x0，y0)，
则∴
∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，
∴x＋y－8x0－6y0＋21＝0，
∴(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0，
即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋＝0.
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